Три задачи с прямоугольной трапецией, представленные ниже, можно с определённой долей условности объединить. Одна просматривается в глубине тысячелетий, другая пришла из прошлого века и третья сформулирована в этом месяце.

Изложу их в обратном порядке.

1. В недавней статье [1] С.Л. Василенко показал, что в прямоугольной трапеции при перпендикулярности диагоналей и равенстве одной из диагоналей одному из оснований отношение оснований трапеции соответствует золотому сечению.

Результат интересный и его можно поместить в золотоносную копилку.

Следует отметить, что прямоугольных трапеций, да и не только прямоугольных, с «золотым» отношением оснований необозримое множество. Однако, условие перпендикулярности диагоналей, заявленное в представленной задаче, позволяет легко осуществить геометрическое построение такой трапеции с помощью циркуля и линейки.

2. Вторая задача с прямоугольной трапецией получила звонкое название «Колодец Лотоса» [1, 2]. Её смысл может быть сформулирован следующим образом.

В прямоугольной трапеции длины диагоналей равны 2 и 3-м единицам. Точка пересечения диагоналей расположена на расстоянии 1-й единицы от вертикальной боковой стороны. Найти высоту трапеции.

Алгебраическое решение этой задачи приводит к уравнению четвёртой степени.

Построить геометрически такую трапецию с помощью циркуля и линейки не представляется возможным.

В этом заключена изюминка этой задачи – решение есть, геометрического построения с помощью циркуля и линейки нет.

Эта трапеция – геометрический фантом с точки зрения древнегреческой математической традиции.

3. Третья задача с прямоугольной трапецией, которую считаю логичным присоединить к упомянутым выше задачам, будоражила умы математиков более 22-х столетий. Это знаменитая задача древности об удвоении куба – требуется построить ребро куба, который по объёму был бы в два раза больше данного куба.

Пусть ребро исходного куба равно а, а ребро искомого куба – х. Тогда задача об удвоении куба сводится к геометрическому решению кубического уравнения:

х³ = 2а³ или х = а ³√2.

Так как древнегреческие математики при геометрических построениях циркуль и линейку предпочитали всем другим инструментам, то все старания построить ³√2 успехом не увенчались.

Как происхождение этой задачи, так трудности, связанные с её решением, дали повод к возникновению красивых легенд.

Одним из первых древнегреческих математиков, сделавшим решающий шаг в решении этой задачи, был знаменитый геометр Гиппократ Хиосский (V в. до н.э.), который свёл задачу об удвоении куба к следующей: по двум заданным отрезкам а и 2а построить два других отрезка х и у, таких, что

а : х = х : у = у : 2а. (1)

В самом деле, из этой непрерывной пропорции вытекает х³ = 2а³.

После такого решительного продвижения вперёд появилось множество оригинальных решений, с использованием, в основном, конических сечений.

Остановлюсь только на одном решении, приписываемом Платону, в котором конические сечения не используются. Об этом решении сообщил древнегреческий математик Евтокий Аскалонский (ок. 480 – ок. 540 года) в своём комментарии к сочинению Архимеда «О шаре и цилиндре» [3, с. 459-460]. Сущность идеи состоит в том, что если заданные отрезки а и 2а и средние пропорциональные отрезки х и у расположить на взаимно перпендикулярных прямых в том же порядке, как они следуют в непрерывной пропорции, то геометрический образ проблемы станет очевиден.

Только благодаря Евтокию мы знаем о принадлежности такого подхода Платону, другие древние источники об этом не упоминают.

Чтобы понять сущность решения Платона рассмотрим свойства прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями

формате PDF (99Кб)