Только постоянное (субстанция) изменяется;
изменчивое подвергается не изменению, а только смене.
Иммануил Кант.

Вместо вступления.

Следуя Канту – величайшему из философов Нового времени – изменяется нечто устойчиво постоянное или субстанция. Изменчивое подвергается не столько изменению, сколько смене <состояний>. При всех изменениях в мире субстанция остается и только акциденции (по Аристотелю) сменяются.

В своем стихотворении «Постоянное в изменчивом (в переменах)» (Dauer im Wechsel, 1803) Гёте вспоминает Гераклита с его текучестью феноменального мира: «И в той же реке ты не поплывешь вторично» [1, с. 70]. И так до бесконечности. Более того: «чтобы найти себя в безграничном, готово исчезнуть единичное» (Гёте, Eins und alles, 1821) [1, с. 69].

Согласно толковому словарю русского языка (Д.Дмитриев, 2003) «Постоянным называют то, что не подвержено изменениям и долгое время присутствует»: постоянная температура, постоянный посетитель, постоянная забота. Конечно, постоянство здесь приближенное и относительное. Только в математике и точных науках постоянной является величина, всегда сохраняющая одно и то же значение, константа. На все века.

Поэтому если толковать буквально, то постоянное изменение дословно означает неизменяемое <во времени> изменение.

Жизнь – это постоянное изменение (Андре Моруа). Как непрерывное во времени изменение... Всё верно. Интуитивно понятно. Но если глубоко вдуматься в стилистику, то видим соединение двух несовместимых вместе понятий: константа и вариация.

С точки зрения формальной логики неизменяемое изменение (?) – нонсенс (абсурд). Или мягче говоря, весьма сомнительное словосочетание. Иллюзорно-словесная "инновация". Сродни "устойчивому развитию" [2] и близко к греческому оксюморону или сочетанию несочетаемого по смыслу. Примерно как жареный лед, белый арап, круглый квадрат, деревянное железо, живой труп, правдивая ложь, обезжиренное сало, килограммовый метр... То есть вполне осмысленные слова, но в бессмысленных сочетаниях (по Р. Расселу).

Надо полагать, что постоянное выступает как постоянно действующий процесс во времени или продолжающаяся вариация (continuous variation). И не более того.

В "Диалектике природы" Ф.Энгельс рассматривает постоянное изменение как «снимание абстрактного тождества с самим собою...» [3, с.169].

Не станем далее углубляться в тонкости затронутой проблематики, оставляя данное поле для самобытных философских исследователей АТ (С.Магнитов, В.Татур, В.Сахно, С.Абачиев и др.), а мы тем временем вернемся к исходной теме.

Числовые ряды.

Первое знакомство с числовыми рядами ассоциируется со средней школой при изучении арифметической и геометрической прогрессий.

В общем случае числовой ряд – это составленная по определенному закону, бесконечная последовательность чисел a_n, где n = 1 ÷ ∞ – натуральные числа.

Одной из важнейших характеристик числовых рядов является их сходимость, когда сумма бесконечного количества элементов ряда Σa_n стремится к конечному пределу. Например, сумма гармонического ряда расходится Σn^–1 = ∞, а сумма обратного ряда квадратов сходится Σn^–2 = π²/6 – ряд Эйлера.

Существуют разные признаки сходимости рядов: Даламбера, Коши, Лейбница и др.

Необходимое условие сходимости ряда: предел его общего члена при n → ∞ равен нулю lim a_n = 0.

Для сходимости положительного числового ряда a_n > 0 необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Таким образом, конечная сумма сходящегося числового ряда может рассматриваться как проявление постоянного в изменчивом. То есть изменчивым является сам числовой ряд или последовательность его членов-элементов, постоянным – сумма ряда.

Подобных последовательностей очень много. Среди них особенно отличаются ряды, приводящие к фундаментальным математическим константам.

Например, основание натурального логарифма (иррациональное трансцендентное число) e = 1 + Σ1/n! – Это свойство обнаружил ещё И.Ньютон (1665).

Число π связано с бесконечной суммой ряда Лейбница π = 4·Σ(–1)ⁿ⁺¹(2n–1)^–1.

И так далее...

"Квадратичное" свойство рекуррентных последовательностей – расходящихся рядов.

