Рассматривается задача египетских фараонов 3-тысячелетней давности: в круглый колодец Лотоса вдоль его вертикальной плоскости опущены две упругие тростинки (пруты) длиной 2 и 3 меры; вверху и внизу они касаются боковой поверхности, скрещиваясь над дном колодца на высоте 1 меры; найти диаметр колодца.

Данную задачу невозможно решить геометрически с помощью циркуля и линейки.

Исходный приближенный рисунок обычно представляется как уже нечто данное для последующих математических выкладок путем нахождения положительного корня алгебраического уравнения четвертой степени.

В. Белянин недавно предложил [1] «найти механическое решение задачи с колодцем в духе Платона, то есть с использованием какого-либо инструмента, приспособления, движущегося механизма».

Конечно, это не чистая геометрия. Ибо еще с античных времен построения, выполненные с помощью других чертежных инструментов (кроме циркуля и линейки), не считались геометрическими. Более того, согласно открытию итальянца Маскерони все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля [2, с. 175].

В то же время издавна существует черчение с использованием дополнительных механических приспособлений.

В нашей работе [3] изложен один из способов подобного геометрического решения задачи египетских фараонов с применением циркуля и линейки с отметкой единичной меры.

Данную идею можно также реализовать на языке движущейся системы (механизма).

Итак, рисуем на плоскости декартову прямоугольную систему координат xy с одинаковыми масштабами по осям.

Строго геометрическим построением отмечаем точку С (√5, 0).

Величина √5 равна длине диагонали прямоугольника размером 1Ч2 и выражается через константу золотого сечения: Ф + Ф^–1.

В центр O' круга единичного радиуса вставляем ось. На эту ось накладываем упругую несгибаемую прямую AС, которая одним концом упирается в неподвижный упор в точке С.

Прообразом такой прямой может служить сторона обычного чертежного угольника или линейки с заостренным концом.

Двигаем систему слева направо скольжением вдоль оси x либо качением круга по горизонтальной плоскости. – Так называемое плоскопараллельное движение или rolling [4].

В процессе динамического перемещения верхняя (красная) точка пересечения окружности с осью y опускается, левая часть прямой AC наоборот приподнимается.

В определенный момент прямая AC пройдет точно через точку пересечения окружности с координатной линией y. – Это главная часть нашего решения.

Как видим, в точке A одновременно сходятся три разные линии: прямая AC, окружность и вертикальная координатная ось. То есть образуется точка тройного скрещивания.

Расстояние центра O' круга от оси y составляет ≈ 0,817.

Отрезок AO есть ничто иное, как проекция короткой тростинки длиной 2 на вертикаль.

Последующие построения совсем простые.

С центром в найденной точке A раствором 2 циркуля отмечаем точку D и получаем искомый диаметр колодца OD.

С центром в точке O раствором 3 циркуля отмечаем точку F на вертикали к точке D.

Отрезок OF – длинная тростинка.

Задача полностью реконструирована.

Диаметр колодца построен геометрически.

Как называть нашу систему (инструментом, приспособлением или движущимся механизмом) – дело вкуса и личных предпочтений.

De gustibus non est disputandum...

Литература:

1. Белянин В.С. Три задачи с прямоугольной трапецией: от древности до наших дней // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23831, 15.10.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163448.htm.

2. Курант Р., Робинс Г. Что такое математика? Пер. с англ. – 3-e изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2001. – 568 с.

3. Василенко С.Л. Тест-задача египетских фараонов для колодца Лотоса // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 23457, 07.06.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163321.htm.

4. Wikipedia contributors, "Rolling," Wikipedia, The Free Encyclopedia, accessed October 21, 2017. – URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Rolling.