Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

С.Л. Василенко
Бинарный характер золотого сечения и последовательностей Фибоначчи

Oб авторе


ЗС и числа Фибоначчи –

родные братья, не иначе


«Золотое сечение и числа Фибоначчи – близнецы братья. Кто более матери истории ценен? – Мы говорим золотое сечение, подразумеваем – числа Фибоначчи. Мы говорим числа Фибоначчи, подразумеваем – золотое сечение». Примерно так (по Маяковскому) может начинаться гимн этим двум уникальным феноменам математики.

Их взаимосвязь несомненна и, что называется, заложена в них "генетически".

Хотя принципиально, это две совершенно разные математические конструкции, со своей онтологией и предметом изучения.


Вступление. Настоящая работа в определенной степени продолжает исследования о дуализме в золотоносной тематике [1, 2], включая теорему Пифагора и золотое сечение (ЗС) – «два сокровища геометрии» (И. Кеплер, Mysterium Cosmographicum, 1596).

Центральным понятием по-прежнему выступает дуализм (лат. dualis двойственный), как сопоставление двух взаимовлияющих позиций-принципов или относительно независимых или слабо сводимых друг к другу начал.

Дуальность – это возможность разных объектов создавать нечто общее, включая единую сущность. Часто целостную и гармоничную. Хотя и не обязательно.

Понятие вбирает в себя пересечение двух фундаментальных классов вещей, которые взаимно влияют друг на друга, но не меняют свою структуру.

Так, в физике хорошо известен корпускулярно-волновой дуализм, согласно которому любой физический объект может быть описан как с использованием математического аппарата на основе волновых уравнений, так и с помощью формализма, основанного на представлении об объекте как о частице или системе частиц.

Хотя, возможно, ближе термин бинарный (лат. binarius двойной), состоящий из двух частей, компонентов. Как самый простой тип синхронности, а также структурообразующий принцип бытия или инструмент мышления человека. Включая алгоритмы построения равновесной симметричной системы ассиметричных форм. В частности, бинарная оппозиция, как средство рационального описания мира в его противоположных понятиях, корни которой уходят в диалектику Платона и формальную логику Аристотеля.


Числа Фибоначчи как модель минимальных возможностей. Числа Фибоначчи принято рассматривать в контексте их исторического появления через "кроличий" ряд, который генерируется по наиболее простой рекуррентной схеме суммирования двух переменных – предшествующих чисел:

Fn+1 = Fn + Fn–1, n = 1, 2, 3, … (1)

с натуральным индексом (дискретным временем) n и начальными условиями F0 = 0, F1 = 1.

Они нашли широкое применение в современной теории чисел и не только.

В чём же истинное содержание данного математического объекта? – Прежде всего, это аддитивная динамическая модель линейного дискретного типа [3].

Равенство (1) называется линейным однородным разностным (возвратным) уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Структурно математическая форма отличается минимально возможной простотой в классе аддитивных конструкций, имея принципиальные отличительные особенности в правой формообразующей части:

  • два слагаемых как наименьшая совокупность, – меньше просто не бывает;
  • два рядом стоящих дискретных момента времени n с минимальными запаздываниями;
  • два целочисленных единичных коэффициента.

Другими словами, налицо три пары "минимальных возможностей".

Обобщающим свойством суммирования можно также назвать квадратичный характер характеристического полинома для разностного уравнения (1) через самое простое трехчленное алгебраическое уравнение второго порядка х2х – 1 = 0.

Незамысловатая по форме модель Фибоначчи уводит нас в бесконечность не только во времени, но и относительно моделируемой переменной. Напрашивается аллегория о массовом заполнении кроликами Вселенной.

На самом деле подобное не происходит, поскольку в реальных условиях действует система ограничений и лимитирующих факторов.


Золотое сечение и числа Фибоначчи. Даже умудренные опытом специалисты обыкновенно говорят, что золотое сечение порождается числами Фибоначчи. В известной мере, да. Но по охвату общей ситуации это весьма слабое утверждение, которое скорее сужает и затуманивает проблематику, чем её раскрывает.