Развивая наблюдения Ф.Германа [4], в нашей работе [5] описана одна закономерность, характерная для широкого класса линейных рекуррентно-аддитивных моделей: отношение сумм натуральных чисел, заключенных между двумя соседними элементами ряда, всегда стремится к квадрату λ² максимального по модулю корня λ соответствующего алгебраического характеристического уравнения.

Напомним, в математике [6, гл. 5; 2–4] формула вида x_m+n = a₁x_m+n–1 + a₂x_m+n–2 + ... + a_mx_n называется линейным однородным разностным (возвратным) уравнением m-го порядка с постоянными коэффициентами a_j, где m – числа натурального ряда.

При заданных начальных условиях X₀ = (x₀, x₁, … x_m) данное уравнение определяет линейную рекуррентную (возвратную) последовательность: начиная с исходной точки n = 0, каждый ее элемент x_m+n вычисляется через m предшествующих.

Выражение P(x) = x^m – a₁x^m–1 – a₂x^m–2 –…– a_m является характеристическим полиномом исходного разностного уравнения.

Согласно теореме Бернулли [7], если λ – единственный наибольший по модулю корень уравнения P(x) = 0, то для практически любого набора начальных данных линейная возвратная последовательность при n →∞ обладает свойством: lim x_n+1/x_n = λ.

В частности, для m = 2, a₁ = a₂ = 1, (x₀, x₁) = (0, 1) образуются числа Фибоначчи, Отношение соседних чисел стремится к золотой константе Ф = (1+√5)/2 – максимальному по модулю корню квадратного уравнения x² – x – 1 = 0.

Теперь перейдем к расширению вышеуказанного "квадратичного" свойства.

Примем в качестве начальных условий X₀ целые неотрицательные числа, не равные одновременно нулю. Коэффициенты a_j – тоже целые (включая 0 и отрицательные значения), но с единственным условием: по мере увеличения индекса n обеспечить рост чисел x_n.

Тогда, начиная с некоторого номера, элементы возрастающей последовательности x_n – числа натурального ряда.

Сумма натуральных чисел, заключенных между любыми двумя элементами последовательности x_n и x_n+k, равняется полусумме первого и последнего чисел, умноженной на их количество:

S_{n, k} = (x_n + 1 + x_n+k –1)·(x_n+k – x_n – 1) / 2 = (x_n+k + x_n)·(x_n+k – x_n – 1) / 2.

Значение k = 1 соответствует соседним членам ряда x_n и x_n+1, k = 2 – четным или нечетным элементам x_n и x_n+2, то есть через один, и т.д.

Пусть n → ∞. Тогда разность x_n+k – x_n несоизмеримо больше единицы, и сумма становится равной половине разности квадратов S_{n, k} = (x_n+k² – x_n²) / 2.

На основании теоремы Бернулли предельное отношение элементов x_n+k / x_n равно λ^k.

Определим отношение сумм для фиксированного значения k:

S_{n, k} / S_{n–1, k} = (x_n+k² – x_n²) / (x_n+k–1² – x_n–1²) =

= [(x_n+k / x_n)² – 1] / [(x_n+k–1 / x_n)² – (x_n / x_n–1)^–2] = (λ^2k – 1) / (λ^2k–2 – λ^–2) = λ².

Итак, предельное отношение двух членов рекуррентного ряда x_n+k и x_n стремится к степени корня λ^k, а отношение сумм натуральных чисел, заключенных между этими элементами, всегда стремится к квадрату корня:

x_n+k / x_n → λ^k ; S_{n, k} / S_{n–1, k} → λ².

Как видим, доказательство несложное. Результат неожиданный и впечатляющий.

По мере увеличения расстояния между элементами последовательности, определяемого параметром k, предельное отношение элементов растет в степенной зависимости. А вот на отношение сумм натуральных чисел между ними это никак не влияет. Оно стабильно равно квадрату корня λ² характеристического уравнения.

Описанное свойство применимо к большому классу числовых моделей:

• триномы старших степеней [8] x^m = x^m–1 + 1, f_n = f_n–1 + f_n–m;
• триномы младших степеней [9] x^m = x + 1, f_n = f_n–m+1 + f_n–m.;
• n-наччи или n-шаговые числа Фибоначчи [10] x^m = x^m–1 – x^m–2 –…– 1 и т.д.

К слову, последовательность сумм S_n для чисел Фибоначчи определяется рекуррентной формой [11] S_n = 3·S_n–1 + S_n–2 – 5·S_n–3 – S_n–4 + S_n–5.

