Очевидность умаляется доказательствами
Марк Туллий Цицерон.

Теория числовых последовательностей Фибоначчи изучена, с позволения сказать, вдоль и поперек. Уровень обобщения достиг небывалых высот. Придумать что-либо ещё более значимое весьма не просто. Многие научные труды вышли на такие широкие просторы, где от классических чисел Фибоначчи с их простейшим алгоритмом образования-формирования остаются лишь отдаленные воспоминания.

Тем не менее, их притягательно-магическая сила настолько велика, что исследователь, однажды попавший под их влияние, "прилипает" надолго. Конечно, труднее всего начинающим авторам. Они часто отыскивают для себя нечто необычное, но де-факто просто "переоткрывают" уже известные сведения. Не можем назвать это бесполезным или ненужным делом. Иногда азбучно-очевидные вещи способны вскрывать неожиданные идеи, завязки и повороты, позволяющие взглянуть на хорошо изученный объект с новых сторон.

Так, в последнее время на страницах АТ опубликованы две объемистые работы [1, 2]. Пленяет и восхищает титанический труд, проделанный автором при составлении большого количества числовых таблиц. Однако, на наш взгляд, не хватило самой малости: небольшого анализа предшествующих публикаций и обобщения результатов путем их математических записей-представлений. Попробуем всё немного упорядочить и привести к одному знаменателю, придерживаясь авторской нумерации...

1) Работа [1].

№ 1–4. Повторяющаяся последовательность конечных чисел в классической последовательности Фибоначчи.

Автором фактически продемонстрирована периодическая последовательность чисел Фибоначчи по модулю m = 10:

a_n = F_n (mod 10).

То есть в числах Фибоначчи F_n последняя цифра (нулевой разрядности) при m = 10 образует периодическую последовательность с периодом T = 60. К слову, данную закономерность впервые отмечал еще Лагранж в 1774 г. [3, с. 105].

Вариации на данную тему мы находим в работах [4, 5] для разных величин модулей m и соответствующих периодов T. Подробное описание также представлено в нашей статье [6].

№ 5. Построение 100 последовательностей на основе первой пары чисел.

Можно построить миллиарды подобных последовательностей в зависимости от принятой пары начальных условий, причем любых: целых, действительных, трансцендентных, мнимых и т.д. Главным здесь являются не начальные значения, а сам принцип формирования чисел по двучленно-аддитивной рекуррентной формуле.

Иначе говоря, любая пара чисел, "запряженная" в двухчленно-аддитивную рекурсию (с единичными коэффициентами), всегда в пределе приводит к отношению соседних элементов, равному константе золотого сечения Ф ≈ 1,618.

Более того, в аддитивной последовательности допустимо добавлять всевозможные функциональные зависимости A_n, и модель по-прежнему будет иметь золотой аттрактор [7], – главное, чтобы эти слагаемые после некоторого значения n возрастали не быстрее, чем Фⁿ.

Даже если, например A_n = n¹⁰⁰⁰, то ряд f_n = f_n–1 + f_n–2 + A_n всё равно сходится к золотому аттрактору, поскольку со временем (n > 20650) выполняется неравенство n·ln Ф > 1000· ln n.

Но если положить A_n = 2ⁿ > Фⁿ, то золотоносность "сбивается" и новым аттрактором становится 2. При A_n = 1,6ⁿ < Фⁿ золотоносность сохраняется.

№ 6. Другие способы построения последовательностей с «золотым константой» путем сложения последовательностей между собой, их умножения и вычитания.

Описанные способы вытекают непосредственно из работы [7].

№ 7. Включить произвольное число в последовательность с «золотой пропорцией».

В нашей работе [8] доказана теорема, что любому натуральному числу n соответствует одно рациональное "золотое" сечение. Там же описан простой алгоритм, который позволяет для заданного натурального числа восстановить последовательность Фибоначчи на основе аддитивного цикла обратного хода к начальным числам, меньшим, чем n.

№ 8. Необычный метод построения новых последовательностей с «золотой константой» – «складывание последовательностей ступенькой».

Ничего принципиально нового "ступеньки" не привносят, поскольку алгоритм построения последовательностей аналогичен № 6.

№ 9. Возведение последовательностей Фибоначчи в квадрат.

Возведение последовательностей Фибоначчи в любую степень s > 1 автоматически приводит к аттрактору Ф^S.

№ 10. Образование других числовых констант.