Прежде всего, следует выделить два разных принципиальных момента [4]:

  1. С точки зрения математики, ЗС и числа Фибоначчи – две большие разницы!
    Это абсолютно разные математические структуры.
  2. ЗС порождается не числами Фибоначчи так таковыми, а закономерностью их формирования в виде двухчленно-аддитивной рекурсии!

Иначе говоря, золотое сечение "генетически" обусловлено процедурой получения членов числового ряда и не имеет прямого отношения к самим числам Фибоначчи, представленным последовательностью Fn.

Таким образом, известная «кроличья сага» (по Фибоначчи) – это изначально искусственная, выхолощенная и до предела идеализированная задача.

Однако у неё есть неизменные важные плюсы:

  • порождение самой простой аддитивной рекурсии, – менее двух слагаемых при суммировании просто не бывает;
  • использование специфически примитивных и одновременно универсальных начальных условий (0, 1), порождающих через их сумму число 1, – то есть начало синтезируется единицей, как в натуральном ряде.

Исходная пара (0, 0) недееспособна, – в смысле образования числового ряда.

Пара (1, 0) уже после первого суммирования приводит к (0, 1). Поэтому пара начальных условий (0, 1) – элементарнейшая в области неотрицательных целых чисел.

Благодаря комплексу таких, очевидно простых, отправных положений и образуется отличная математическая модель.

Не случайно насчитываются сотни самых разных аналитических зависимостей, которые устанавливают связь между числами Фибоначчи Fn, а также с константой золотого сечения ф = Ф–1 ≈ 0,618.

Например, умножив очевидное равенство ф2 + ф = 1 последовательно на ф = Ф–1, и произведя упрощения, достаточно легко выходим на красивое единичное тождество

Fn·фn–1 + Fn–1·фn = 1.

Числа Фибоначчи и золотое сечение объединены между собой переходом от рекурсии или разностного (возвратного) уравнения к эквивалентному квадратному уравнению, и обратно:

Fn+1 = Fn + Fn–1x = Fn+1 / Fn = 1 + Fn–1 / Fn ≈ 1 + 1 / xx ≈ Ф.

Поэтому числа Фибоначчи часто отождествляют с золотым сечением. Отчасти справедливо, поскольку отношение соседних элементов ряда в пределе стремится к константе золотого сечения (ЗС) Ф ≈ 1,618. Начальные условия F0 = 0, F1 = 1, как говорится, сразу «берут быка за рога», давая наилучшие приближения к константе золотого сечения так, что уже F3 / F2 = 1,5; F4 / F3 ≈ 1,67 и т.д.

По такой схеме, например, подходит А. Ворон [5] при воспроизведении геометрии пирамиды Хеопса (Хуфу) на основе использования чисел Фибоначчи «в качестве универсальной единицы меры».

Именно поэтому в общей (единой) спирали в расположении семян-плодов на корзинке подсолнечника [6, 7] или волос на человеческой голове [8] легко просматриваются совокупности гладких линий, количество которых определяется числами Фибоначчи. Такое расположение обеспечивает оптимально плотную и одновременно подвижную упаковку животворящих элементов, которые выстраиваются вдоль логарифмической спирали со степенным параметром на основе золотого числа Ф, что способствует хорошему уплотнению и одновременно оптимальному усвоению солнечной энергии.

Вместе с тем, как уже говорилось, золотое сечение и числа Фибоначчи – разные математические структуры. Так, некоторые дробно-рациональные последовательности стремятся (чаще всего путем суммирования) к числу π. Но никто не уравнивает из-за этого трансцендентное число π с рациональными дробями. А вот с золотым сечением, к сожалению, это происходит повсюду и с завидным постоянством.


Открытая система. Собственно дело даже не в числах Фибоначчи, хорошо известных ещё в Южной Азии [9, с. 126]. Так, в древней Индии они применялись в метрических науках за многие века до того, как впервые появились в Европе. Частный, хотя и довольно любопытный случай. В основном за счет незамысловатости первых "затравочных" чисел.

Чем же всё-таки примечательны числа Фибоначчи? – Ввиду простых начальных условий (0, 1), на них хорошо отрабатывать различные формульные соотношения, связывающие те или иные элементы числовой последовательности. Собственно и всё.

