Числа Фибоначчи привлекательны по многим причинам. Прежде всего, в виду простого алгоритма аддитивного получения, начиная с пары первых чисел (0, 1). Это приводит к калейдоскопу замечательных свойств, включая предельное отношение соседних чисел, равное константе золотого сечения Ф.

Настоящая работа в определенной мере продолжает исследования о дуализме в золотоносной тематике [1–3], включая теорему Пифагора и золотое сечение (ЗС) – «два сокровища геометрии» (И. Кеплер, Mysterium Cosmographicum, 1596), дополненные последовательностями Фибоначчи.

1. Исходя из известного тождества F_n² + F_n+1² = F_n+n+1 = F_2n+1 для чисел Фибоначчи, белорусский исследователь А. Ворон в своих работах [4, 5] определил прямоугольный треугольник (a, b, c)₁ = (F_n , F_n+1, √F_2n+1).

Помнится, на страницах АТ об этом сообщал (2005) и проф. А. Стахов [6] в рамках рубрики «Золотое сечение для "чайников"». Одновременно он отмечал: «"фибоначчивые" прямоугольные треугольники (a, b, c) = (F_n , F_n+1, √F_2n+1) не являются "пифагоровыми"». Вероятно, имелись в виду треугольники, стороны которых образуют пифагоровы тройки – упорядоченные наборы из трех натуральных чисел (a, b, c), которые удовлетворяют однородному квадратному уравнению a² + b² = c².

Действительно, согласно доказательству Дж. Кона [7] единственным точным квадратом среди чисел Фибоначчи является число с четным индексом F₁₂ = 144 = 12², не считая первых тривиальных 0, 1, 1.

Вместе с тем известно другое похожее тождество [8, с. 16] F_2n = F_n+1² – F_n–1², то есть разность квадратов двух чисел Фибоначчи, номера которых отличаются на два, есть снова число Фибоначчи.

Это позволяет определить вторую разновидность прямоугольных треугольников с числами Фибоначчи (a, b, c)₂ = (F_n–1, √F_2n, F_n+1). При n = 6 удается образовать вторую по счету примитивную пифагорову тройку (ППТ) (a, b, c) = (5, 12, 13). Пусть одна (!), но всё-таки получается! Причем вслед за первой по счету и самой знаменитой ППТ (3, 4, 5), известной как "священный" или "египетский" треугольник.

Следует заметить, что ввиду изменчивости чисел, геометрические фигуры со сторонами (a, b, c)₁ = (F_n , F_n+1, √F_2n+1) имеют "плавающую" форму. С увеличением номера-индекса n острый угол (по тангенсу b/a) изменяется от 45^О (n = 1) до arctg Ф ≈ 58,3^О (n → ∞), где Ф = (1+√5)/2 ≈ 1,618 – золотая константа.

В предельном случае такой треугольник (a, b, c) = k·(1, Ф, √(1+Ф²)) становится единственной и неповторимой жестко-связанной структурой, k – коэффициент пропорциональности (масштабирования) сторон. Допустимо его назвать <золотым> прямоугольным треугольником Фибоначчи, как собственно и предлагает Ворон [5].

Для сравнения аналогичный угол в золотом прямоугольном треугольнике Кеплера k·(1, √Ф, Ф) равен arctg √Ф ≈ 51,8^О.

При этом высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника, делит гипотенузу в отношении: 1:Ф – треугольник Кеплера; 1:Ф² – треугольник Фибоначчи.

Геометрические фигуры со сторонами (a, b, c)₂ = (F_n–1, √F_2n, F_n+1) аналогично имеют "плавающую" форму. С увеличением номера-индекса n острый угол (по косинусу a/c) изменяется от 60^О (n = 2) до arccos Ф^–2 ≈ 67,5^О (n → ∞).

2. В теории чисел известно, что из любого кортежа последовательных чисел Фибоначчи F_n–1, F_n, F_n+1, F_n+2 можно образовать пифагорову тройку (a, b, c), a² + b² = c², где:

a = F_n–1·F_n+2 – произведение крайних чисел;

b = 2·F_n·F_n+1 – удвоенное произведение средних чисел;

с = F_n² + F_n+1² – сумма квадратов средних чисел.

Со слов М. Ливио [9], данное свойство обнаружил математик Чарльз Райн.

