Начало – половина целого...
Пифагор Самосский

Вместо вступления. В который раз читаем на страницах АТ один и тот же текст уважаемых профессоров А. Стахова и С. Арансона (публ. 21497 от 30.11.2015, публ. 23918 от 04.11.2017), который они с их слов почерпнули из Википедии, и не перестаем изумляться изложению. Например, «согласно традиции, пифагорейцы были разделены на две различные школы мышления: математики или учителя и акустики или слушатели. Акустики развивали религиозные и ритуально-обрядовые аспекты-наставления пифагореизма. Математики изучали четыре пифагорейские матемы: арифметику, геометрию, гармонику и сферику... в процессе исторического развития, одна из пифагоровых матем ("гармоника") исчезла из математики».

Любое разделение согласно традиции выглядит несколько странно. Если это некий обычай (обряд), то получается бессмысленность, если чьи-то предания (часто разноплановые и противоположные), то имеют, как минимум, конкретные источники. Их нет.

Деление на математиков и акусматиков – это не две разные школы мышления! Школа была одна, пифагорейская. Но двухступенчатая. «Согласно Клименту разделение внутри пифагорейского союза, – это именно две степени посвящения» [1, с. 41].

«Акусматики изучали мудрые высказывания Пифагора, заучивали их; математики же, как предполагалось, были способны мыслить самостоятельно; уровень математиков – это был высший философский уровень; акусматики – уровень низший» [2, с. 5].

То есть акусматики (послушники) представляли первую ступень в школе Пифагора. Они молча слушали лишь общие положения, без логически-критического разбора. Наиболее способные из них переводились в математики (ученики), которые вели более углубленные исследования и со временем становились учеными. Математикам излагали тщательно разработанное учение. Им разрешалось вести научные споры с учителем.

Конечно, акустиков в те времена не было. Но были акусматики (от акусмы – символов), которым открывались только первоначальные пифагорейские смыслы и доктрины. Термин "акустика" введен французским математиком Ж. Совёр только в 1701 г.

Четвертая матема – всё-таки астрономия (буквально закон о звездах), а позже и астрология, изучающая воздействие небесных тел на Землю и человека. Сферика (σφαιρική) – лишь их составная часть, относящаяся к геометрии шаровой поверхности (Феодосий Вифинский, Менелай Александрийский и др.).

Гармоника вообще не имеет непосредственного отношения к гармонии, о которой далее пишут авторы. Античная гармоника – практический синоним музыки или её звуковысотной структуры, прообраз современной научной и учебной дисциплины гармонии – области музыкознания. Идеи гармоники никуда не ушли, не потерялись и продолжают развитие в музыке, в том числе с использованием физико-математических закономерностей.

В целом черпание "энциклопедических" сведений из Википедии – вещь распространенная. Но последующее цитирование – дело небезопасное. В поисках истины нужно дополнительно привлекать другие источники, ибо википедийная информация часто изменяется до полной неузнаваемости.

Например, читаем: (ru.wikipedia.org/wiki/Пифагореизм, 12 окт. 2017): «Согласно традиции, последователи Пифагора делились на акусматиков (англ.) (рус. "слушателей") и математиков ("учеников")». – Как видим, в новой редакции никаких акустиков и учителей в изложении профессоров. Но есть акусматики и ученики. Что ближе к исторической правде.

Любопытной информацией делится Е. Блаватская [3]: одно из испытаний, которому подвергались акусматики – претенденты на первую ступень обучения в Пифагорейской школе, – заключалось в том, чтобы представить три черные точки, нарисованные на белой доске. Испытание проходил лишь тот, кто отвечал, что видит три черные точки, но не тот, кто говорил, что видит треугольник, блистая своими способностями к ассоциативному мышлению. Несмотря на воображаемую фантастическую связь между двумя предметами. – Вот такой простой и одновременно жесткий тест.

Со временем акусматики и математики стали враждовать, в буквальном смысле слова. Первые стали проповедовать религиозно-ритуальные традиции, вторые – научно-философские [4]. Но это отдельная тема для обсуждения…

Новая вариация в геометрии золотого сечения. По неопифагорейской систематике-классификации мы больше ассоциируем себя не с догматически-пассивными слушателями – акусматиками, но с развивающимися учениками – математиками. Наше кредо – поиск новых форм и выражений в разных сферах научного языка.

В данном случае представим свежий взгляд на геометрию золотого сечения (ЗС).

Как известно, константы ЗС равны (Ф, ф) = (√5±1)/2. Главную отличительную роль здесь играет число пять и/или квадратный корень из пяти. Не случайно пентаграмма, образованная совокупностью всех диагоналей правильного пятиугольника, буквально соткана из пропорций и, прежде всего, золотой пропорции в разных сочетаниях отрезков. Обилие математических свойств в одной геометрической фигуре приводило в восторг многих исследователей, начиная с Древнего Вавилона и пифагорейцев.

В геометрических построениях золотого сечения обычно используют исходное отношение отрезков 1:2 с последующим переходом на форму 1² + 2² = (√5)², которая позволяет воспроизвести в разных вариациях корень из пяти по теореме Пифагора.

Дальше дело техники. Ну, и конечно, авторских фантазий.

Пять – небольшое целое число. Поэтому для его отображения через квадраты целых чисел имеется двойное тождество:

5 = 1² + 2² = 3² – 2².

Или ближе к записи констант золотого сечения: (√5/2)² = (1/2)² + 1² = (3/2)² – 1².

Данные числовые значения можно воспроизвести геометрически с использованием прямоугольных треугольников. Отсюда формируются разные способы построения золотого сечения. Предлагаем один из вариантов их расположения на одном рисунке (рис. 1).

Чертим две одинаковые касающиеся окружности единичного диаметра d = 1, центры которых находятся на горизонтальной оси. Из центра O₂ радиусом 3/2 проводим дугу до пересечения с вертикальной осью (в точке A), проходящей через центр O₁. Соединяем точки C и O₂, продолжая далее линию до точки D. Собственно и всё построение.

По теореме Пифагора квадраты отрезков равны:

(AO₁)² = (3/2)² – 1² = (СO₂)² = (1/2)² + 1² = 5/2².

Остается к самим отрезкам прибавить или вычесть радиусы окружностей 1/2, чтобы получить численные значения соответственно двух констант золотого сечения Ф и ф.

Желтые точки C, E делят золотым сечением равные отрезки AB = CD.

На них воспроизводится «модель золотого роста» единичных отрезков до величины Ф.

Чтобы получить привычное золотое деление отрезка единичной длины, нужно вращением циркуля перенести отрезки длиной ф на диаметры.

Несколько слов о пяти. По ряду позиций человеку свойственно 5-ричное строение. Его конечностям тоже. Не случайно в русской традиции пятерку часто называют "корнем". В царской России чеканились золотые монеты номиналом в 5, 10 и 15 рублей (империал).

Пять – первое конгруэнтное (натуральное) число: равно площади прямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаются рациональными числами: 20/3, 3/2, 41/6. Соответственно периметр составляет 15.

Пять – единственное (!) простое число, равно сумме двух простых чисел 5 = 2 + 3.

Существует ровно пять двухсторонних тетрамино. Они состоят из четырех квадратов без дополнительного различия зеркальных отражений фигур.

В евклидовом пространстве наличествует всего пять правильных многогранников.

Человек имеет 5 чувств: зрение, слух, обоняние, вкус, осязание.

Классический крест воспроизводит пять точек опоры: центр и четыре конца.

Согласно китайской философии мироздание содержит пять стихий: земля, вода, дерево, огонь и металл.

Можно образовать ровно пять вариантов математической пропорции, составленной из целого и его двух частей. Об этом поговорим несколько подробнее...

Очевидная и безальтернативная конструкция ЗС. Мы не ставим под сомнение востребованность и полезность модели золотой пропорции. Хотя бы в исследовании биологического явления филлотаксиса. Однако объективная и непредвзятая оценка золотоносной модели показывает, что по своему происхождению перед нами рядовая математическая конструкция, как заурядное пропорциональное деление целого на две части. Деление безальтернативное, не считая явного разбиения пополам [5, 6].

Напомним, в общем случае пропорциональное деление – деление числа (отрезка) на части, прямо или обратно пропорциональные данным числам (отрезкам). Деление ЗС настолько очевидно, что только диву даешься разным спекуляциям вокруг данной темы.

Рассмотрим золотую пропорцию, помня, что в своей основе – это сугубо математическое понятие. Со всеми вытекающими последствиями, включая абстрактность идеальных форм. При этом обычно принимается, что целое равно сумме частей c = a + b. Без потери общности рассуждений целое полагается равным единице c = 1. – Очень удобный прием для большей наглядности выкладок.

Остановимся на традиционном <геометрическом> представлении математического сечения. Будем оперировать только тремя величинами – целого и его двух частей {1, a, b}, без каких-либо дополнительных операций над ними типа суммы, разности, умножения на вещественное число и т.п. Приложив минимум мыслительных усилий, легко разобраться, что из данного "супового набора" невозможно создать иной значимой пропорции, кроме золотого инварианта! Если конечно, не прибегать к конструктивным дополнительным образованиям: вычитания частей b – a, их умножения на весовые коэффициенты и прочих вычислительных премудростей.

Итак, имеем исходную совокупность объектов {1, a, b} с дихотомическим делением целого на две непересекающиеся части a + b =1.

Отметим все возможные комбинации составления пропорции из этих элементов:

1. 1 : b = 1 : a – обыкновенное деление пополам.
2. 1 : b = b : a = Ф – золотое сечение или пропорциональное ассиметричное деление;
3. 1 : b = a : b – a→1, b→0, предельное деление, при котором одна из частей стремится к нулю.
4. 1 : b = b : 1 – a = 0, b = 1, выделение части, равной целому.
5. 1 : b = a : 1 – пропорция дает решение в области комплексных чисел с мнимой единицей, приводит к числовому тождеству a + b = a·b = 1 и ромбу, составленному из двух равносторонних треугольников. Геометрически полученное пропорциональное деление выводит нас на следующий уровень размерности: от линии-отрезка – к плоскости.

Выполненный перебор пяти допустимых вариантов имеет характер математического доказательства, как стадии окончательной строгости и надежности решения, имеющего фундаментальный статус. Исходя из эмпирических соображений, данные математические представления обосновывают безальтернативное происхождение золотой пропорции, в которой фокусируются простейшие свойства пропорционального единения целого и двух частей. Других вариантов просто нет. Деление пополам не в счет, в силу своего априорного присутствия-происхождения симметричного типа.

Дело не в постижении какой-то скрытой истины. И важна даже не сама истина, к которой мы пришли способом полного перебора-перечисления вариантов.

Главный посыл заключается в полученной данности общезначимого утверждения, которое приобрело смысл азбучного факта: ЗС – это явная и очевидная модель.

Можно сказать, банальная пропорция или «фигура из трёх», проще которой не бывает.

Она единственно возможная и связывает-уравнивает отношения целого и его двух частей. Другой пропорции, не считая зеркального деления пополам, просто нет. Гармония, красота здесь совершенно не причем. Хотя глаз и может улавливать равенство отношений.

Золотая пропорция не может быть наилучшей, оптимальной или первейшей среди равных. Де-факто она одна. Почти по определению. В выбранном классе отношений её просто не с чем сравнивать. В этом контексте она уникальна. Основой модели является не столько число золотого сечения, сколько пропорция! Как точка равновесия в отношениях целого с его частями и самих частей. Другими словами, ЗС – пропорциональная дихотомия целого. Единственная и реальная математическая диковинка пропорции.