Главным здесь являются не сами числовые значения элементов ряда, а линейная двучленно-аддитивная форма их рекуррентного образования fn+1 = fn + fn–1 с единичными коэффициентами и в общем случае произвольной парой начальных условий (f0, f1), не равных одновременно нулю. Именно это "код к шифру", а не сами числа Фибоначчи.

Можно сказать, что данная аддитивная форма характеризует замкнутую систему. Всё варится в собственном соку.

Неоднородное уравнение fn+1 = fn + fn–1 + g(n) описывает уже открытую систему. Слагаемое g(n) отражает динамическую связь системы с внешним миром.

Чтобы остаться в поле ЗС, функция g(n) не должна расти со скоростью, превышающей скорость увеличения степенной функции Фn.

"Перебить" золотой аттрактор можно лишь такой функцией, возрастание которой происходит быстрее, чем Фn. Например, другая степенная функция g(n) = Gn при G > Ф.

В этом случае аттрактор Ф сменяется на аттрактор G [10, 11].

Другими словами, двучленно-аддитивная рекурсия fn стремится к своему аттрактору золотого сечения Ф, если "мощность" обмена g(n) с окружающей средой не превышает Фn.


Тождество Кассини. Числа Фибоначчи обладают многими удивительными свойствами и соотношениями.

Одно из равенств исторически впервые упоминал Кеплер в своем письме (1608), а впервые опубликовал Кассини (1680) [12, п. 1.2.8]:

Fn–1·Fn+1Fn2 = (–1)n.

То есть, произведение "крайних" элементов Fn–1·Fn+1 равно квадрату "среднего" элемента Fn2 плюс-минус единица.

Данное тождество или тождественно верное равенство <двух частей> выполняется на всём множестве значений входящих в него чисел Фибоначчи. Оно является прекрасным дополнением к исходной рекуррентно-аддитивной форме Fn+1 = Fn + Fn–1 и переносит нас в область мультипликативных свойств, когда между собой корреспондируются произведения: Fn–1·Fn+1 и Fn·Fn. – Прекрасная тройная индексация!

Она соотносится с диалектической триадой Фихте–Гегеля: тезис–антитезис–синтез.

При этом каждое движение вперед или в будущее n+1 воссоединяет настоящее n и прошлое n–1.

Примечательно, что для любого натурального n выполняется соотношение для матриц размером 2×2 [13]: (1, 1 ; 0, 1)n = (Fn+1, Fn ; Fn, Fn–1). Вычисление определителей дает тождество Кассини. Оно увязывает три последовательных элемента так, что квадрат любого числа отличается от произведения своих ближайших соседей попеременно на ±1.

Почему именно ±1? – Дело в том, что отношений чисел Фибоначчи не может приближаться к константе Ф с одной стороны. Поэтому идет постоянное непрекращающееся колебание. Это также означает, что отношение чисел Фибоначчи – иррациональное.

Любое рациональное (иррациональное) число может быть представлено в виде конечной (бесконечной) цепной дроби.

Для цепной дроби x строго возрастающие и всегда несократимые числители pn и знаменатели qn соседних подходящих дробей связаны соотношением

pn+1 / qnqn+1 / pn = (–1)n.

Подходящие дроби с четными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x. Аналогично, подходящие дроби с нечетными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x. Значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.

Эффективным алгоритмом для преобразования обычной дроби в цепной инвариант является алгоритм Евклида, который описан им в "Началах" дважды: для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел [14, с. 11–14] и для определения наибольшей общей меры двух однородных величин [14, с. 103–105].

Разделим тождество Кассини на Fn–1·Fn :

Fn+1 / FnFn / Fn–1 = (–1)n / Fn–1·Fn.

При n → ∞ правая часть очень быстро стремится к нулю, и мы получаем непрерывную (геометрическую) пропорцию Fn+1 / Fn = Fn / Fn–1.

Учитывая, что Fn+1 = Fn + Fn–1 = b + a, имеем золотую пропорцию (b + a) / bb / a, в её классическом представлении.

Таким образом, тождество Кассини, по сути, является прообразом геометрической пропорции в целых числах Фибоначчи, которые дают приближение константы золотого сечения Ф с любой степенью точности.

Другими словами, числа Фибоначчи – приближенно-целочисленная модель золотого сечения, в основе которой лежит тождество Кассини.

Для любой тройки целых индексов k, n, j < n с использованием формулы Муавра – Бине в статье [15] доказано, что числа Фибоначчи удовлетворяют тождеству

Fk+j·Fk+njFk·Fk+n = (–1)k·Fj·Fnj.

В несколько ином виде, это тождество приведено в монографии С. Вайды [16].

По мере увеличения параметра n, практически с любой точностью выполняется геометрическая пропорция Fn+1/FnFn/Fn–1, которая наряду с суммой чисел обусловливает "золотую" модель.

Любопытный момент. Расположим числа в порядке убывания Fn+1, Fn, Fn–1.

Вырисовывается структурная схема: крайнее отношение Fn+1/Fn, как край к средине, равно среднему отношению Fn/Fn–1 в виде средины к краю.

Остается сравнить с альтернативным названием золотого сечения, как у Евклида: деление <отрезка> в крайнем и среднем отношении.

Понятно, числа Фибоначчи не были известны в древности. Но они, что называется, витали в воздухе, приходя к античным ученым через иные формы и объекты восприятия. А именно, через группы трех величин.

Важное замечание. Тождество Кассини хорошо просматривается в последовательности подходящих обыкновенных дробей, образующихся в результате разложения константы Ф в бесконечную непрерывную дробь.

Для этого достаточно произвести перемножение "крест-накрест" числителей и знаменателей соседних дробей. Они же числа Фибоначчи.

К примеру: 8·8 – 5·13 = –1; 13·13 – 8·21 = 1.

Точно такие связи мы видим и в других "цепных" разложениях.

Это абсолютно логично, ибо числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны аналогичным соотношением. В такой интерпретации тождество Кассини не является отличительным признаком именно чисел Фибоначчи. Как говорилось выше, оно сопутствует разложениям всех иррациональных и трансцендентных чисел.


Пифагорейцы. Пифагорейцы открыли арифметическую и геометрическую последовательности чисел (прогрессии), создали стройное учение о фигурных числах, связанных с разными геометрическим фигурами. Конечно, они видели свойства числовых рядов типа Фибоначчи. Но не придавали им значения. Просто было не нужно. Всё что требовалось, это научиться делить отрезок на две части в золотой пропорции для построения правильного пятиугольника и далее Платоновых тел.

Хорошо известно, что правильная звездчатая пентаграмма буквально усеяна проявлениями золотой пропорции. Но наглядно-доказательные геометрические построения обычно не приводятся. Восполним этот пробел, представив схему формирования золотой пропорции исходя из простого подобия треугольников (рис. 1).



Как видно, в правильной звездчатой пентаграмме каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. Отношения разноцветных отрезков (красный/зеленый, зеленый/синий, синий/оранжевый) равны константе Ф. Красный отрезок также делится в данном отношении.

Надо полагать, пифагорейцы хорошо просматривали в пентаграмме геометрическую (золотую) пропорцию (a+b)/b = b/a на основании свойств подобных треугольников. Но вопрос для них стоял обратный: придумать геометрическое построение самой пропорции, а уже через него затем начертить собственно пентаграмму.

Решение этой задачи наглядно продемонстрировано в "Началах" Евклида.


Модернизированное прочтение. Обратимся к понятию среднего и его самой простой разновидности – среднеарифметической величине.

Не составляет особого труда провести аналогию: дискретная рекуррентная последовательность чисел Фибоначчи на каждом шаге – это удвоенное среднее арифметическое двух предшествующих элементов ряда. То есть отдельный элемент (терм) последовательности Фибоначчи второго порядка с единичными коэффициентами равнозначен удвоенному арифметическому среднему двух предыдущих термов [17].

В виртуальном отражении получается, что сначала мы как бы находим среднеарифметическое значение последней пары, а затем его удваиваем.

Конечно, реальное удвоение половинки ничего не меняет. Это своего рода сопровождение частушек танцевальными движениями на месте: «шаг вперед и шаг назад». Но не будем забывать, что понятие среднего довольно широкое. И то, что самоочевидно как "масло масляное" для схемы-процедуры Фибоначчи, вовсе не тривиально для других форм определения среднего.

Достаточно вспомнить из математической статистики вечное несовпадение выборочных вероятностных характеристик–показателей центра распределения: оценки математического ожидания, моды, медианы и т.п.

