|
Мир не укладывается в жесткие рамки логики,
и жизнь постоянно дарует нам сюрпризы.
Если всё идеально, жди подвоха...
Настоящая заметка соотносится с недавней публикацией уважаемого профессора А. Стахова «Обобщенная формула Кассини...» на страницах АТ (публ. 23932, 08.11.2017), которая попала в поле нашего зрения в связи с ранее обсуждавшейся проблематикой математических обобщений. Работа связана с историко-математическими аспектами последовательностей Фибоначчи на примере одного простейшего тождества.
Несмотря на узко-тематический вектор, выбранное направление исследований чрезвычайно важно для последующего синтеза в рамках общефилософских суждений.
Однако новая информация, к сожалению, не прозвучала. Кроме того, по нашему мнению, она содержит некоторые погрешности, на которые нелишне обратить внимание.
В порядке дискуссии позволим себе краткие высказывания уточняющего характера.
Сначала несколько слов о формулах и тождествах...
В математике и прикладных науках формула представляет собой символьную запись некоторого высказывания виде комбинации знаков. Этим она отличается от геометрических выразительных средств-способов: чертежей, графиков, диаграмм и т.п.
Формулы алгебры высказываний подразделяют на выполнимые, тождественно истинные (тавтологии), тождественно ложные (противоречия), опровержимые.
Например, запись 2×2 = 5 – есть формула (!), имеющая значение "ложь".
Буквенно-численные формулы также различаются терминологически: уравнения, приближенные уравнения, неравенства, тождества и др.
Так, тождество – равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных. Или суждение, верное при любых допустимых значениях переменных: тождество Эйлера eiπ + 1 = 0, связывающее пять фундаментальных математических констант, основное тригонометрическое тождество (Пифагора) sin2α + cos2α = 1 и др.
Небезынтересные тождества имеют числа Фибоначчи. Профессор утверждает, «что эти математические объекты были также увлечением Иоганна Кеплера, современника Кассини. Кассини первым обратил внимание на ... закономерность, связывающую соседние числа Фибоначчи». – Скорее наоборот. И. Кеплер (1571–1630) – математик по призванию, известный многими математическими исследованиями и результатами. Для итальянского астронома Дж. Кассини (1625–1712) математика была ближе к увлечению.
Да и современниками их трудно назвать, ибо жили в разное время.
Одно из тождеств по числам Фибоначчи впервые упоминал Кеплер в своем письме (1608), а впервые опубликовал Кассини (1680): Fn–1·Fn+1 – Fn2 = (–1)n [1, п. 1.2.8].
Данную запись лучше и точнее называть тождеством (identities) [2; 3; 4, с. 126] –тождественно верным равенством <двух частей>, которое выполняется на всём множестве значений входящих в него чисел Фибоначчи. Данный термин акцентирует-фокусирует внимание на идеально-абсолютной конструкции равенства! – Чрезвычайно важный посыл.
Тождество Кассини увязывает три последовательных элемента так, что квадрат любого числа отличается от произведения своих ближайших соседей попеременно на ±1.
Оно является прекрасным дополнением к исходной рекуррентно-аддитивной форме Fn+1 = Fn + Fn–1 и переносит нас в область мультипликативных свойств, когда между собой корреспондируются произведения: Fn–1·Fn+1 и Fn·Fn. Прекрасная тройная индексация!
По мере увеличения параметра n, практически с любой точностью выполняется геометрическая пропорция Fn+1/Fn ≈ Fn/Fn–1, которая наряду с суммой чисел становится предтечей "золотой" модели.
Профессор утверждает: «до сих пор считалось, что "формуле Кассини" удовлетворяет только одна рекуррентная числовая последовательность – числа Фибоначчи. Докажем, что это не так». – Кем это считалось, непонятно. В принципе, давно известное положение.
Пол века назад (!) известный австралийский математик А. Хорадам определил [5, 6] обобщенные числа Фибоначчи в виде линейной рекурсии второго порядка
wn = wn(a, b; p, q) = p·wn–1 – q·wn–2,
где начальные значения a = w0, b = w1 и коэффициенты p, q являются целыми числами.
Он же обобщил упомянутое тождество Кассини до уровня, который одновременно охватывает три пары вариабельных целочисленных параметров [6, с. 173]:
wn–r·wn+r+t – wn·wn+t = e·qn–r·ur–1·ur+t–1,
где un = wn(0, 1; p, q), e = p·a·b – q·a2 – b2.
Индекс r характеризует удаленность "соседей" от центра зеркальной симметрии n, индекс t вносит дополнительную асимметрию.
