Сам термин «Теория пропорций» известен с незапамятных времён и восходит, наверное, ещё ко временам Эвклида. Понятие «золотая пропорция» связано с делением единичного отрезка на части, когда отношение длины самого отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части отрезка к его меньшей части. В виде пропорции это можно записать таким образом:

1/X = X/(1-X)

Данная пропорция соответствует квадратному уравнению: X²+X -1=0. А положительным корнем данного уравнения является знаменитое число Ф -1 = (√5-1)/2 ≈ 0,618034... Широко известны обобщения этой пропорции, которым соответствуют уравнениям: X^s+1+X -1=0 и X^s+1-X^s +1 = 0. Такие обобщения будем называть алгебраическими пропорциями.

Пропорции, которым мы посвятим наше исследование, будем называть планарными, т. к. связаны они с делением не единичного отрезка и алгебраическими пропорциями, а с делением единичного квадрата. Т. е. за числами наших пропорций будут пониматься кусочки плоскостей, площади этих кусочков.

Итак, рассмотрим квадрат, сторона которого равна единице (Рис. 1).

Существует, как минимум, два варианта в исследовании этой задачи. Первый вариант – тривиальный. Здесь мы рассматриваем деление квадрата на две части таким образом, чтобы из них можно было составить пропорцию, подобную линейной пропорции (1).

Второй вариант будем называть методом ортогональных сечений, когда внутри данного единичного квадрата берётся произвольная точка и через неё проводится два ортогональных сечения квадрата. И уже после этого рассматриваются пропорции, составленные из полученных площадей.

рис.1

Вариант 1 (тривиальный).

Рассмотрим квадрат единичной площади. Введём обозначение для площади данного квадрата S₀= 1. Пусть наш квадрат разделён на две части, площади которых обозначены через S_X и S_Y.

формате PDF (489Кб)