Так или иначе, но есть определенный резон посмотреть на привычную и почти очевидную задачу с позиций меры среднего.

Путем удвоения среднеарифметического

an+1 = 2·(an + an–1) / 2, (a1, a2) = (1, 1)

получаются числа Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Отношение соседних членов ряда с большим номером к меньшему (n = 2, 3, 4…) стремится к своему аттрактору – золотому сечению (переменная A отражает общее отношение к удвоению средних арифметических и последовательностям Фибоначчи, Ф – конкретное число ЗС; в случае усреднения двух чисел они совпадают):

A = an+1 / an = (an + an–1) / an = 1 + an–1 / an ≈ 1 + 1 / AA ≈ Ф.

Именно такая схема вывода, на наш взгляд, становится принципиальной в интерпретации-взаимосвязи ЗС и чисел Фибоначчи.

Поэтому аттрактор (золотое сечение) не зависит от начальных условий, когда все двучленно-аддитивные рекуррентные последовательности независимо от исходных затравочных чисел, в конце концов, группируются вокруг ЗС.

Оперируя со стандартной аддитивной моделью – "суммой двух", мы не видим среднего арифметического. Нам не представлено удвоение, как отдельное действие.

Мы наблюдаем сразу результат удвоения среднего арифметического.

В частности, по такой схеме выстраиваются семечки-плоды на корзинке подсолнуха, образуются листья многих растений и др. Очередной цветок или лист размещается на спирали как бы посредине предыдущих, но с удвоением шага относительно центра.

В результате достигается оптимальное расположение фотосинтезирующих объектов. И не только...

«Всё гениальное просто, и всё простое гениально» (Й. Геббельс, Советы диктатору, Der Angriff, 1 сент. 1932).


Литература:

  1. Василенко С.Л. Дуализм модели золотой пропорции // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23987, 23.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163516.htm.
  2. Василенко С.Л. Дуализм «двух сокровищ геометрии»: теоремы Пифагора и золотого сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23021, 03.02.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163206.htm.
  3. Василенко С.Л. Периодические структуры на циферблате Фибоначчи // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15998, 14.07.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161676.htm.
  4. Василенко С.Л. Новый взгляд на систематику «Фибоначчи – золотое сечение» // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16189, 01.12.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161734.htm.
  5. Ворон А.В. Способ воспроизведения геометрии пирамиды Хуфу на основе использования чисел Фибоначчи // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.24204, 20.01.2018. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163593.htm.
  6. Василенко С.Л. Мега-золотые конструкции: изоморфизм прямоугольников // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 14.09.2012. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=84&sm=2.
  7. Ковалев А.Н. Ещё раз о золотых спиралях // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23545, 13.07.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163352.htm.
  8. Василенко С.Л. Треугольники и золотые чевианы // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 12.06.2012. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=76&sm=2 / АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.17549, 23.06.2012. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161974.htm.
  9. Goonatilake S. Toward a global science: mining civilizational knowledge. – Bloomington: Indiana University Press, 1998. – 318 p.
  10. Василенко С.Л. Обобщенные рекурсии с аттрактором золотого сечения // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 18.09.2011. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=49&sm=2.
  11. Василенко С.Л. Новые рекуррентные формы золотого сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16997, 18.11.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/02322035.htm / Научно-техническая библиотека SciTecLibrary. – 20.11.2011. – URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11534.html.
  12. Кнут Д. Искусство программирования: Пер. с англ. Т 1. Основные алгоритмы. – 3-е изд. – М.: ИД "Вильямс", 2002. – 720 с.
  13. Hoggat V.E.Jr. Fibonacci and Lucas Numbers. – Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969. – 92 p.
  14. Начала Евклида: Пер.с греч. – М.: ГИТТЛ, 1949. – Т. 2. – 511 с.
  15. Василенко С.Л. Золотые триномы // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16067, 09.09.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161699.htm.
  16. Vajda S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications. – New York: Ellis Horwood limited, 1989.
  17. Василенко С.Л. Расширение золотого сечения на структуры обобщенных средних и их аттракторы // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16486, 16.04.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161824.htm.


С.Л. Василенко, Бинарный характер золотого сечения и последовательностей Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.24230, 31.01.2018

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru