Уф! Ну и спираль, ну и парабола мысли! (А.Белых, 2015)

Невольно обратили внимание на работу самобытного исследователя Андрея Ковалева [1], посвященную геометрической взаимосвязи двух замечательных математических объектов: параболы и золотого сечения. Красивое наблюдение. Достойный результат. Всё естественно и одновременно оригинально. Прежде всего, в своей очевидной простоте. Но весьма значимой. Попытаемся присоединиться в плане осмысления и развития результатов проведенных исследований.

Общие сведения. С аналитической точки зрения в золотом сечении проявляется квадратичная зависимость. Золотая пропорция обладает свойствами геометрической прогрессии и одновременно отвечает закону x². Именно поэтому она присутствует в геометрическом решении задачи: «парабола + прямая».

Золотое сечение отрезка единичной длины выражается пропорцией 1 / x = x / (1–x), где x – большая часть отрезка. Отсюда получаем уравнение x² = 1–x. Его графическое решение сводится к нахождению точек пересечения параболы x² и прямой линии 1–x.

Таких точек две: x = ф = (√5–1)/2 ≈ 0,618 и x = –Ф = –(√5+1)/2 ≈ –1,618. При этом вторая из них соответствует делению внешней точкой, лежащей за пределами единичного отрезка x є [0, 1].

Если в качестве неизвестного выбрать отношение z = 1/x, то пропорция преобразуется в уравнение z² = z+1 с положительным решением z = Ф.

В математическом плане суть от этого не меняется. Хотя в прикладных задачах более предпочтительным является понятие отношения, которое выражается золотой константой Ф и не зависит от выбора количественной меры.

Устранение разночтений. Ковалев замечательным образом выходит из традиционной практики x² = 1–x, переходя к фокальному параметру параболы. И это получается. Почему раньше никто этого не заметил, не известно.

Вместе с тем рано сбрасывать со счетов привычное (классическое, стандартное) построение золотого сечения путем графического отображения параболы и прямой.

В этой связи в рассуждениях Ковалева присутствует одна неточность.

Свое построение он принципиально отличает от рассмотрения стандартного пересечения параболы z² с прямой линией z+1, – с опорой на положительное решение Ф = (1+√5)/2. Однако существенных различий здесь нет.

Если мы исходим из канонического уравнения параболы y = x²/2p, то и соответствующее уравнение прямой следует также делить на величину 2p, где p – фокальный параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до прямой линии – директрисы. Поскольку любая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы.

формате PDF (653Кб)