|
Введение. Магия занимает некоторое промежуточное положение между религией и наукой. Аналогично религии она связана с нематериальными (сверхъестественными) силами, но подобно науке претендует на прямую результативность и эффективность своих действий, хотя и ссылается на "символичную" причинно-следственную связь [1].
Видимо, с этим связано появление терминологии магических (волшебных) квадратов, известных уже десятки веков. Свое название они получили из-за удивительных свойств, и издавна почитаются разными народностями. От этих форм всегда веяло некой тайной, силой и особой привлекательностью. Натуральные числа заплетаются в причудливые серпантины и замысловатые "фракталы", что невольно вызывает гамму восхитительных эмоций.
В эпоху отсутствия компьютерной графики магические квадраты были не только развлечением и "филигранным напильником ума", но и объектом восторженного упоения изяществом головоломных цифровых конструкций, совершенством незатейливых суммирующих закономерностей. Сегодня этим никого не удивишь. Человек научился строить магические квадраты самой разной природы и порядка. Их составление превратилось в своеобразное решение числовых кроссвордов, а само словосочетание "магический квадрат" стало научным математическим термином и составляющей комбинаторного анализа.
Оказалось, что числа могут быть организованы и в другие аналитико-геометрические модели с интересными свойствами: треугольники, звезды, круги, шары, а также кубы, тессеракты и др. Небольшой литературный обзор можно найти в работе [2].
Общие сведения. Магический квадрат (МК) – квадратная таблица (матрица) размером nxn, заполненная n2 числами так, что суммы чисел во всех её строках, столбцах и на двух главных диагоналях одинаковы и называются магической константой Mn = n·(n2 + 1)/2.
Традиционный (классический) МК содержит все натуральные числа от 1 до n2.
Пандиагональный (дьявольский) МК: все суммы чисел по ломаным диагоналям (в обоих направлениях), которые образуются при сворачивании квадрата в тор, также равны Mn.
Ассоциативный (симметричный) МК – если сумма любых двух чисел, симметрично (наискось) расположенных относительно центра матрицы, равна 1 + n2.
Идеальный МК – одновременно пандиагональный и ассоциативный. Магическая константа присутствует во всех ломаных диагоналях, а сумма любых двух чисел в центрально противолежащих ячейках равна 1+n2. Идеальные МК отличаются строгой симметрией рисунка относительно главных осей. Их построение описано в статьях [3, 4]. Математически доказано, что идеальные МК порядка 4k+2 не существуют.