Корни соответствующего характеристического полинома x⁵ – 3x⁴ – x³ + 5x² + x – 1 равны –1, –ф, ф², Ф, Ф². То есть отношение соседних сумм стремится к максимальному по модулю корню Ф² или квадрату корня Ф уравнения золотой пропорции x² – x – 1 = 0.

Размышлизмы.

Проведенный анализ показывает, что мы выходим на некие фундаментальные свойства, характерные для широкого класса алгебраических уравнений общего вида и их близкие математические модели в виде возвратных (разностных) уравнений.

Уместно напомнить, как некоторые авторы, очарованные замечательными свойствами золотого сечения (ЗС) и одновременно удрученные их скудностью, в своё время принялись активно "расширять" область действия ЗС на иные алгебраические уравнения. Действия, скажем, малосодержательные, если не сказать бесполезные. Тем более что терминологически они не имеют к феномену ЗС никакого отношения.

Например, последовательность трибоначчи x_n = x_n–1 + x_n–2 + x_n–3 с характеристическим полиномом x³ – x² – x – 1 или квадратное уравнение x² – px – q = 0. Абсолютно никакой прямой связи с ЗС. Хотя, по аналогии с числами Фибоначчи, числовые последовательности легко образуются.

Единственный момент, о котором можно с уверенностью говорить: ЗС – одна из минимальных структур, в которой как через лупу фокусируются важные свойства более сложных пропорций и адекватные им рекуррентные зависимости.

Но и ЗС здесь – не "пуп земли". Например, геометрическая прогрессия x_n = 2x_n–1, x₀ = 1 проще золотоносного ряда Фибоначчи и формирует числовой ряд степеней двойки.

Он относится к классу полных последовательностей с их отличительной особенностью: любое натуральное число можно выразить в виде суммы значений из последовательности, причем единственным способом. При этом каждое значение используется только один раз.

Более того, допустимо некоторым степеням произвольным (!) образом присвоить знак "минус" с единственным требованием, чтобы в результате оказалось бесконечное количество как положительных, так и отрицательных чисел. Например, придать знак "минус" каждой пятой степени двойки или оставить положительными только числа 2¹⁰, 2¹⁰⁰, 2¹⁰⁰⁰ и так далее. Вариантов здесь сколько угодно.

Оказывается [12], любое целое число представимо и притом единственным способом в виде суммы различных слагаемых полученной «положительно-отрицательной» последовательности. Любопытно также, любое натуральное число, кроме степеней двойки 2^k, можно представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел. Например, 13 = 6+7, 14 = 2+3+4+5 .

И этому нет ни конца, ни края...

Действительно, "постоянная изменчивость" или "изменчивая постоянность". Как диалектическая общность (единство) изменчивого и неизменного, преходящего и постоянного.

Литература:

1. Канаев И.И. Гёте как естествоиспытатель. – Л.: Наука, 1970. – 468 с.
2. Василенко С.Л. "Устойчивое развитие" как противоречивая триада: терминологический парадокс, экологический миф и парадигма человеческого выживания. Часть 1 // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22922, 08.01.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163185.htm.
3. Энгельс Ф. Диалектика природы. – М.: Госполитиздат, 1953. – 328 с.
4. Франц Герман. Теория планарных пропорций // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.24945, 18.11.2018. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00163845.htm.
5. Василенко С.Л. Геометрические пропорции и свойства рекуррентных последовательностей, связанные с квадратами // АТ. М.: Эл. № 77-6567, публ.24964, 24.11.2018. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001g/00163850.htm.
6. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей: Учеб. пособие. – 4-е изд., стер. – М.: КомКнига, 2006. – 376 с.
7. Василенко С.Л. Гармоническая пропорция в линейных разностных уравнениях // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15330, 09.06.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321111.htm.
8. Василенко С.Л. Триномы старших степеней: от деления пополам и золотого сечения – до модели единичного абсолюта // Научно-техническая б-ка SciTecLibrary. – 07.06.2015. –sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/15014.html // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.21966, 09.04.2016. –trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00162924.htm.
9. Василенко С.Л. Триномы младших степеней: от Большого взрыва и золотого сечения – до абсолютного хаоса // Научно-техническая б-ка SciTecLibrary. – 18.10.2015. – sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/15285.html // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.21959, 06.04.2016. – trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00162920.htm.
10. http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html.
11. http://oeis.org/A109454.
12. Акулич И. Всего лишь степени двойки // Квант. – 2012. – № 2. – С. 38-42.