На первый взгляд данное равенство чрезмерно перегружено символами и выглядит не так эффектно, как тождество Кассини. – Обманчивое восприятие и обычная плата за сложность из-за шести переменных. Зато оно с лихвой покрывает и охватывает многие расширения модели, отражая-задавая высокую планку математического обобщения: по коэффициентам, начальным условиям, индексам элементов числовых рядов.
При w0 = 0, w1 = 1, p = 1, q = –1, r = 1, t = 0 образуется частный случай – тождество Кассини для чисел Фибоначчи. Если p ≠ 1, то выходим на "λ-числа Фибоначчи" в терминологии профессора (λ = p), скрупулезно доказывающего с его слов «далеко не тривиальный математический результат». Который в действительности был установлен более 50 лет назад и находится в свободном доступе Fibonacci Association (URL: fq.math.ca).
Ограничившись обобщением по интервальному индексу удаленности r, приходим к тождеству, которое определил (1753) бельгийский математик Ш. Каталан – один из лучших геометров 18 века: Fn2 – Fn–r·Fn+r = (–1)n+r· Fr2. И так далее...
Данное направление получило развитие в последующих работах, например [7–11].
Если в этой области пытаться что-то обобщать и/или предлагать новые доказательные линии (формы), включая метод математической индукции, – то хотя бы не ниже уровня квадратного уравнения общего вида x2 = px – q. Но никак его частного случая x2 = px – 1.
А далее можно исследовать и обсуждать интересуемые упрощенные варианты.
Так, приведенному (с единичным коэффициентом при старшей степени) квадратному уравнению общего вида x2 = px – q соответствует рекуррентная форма un = p·un–1 – q·un–2. Начальные условия (u0, u1) = (0, 1) образуют семейство последовательностей Люка или (p-q)-последовательностей Фибоначчи.
Явная формула для нахождения членов последовательности [11]: un = (θn – qn ·θ–n) / √d, где параметр θ – максимальный по модулю корень квадратного уравнения, d = p2 – 4q.
Ограничимся традиционными начальными условиями (a, b) = (0, 1), а также индексами r = 1, t = 0. Начальные элементы такого ряда равны: 0, 1, p, p2 – q ...
Проверим справедливость тождества u2n – un–1·un+1 = qn–1 для отдельных значений n:
n = 1 → 12 – 0·p = q 0,
n = 2 → p2 – 1·(p2 – q) = q 1...
Пусть для некоторого значения n верно равенство u2n – un–1·un+1 = qn–1.
Докажем его справедливость и для n+1, то есть u2n+1 – un·un+2 = qn.
Запишем цепочку преобразований левой части доказуемого равенства:
u2n+1 – un·un+2 = u2n+1 – un(p·fn+1 – q·fn) = u2n+1 – p·un·un+1 + q·u2n =
= u2n+1 – p·un un+1 + q·(un–1·un+1 + qn–1) = un+1(un+1 – p·un + q·un–1) + qn = un+1·0 + qn = qn,
что и требовалось доказать методом индукции.
Отметим одно важное отличие: на значения параметров p, q не накладывались никакие ограничения, поэтому они могут быть любыми, включая действительные и мнимые числа!
Верность тождества вполне естественна и для q = –1. При этом в зависимости от числового коэффициента p образуется бесчисленное множество числовых рядов. Не только целочисленных! Профессор полагает, что «существование во множестве целых чисел бесконечного количества целочисленных последовательностей, обладающих таким уникальным свойством, является сюрпризом для многих экспертов в области теории чисел». – Как видно из работ А. Хорадама и других авторов, неожиданный "сюрприз" не получается. Тем более для специалистов по теории чисел. Но сама история развития тождества Кассини весьма показательна и представляет несомненный интерес.
В целом девять страниц текста упомянутой вначале статьи, на наш взгляд, не привносят толику новых знаний. Приведенные в ней сведения давно общеизвестны, а собственные исследования или какой-либо анализ не проводился. Думаем, что в профессиональном плане работа пока не удалась. Либо получилась совсем не так, как задумывалась автором. Бывает-случается. Vel sapientissimus errare potest...
Главное, что устойчиво продолжает пульсировать вектор исследований, который позволяет объединить такие разные и одновременно близкие сферы мышления, как гармония и математика. В их взаимном обогащении и стремлении к глубокому обновлению парадигмы развития человечества, включая изменение исконно-революционного вопроса «Что делать?» на изначально-эволюционную проблематику «Как быть?».
Любые другие иллюзии имеют стеклянный потолок...
Если это так, то мы когерентны с умонастроениями профессора А. Стахова.
Литература: