Введение. Размышляя о точке [1], мы сознательно не заостряли внимания на её разнообразных представлениях в математике. Тема обширная, достаточно изученная и одновременно понятная. Во всяком случае, в терминологическом плане.

Поэтому вполне закономерно и справедливо появление отдельных высказываний и дополнений по затронутой нами тематике. Прежде всего, речь идет о небольшой заметке [2], которая через предложенную библиографию существенно расширяет ракурс восприятия. Упомянутые литературные источники широко используют известные математические понятия, однако, в собственной трактовке-интерпретации. Для чего это нужно, не совсем понятно. Тем более на фоне главной линии: создать семантический образ христианской троицы. В результате, появляются отдельные совсем необязательные разногласия с установившейся терминологией, которые непроизвольно порождают элементы путаницы.

Предельная точка. В математике различают разные точки: особые, изолированные, предельные, выколотые, точки разрыва (первого и второго рода), точки касания и другие. С позиций автора [2]: «"Предельная Точка" есть форма кардинального взаимного полагания трех не сводимых друг к другу уникальных параметров: предельной формы скрытого источника, предельной формы операнда и предельной формы оператора».

Ранее в его исследованиях звучала "особая выколотая точка" (об этом ниже), и теперь вдруг без пояснений – "предельная", как конгломерат трех разнородных предельных форм.

Напомним, точка x₀ – предельная точкой множества E, если в произвольной окрестности точки x₀ существует хотя бы одна точка из E, отличная от x₀. Так, любая (!) точка единичного шара (без точек поверхности) {x : |x| < 1} является предельной. Лежащие на сфере точки |x₁| = 1 также являются предельными для шара, хотя ему и не принадлежат.

Множество E замкнуто, если все его предельные точки в нём содержатся. В любой окрестности предельной точки находится бесчисленное количество точек из множества E.

Как отмечалось [1], П. Шарден в своих попытках примирить Библию с теорией эволюции придумал трансцендентную "точку Омега" – кульминационное состояние наивысшего сознания, к которому эволюционирует Вселенная, как «центр в центре системы центров». Поэтому, если хочется как-то особенно выделить выразительными средствами "трех-предельную" точку, то лучше дать ей новый самостоятельный термин, не смешивая с другими понятийными конструкциями.

Взаимодействие оператора и операнда. Автор отмечает [2]: «Оператор так преобразует операнд, что в нём есть только одна единственная точка – выколотая точка их источника». – Данный момент мы уже обсуждали в подразделе «Нуль-точка» [3]. Наряду с оценкой глубины визуализации логико-геометрического представления троичного образа, были отмечены неувязки в формальном представлении-описании, что требует дополнительной проработки и уточнения модели.

Модель тора. Автор пишет [4]: «Предельно вырожденный тор – это и не геометрическая фигура, и не физическое образование, и не логическая форма». Если это так, зачем вообще применять математическую терминологию "тора". Да ещё с использованием дополнительных представлений в виде предельности и вырожденности.

Напомним, в геометрии тор (тороид) – поверхность (!) четвертого порядка, которая получается путем вращения образующей окружности радиусом r вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности на расстоянии R от её центра.

Ось вращения может:

• пересекать образующую окружность, R < r – шпиндельный тор;
• касаться окружности, R = r – роговой тор (тор без "дырки");
• располагаться вне окружности, R > r – кольцевой тор.

Полноторий (твердый или сплошной тор) – топологическое пространство, трехмерное геометрическое тело, ограниченное тором. Неформально, полноторий – бублик, тор – его поверхность, например пустотелая камера колеса.

В интерпретации автора «тор занимает всё пространство», следовательно, предметом рассмотрения является полноторий.

Вырожденность. В математике вырожденными называют объекты, обладающие принципиально более простой структурой и смыслом по сравнению с остальными объектами в своем классе. Даже если их взять вместе, они не дадут полного представления обо всём классе. "Вырожденный" означит особенный случай.

Так, три вершины вырожденного треугольника лежат на одной прямой. Квадратное уравнение (х – 1)² = 0 имеет один корень х = 1. При R = 0 тор вырождается в сферу, при r = 0 – в окружность, образуя

след от движущейся точки (r = 0) вокруг центра на расстоянии R.

«Предельно вырожденный тор». – В чём конкретно выражается его вырожденность, из авторских статей неясно. Равно как и в чём состоит предельность? – Если R → ∞, то это скорее беспредельное расширение модели в пространстве. Спрашивается, какие цели при этом достигаются? – Ведь основную идею можно показать и для R = r = 1.

Вырожденность вообще смещает акценты в сторону меньшей репрезентативности, сводя тор до уровня окружности и/или иной топологии, когда становится ненужным сам тор...

Выколотая точка (ВК) – безусловно, красивый термин и прекрасное дополнение к общей классификации всевозможных точек.

Формально выколотую точку b можно выразить с помощью неравенства x > b.

Выколотая точка не лежит на графике. Значение функции в ней не существует и не рассматривается. Примером служит дробно-рациональная функция, для которой нули или корни знаменателя – выколотые точки. В этих точках функция не определена, поскольку на нуль делить нельзя. Окружность с выколотой точкой гомеоморфна прямой.

Автор отмечает: все окружности касаются друг друга в одной единственной (особой выколотой) точке – центре тора. То есть речь идет о роговом торе без "дырки" (R = r) и без центральной точки.

Обычная сфера (граница трехмерного шара) является двумерной как и всякая поверхность. Если на ней имеется одна выколотая точка, то в топологическом аспекте она становится гомотопной плоскости. Именно так образуется стереографическая проекция (конформное отображение) [5], в том числе карта Земли.

Де-факто центральная точка в торе не является выколотой. По определению. Такое свойство автор привносит искусственно, на уровне априорного положения. Из характера построения тороидальной модели выколотая точка "алгоритмически" не получается. Если этим свойством она наделяется принудительно, то так и нужно об этом говорить.

Тогда возникает вопрос: насколько это важно в принятой модели?

На наш взгляд, точка, выколотая или не выколотая, для характеристики троицы не принципиально. Главное – смысл, её содержание и внутренняя насыщенность.

Не следует также забывать, что сама по себе троица – уже некая модель божества. Одна из многих, придуманных людьми разных умонастроений и частей света. Любая модель троицы однозначно приобретает оттенок "модельной модели". И термин ВК, как часть модельного описания, здесь не вносит ясность. Троица не вмещается в рациональные конструкции. Поэтому её модельные представления, включая точку, являются некими условными картинками-иллюстрациями. Как три совмещенных нуля, три окружности и проч.

В топологии доказывается [6, с. 121], что все связные ориентируемые компактные двумерные многообразия суть сферы с n ≥ 0 ручками. Из них только тор (n = 1) допускает касательное векторное поле без особых точек. – Такое замечательное отличительное свойство, которое автор зачем-то устраняет путем введения выколотой точки.

Наоборот, эту точку, принадлежащую тору, нужно не выкалывать, а трепетно беречь, сохраняя принятую пространственную топологию. Чтобы не получить вместо тора-"бублика" окружность, а взамен объемной интерпретации – топологию плоскости.

В данной точке ось поверхности тора не имеет разрыва, сам полноторий не прерывается. Но стоит эту единственную точку удалить, как возникает ненужный топологический дефект. С переводом модели на плоскостной инвариант...

Заключение. Представляется, что в правильных поисках основательной троичной модели автор несколько перестарался в понятийном контексте. Стремление к терминологической насыщенности, напоминающей излишество, часто чревато потерей сути-канвы. Тот же «предельно вырожденный тор», вместо ясного изложения-объяснения, создает условия для возникновения противоречий. Вырожденный тор – уже не тор так таковой. В результате вырождения он теряет свои отличительные особенности, позволяющие ему таковым называться. Всё равно, что два соседних отрезка на линии настойчиво называть вырожденным треугольником. Ради чего?

Любопытным образом трактует и расшифровывает "ТОР" православный исследователь В. Говоров (АТ, публ. 23958, 15.11.2017) как тройное отношение радиусов через три последовательных действия: формирование круга, его вращение вокруг собственной оси с образованием сферы и её вращение вокруг новой оси до получения собственно тора или полнотория. Как идеально-тройственная структура, в которой совсем не обязательно принудительно "выкалывать" центральную точку (при R = r). Оное действо не является вынужденно необходимым даже для образного отображения источника божественной силы.

В целом тор, конечно, является оригинальной и прекрасной троично-иллюстративной моделью, которую предложили С. Костюченко и В. Татур. Её уточнение и развитие должны способствовать созданию красивого и непротиворечивого логико-геометрического образа. Ad primos ictus non corruit ardua quercus...

Литература:

1. Кашпур А.Д., Василенко С.Л. Размышления о точке... Часть 1 // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23955, 14.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163497.htm.
2. Костюченко C.В. К предельному пониманию точки // АТ. – М.: Эл № 77-6567, публ.23959, 15.11.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163500.htm.
3. Василенко С.Л. Формальные модели-имитации троичности // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23876, 25.10.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02261285.htm.
4. Костюченко C.В. Единый, как предельно вырожденный тор // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23627, 11.08.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0226/002a/02261281.htm.
5. Розенфельд Б.А., Сергеева Н.Д. Стереографическая проекция. – М.: Наука, 1973. – 48 с. – URL: plm.mccme.ru/ann/a53.htm.
6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики: 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 472 с.