Если в глобальном проявлении окружающий мир упорядочен пропорциональными структурами, то велика вероятность, что в его основе лежит именно модель золотого сечения. Тогда пропорция с основанием Ф становится неким универсальным кодом Вселенной. Деление живых клеток пополам синтезирует организмы. А модель ЗС выступает в роли структурирующей подосновы.

Не свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию неповторимой. Наоборот, из фактической единственности пропорции следует собственно модель ЗС, в основе которой лежит строгая аддитивная схема двух составляющих!

При делении целого золотым сечением на b и a, меньший из них a в свою очередь является большим отрезком для разделяемого по золотому сечению отрезка b.

Золотая пропорция обособленно одна не столько в своих свойствах, сколько в исходно-априорном построении. Исконно, изначально. Естественно и натурально. Конечно, никакой таинственности. В крайнем случае, естественная «закономерность двойственности» (М. Беляев, 2001). Включая единство противоположностей. Как мера порядка в хаосе и т.п.

Без надуманных привязок к гармонии, эстетике и тем более эталону красоты.

Гармония в роли эстетической категории выглядит здесь как идиома "сбоку бантик". Также как и образ "божественной пропорции", который в своей восторженной экзальтации использовал ученый и монах средневековья Лука Пачоли. Обычное религиозное шаманство.

Изучая математическую пропорцию, особенно в её геометрическом толковании-отображении, просто невозможно не спотыкаться через золотоносный аналог – единственно возможный прообраз в выбранном классе.

В этой связи, по крайне мере, наивно выглядит наносное затуманивание налетом древности, который искусственно привносится отдельными исследователями в их преподнесении золотого сечения, как «важнейшего математического открытия античной науки в области гармонии». Гармония здесь вообще ни причем, ибо в те далекие времена она никак не увязывалась с моделью ЗС. Да и важность события лишена естественности, поскольку золотая пропорция выявляется очевиднейшей математической конструкцией, – на фоне трех десятков различных пропорциональных сравнений древности, включая разнообразные средние.

В выбранном классе объектов золотой инвариант – единственный! Среди простых ассиметричных пропорций золотое сечение безальтернативно. Никакой сложности получения. Никакой таинственности. В плане пропорций, коими в совершенстве владели древние ученые, золотая пропорция – рядовая и явственная форма получения. Можно сказать, элементарная тривиальная пропорция на фоне многих других возможных структур.

Таким образом, перед нами очевидная в получении, наипростейшая по форме и одновременно уникальная по содержанию структура, насыщенная редкостными свойствами. Её имя – модель золотого сечения, золотая (божественная) пропорция или деление целого в крайнем и среднем отношении. Кому как нравится.

De gustibus non disputandum est. – О вкусах не спорят...

Литература:

1. Неопифагорейцы // ΣΧΟΛΗ Философское антиковедение и классическая традиция. – 2009. – Т. 3. Вып. 1.
2. Васильев Г.Е. Введение в философию культуры: учеб.-методич. пособ. – М.–Берлин: Директ-медиа, 2015. – 429 с.
3. Блаватская Е.П. Голос безмолвия. Избранные статьи. Пер. с англ. – М.: Новый акрополь, 1994. – 148 с.
4. Жмудь Л.Я. Пифагор и ранние пифагорейцы. – М.: Русский Фонд содействия образованию и науке, 2012. – 448 с.
5. Василенко С.Л., Никитин А.В. Модельные структуры пропорционального роста. Часть 1. Синтез // Математические и исторические исследования гармонии и красоты в природе и искусстве. – 09.09.2013. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=107&sm=2 / Научно-техн. б-ка SciTecLibrary. – 22.09.2013. – URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/13091.html.
6. Василенко С.Л. Пропорциональное деление целого // Математ. и историч. исслед. гармонии и красоты в природе и искусстве. – 28.10.2013. – URL: artmatlab.ru/articles.php?id=108&sm=2 / Научно-техн. б-ка SciTecLibrary. – 24.11.2013. – URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/13179.html.