Сдвиг в числовых последовательностях также приводит к аттрактору Ф^S. То есть отношение G_n / G_n–s стремится к Ф^S.

№ 11. Фрактальный принцип "матрешки" в построении чисел.

В основе составления авторских таблиц лежит известная формула:

G_n = L_m · G_n–m – (–1)^m · G_n–2m,

Она следует из [9, с. 7] L_mG_n = G_n+m + (–1)^mG_n–m при замене индекса n → n – m.

Здесь G_n – аддитивно-двучленная последовательность Фибоначчи с произвольными начальными условиями (положительными и отрицательными целыми, вещественными, мнимыми, трансцендентными), L_m – числа Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47... Частному случаю автора соответствуют кортежи из пятерок m = 5 и L₅ = 11. Хотя с таким же успехом можно разбивать на любые группы из m последовательных элементов.

Но всё-таки лучше и более отчетливо формула смотрится в виде

L_m = [G_n+m + (–1)^mG_n–m] / G_n.

Для любого n в произвольной последовательности Фибоначчи G_n тройка чисел с центром n и двумя "крыльями" m (в две стороны) дает число Люка L_m. В этом смысле числа Люка L_m воспринимаются воистину божественными, обладая свойством триединства (триадичности) и удивительным образом объединяя тройки-кортежи чисел G_n–m, G_n, G_n+m.

Примечательно также, числа Люка содержат первые четыре натуральных числа.

2) Работа [2] основана на очевидном тождестве, которое следует из известной формулы для разности квадратов:

(2k)² – (k + n)² = (k – n)·(3k + n).

Аналогично для элементов последовательности Фибоначчи имеем:

G_n+1² – G_n² = (G_n+1 – G_n)·(G_n+1 + G_n) = G_n–1·G_n+2.

Добавим точно такие формы для меньших индексов:

G_n² – G_n–1² = G_n–2·G_n+1,

G_n–1² – G_n–2² = G_n–3·G_n ...

Суммируя данные равенства, можно выразить квадрат числа через сумму соответствующих произведений (G₀ = 0). Собственно и всё...

Подводя итог, отметим, что г-жа Э. Хельмдах в своих выводах [1, 2] не претендует на абсолютную новизну результатов или их всеобщность. Она непритязательно описывает отдельные закономерности в последовательностях Фибоначчи, которые скрупулезно демонстрирует на частных примерах в виде таблично-числовых форм, и тем самым дает повод-посыл к их последующему осмыслению иными выразительными средствами.

Во всяком случае, подобная подача материала смотрится правдивее, чем имитационная практика отдельных ученых с непомерной гиперболизацией несущественных результатов и наукообразием в виде тиражирования "мыльных" теорем либо заведомо известных знаний без проведения собственного анализа, о чём мы высказывались ранее, например, в статьях [10, 11].

Perspicuitas argumentatione elevatur...

Литература:

1. Хельмдах Э.И. О создании бесконечного числа последовательностей с «золотой константой» и фрактальном принципе построения чисел этих последовательностей // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.22450, 28.08.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163037.htm.
2. Хельмдах Э.И. О выражении чисел последовательности с «золотой константой» через сумму произведений из чисел этой же последовательности // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.24118, 28.12.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163560.htm.
3. Livio M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. – New York: Broadway Books, 2002.
4. Wall D.D. Fibonacci Series Modulo m // American Mathematical Monthly. – Vol. 67 (1960). – P. 525–532.
5. Shah A.P. Fibonacci Sequence Modulo m // Fibonacci Quarterly. – Vol. 6 (1968). – P. 139–141.
6. Василенко С.Л. Циклические структуры и сокрытые периодичности суммирующих рекурсий // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15756, 17.01.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161603.htm.
7. Василенко С.Л. Обобщенные рекурсии с аттрактором золотого сечения // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 18.09.2011. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=49&sm=2.
8. Василенко С.Л. Основы теории рационального золотого сечения в целочисленных переменных // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15274 от 08.05.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322057.htm.
9. Ron Knott. Fibonacci and Golden Ratio Formulae. – 2004. – URL: personal.maths.surrey.ac.uk/ext/R.Knott/Fibonacci/fibFormulae.pdf.
10. Василенко С.Л. Научная балда // Научно-техническая б-ка SciTecLibrary. – 04.09.2011. – URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11333.html // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 09.09.2011. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=48&sm=2.
11. Василенко С.Л. Проблематика обобщений для линейной рекурсии второго порядка // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23961, 16.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163502.htm.