Примечателен здесь другой момент. Можно показать, что данная закономерность справедлива не только для классических чисел Фибоначчи, но и для двучленно-аддитивной рекурсии с произвольными неотрицательными начальными условиями: рациональными, иррациональными, трансцендентными, мнимыми. Другими словами, алгоритм одинаково работает для любых (!) "затравочных" чисел, а не только чисел Фибоначчи и/или Люка, как в своё время продемонстрировал Стахов [6].

То есть структурообразующей основой является рекурсия вида x_n+1 = x_n + x_n–1.

Ограничимся прямоугольными треугольниками. Тогда любая пара начальных условий в виде неотрицательных целых чисел, не равных одновременно нулю, формирует последовательность Фибоначчи x_n (не путать с числами Фибоначчи). Затем образуются пифагоровы тройки вида (x_n–1·x_n+2, 2·x_n·x_n+1, x_n² + x_n+1²), которые в общем случае – не примитивные.

Сказанное полностью согласуется с нашей теорией рационального золотого сечения в целочисленных переменных [10]. В частности, из неё следует, что любому натуральному числу n соответствует одно рациональное "золотое" сечение такое, что n = [nФ^–1] + [nФ^–2], где [ξ] – ближайшее целое к ξ. Соответственно для любого n можно построить (восстановить) адекватную последовательность Фибоначчи.

3. Вернемся ко второй разновидности прямоугольных треугольников с числами Фибоначчи (a, b, c)₂ = (F_n–1, √F_2n, F_n+1).

Напомним одно из тождеств по числам Фибоначчи F_n–1·F_n+1 – F_n² = (–1)ⁿ, которое впервые упоминал Кеплер (1608), а впервые опубликовал Кассини (1680) [11, п. 1.2.8].

Оно увязывает три последовательных элемента так, что квадрат любого числа отличается от произведения своих ближайших соседей попеременно на ±1. Одновременно является прекрасным дополнением к исходной рекуррентно-аддитивной форме F_n+1 = F_n + F_n–1 и переносит нас в область мультипликативных свойств, когда между собой корреспондируются произведения: F_n–1·F_n+1 и F_n·F_n. Прекрасная тройная индексация!

По мере увеличения параметра n, практически с любой точностью выполняется геометрическая пропорция F_n+1 / F_n ≈ F_n / F_n–1, которая наряду с суммой чисел становится предтечей "золотой" модели [12].

Хорошо видно: численное произведение сторон a·c, дополненное на ±1, дает квадрат числа Фибоначчи F_n². – Как говорится, мелочь, но приятная.

Или в транскрипции золотого сечения на русский лад (меру весов со "златником" Киевской Руси): мал золотник, да дорог...

Литература:

1. Василенко С.Л. Дуализм «двух сокровищ геометрии»: теоремы Пифагора и золотого сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23021, 03.02.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163206.htm.
2. Василенко С.Л. Дуализм модели золотой пропорции // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23987, 23.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163516.htm.
3. Василенко С.Л. Бинарный характер золотого сечения и последовательностей Фибоначчи // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.24230, 31.01.2018. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163604.htm.
4. Ворон А.В. Геометрический треугольник Фибоначчи и пирамида Хеопса // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23546, 13.07.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163353.htm.
5. Ворон А.В. Свойства треугольников Кеплера, Фибоначчи и их связь с геометрией пирамиды Хуфу // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 24320, 04.03.2018. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163640.htm.
6. Стахов А.П. Теорема Пифагора и числа Фибоначчи // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.12403, 06.09.2005. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/003a/02320003.htm.
7. Cohn J.H.E. Square Fibonacci Numbers Etc // Fibonacci Quarterly, 2, 1964. – p. 109-113. – URL: fq.math.ca/2-2.html.
8. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. 4-е изд., доп. – М.: Наука, 1978. – 144 с.
9. Марио Ливио. φ – число Бога. Золотое сечение – формула мироздания: Пер. с англ. – М.: АСТ, 2016. – 432 с.
10. Василенко С.Л. Основы теории рационального золотого сечения в целочисленных переменных // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 15274 от 08.05.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322057.htm.
11. Кнут Д. Искусство программирования: Пер. с англ. Т. 1. Основные алгоритмы. – 3-е изд. – М.: ИД "Вильямс", 2002. – 720 с.
12. Василенко С.Л. Проблематика обобщений для линейной рекурсии второго порядка // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 23961, 16.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163502.htm.