Любому человеку свойственно ошибаться. Главное извлекать правильные уроки из промахов или неудачного опыта. Звучит как аксиома.

Более того, "умные ошибки" приносят несомненную пользу.

Оказывается, умение совершать ошибки по-умному и получать от этого определенную выгоду – это целая стратегия. В бизнесе, политике, военном искусстве и т.д.

То есть ошибки могут быть плодотворными.

Как гласит народная мудрость, ошибка в фальшь не ставится.

Право на ошибку – необходимый атрибут новаторской деятельности, ориентированной на получение новых результатов и знаний.

В таких случаях нетерпимость – не лучший спутник и/или барометр. Лучше подходить всё-таки лояльно и невзыскательно.

На эти мысли нас натолкнула статья проф. А. Шелаева [1], где он систематизирует свои ранние исследования по геометрической интерпретации золотого сечения (ЗС) на примере отношения длин двух отрезков, точка сопряжения которых движется по окружности. Для характерных частных случаев приводит красивые примеры.

Всё бы ничего. Тем более большая часть материала уже знакома и ранее была представлена на страницах АТ.

Однако "зацепило". И главное, что? – Горячность, если не сказать раздражительность, с которой он неожиданно принялся напутствовать своего коллегу по авторскому цеху, проф. И. Ткаченко в связи с его статьей [2].

А ещё чуть ранее с беспощадной критикой выступила москвичка г-жа Л. Батова [3]: «не выдерживающая элементарной критики статья доктора экономических наук, профессора кафедры финансов и банковского дела Хмельницкого Национального университета Украины И.С. Ткаченко». – Не знаем, что такое "элементарная критика", хотя шаблонно-трафаретная фраза имеет место быть. Кроме того, обычно говорят, профессор такой-то, и дают ссылку на статью. Но нет... Здесь всё подобрано слово к слову: экономические науки, банковское дело, Хмельницкий ун-т, Украина, украинская фамилия... С напрашивающимся посылом, математика – не ваше дело. Затем идут слова: недопустимые манипуляции, статья ошибочна в принципе, далее можно не читать и т.п. – Не читайте, уважаемая. Не велика потеря. Разберутся другие. По сути, а не по форме с прыганьем-порханием по верхам.

Наше отношение к работе [2] мы уже изложили [4]. Более того, появились свежие наработки в части развития её главной идеи, под углом зрения интегральных кривых непрерывной золотой пропорции.

Пока же остановимся на упомянутом исследовании Шелаева, высказав несколько конкретных соображений-замечаний. Заодно попытаемся оценить материал самого критика по придуманной им же уровневой шкале. Чисто гипотетически...

а) В названии статьи «Обобщенная геометрическая модель золотых сечений, произведений и динамической системной гармонии» после слова "модель" идут три равноправных перечисления. Что означает вариант – «обобщенная геометрическая модель <золотых> произведений» – приходится только догадываться. Какие такие произведения, чего на что? Либо вообще музыкальных произведений? Ибо далее следует системная гармония в терминологии, принятой в музыке. – Но мы не придирчивы. Где-то логически, а где-то интуитивно выстраиваем мысль-понимание, если речь идет о ЗС или золотом делении-отношении двух величин, равном константе Ф, то далее по аналогии – о "золотом" произведении других величин, также равном Ф.

Затем автор использует новое понятие: «золотое произведение двух отрезков». Но что это (число, отрезок или площадь некоторого прямоугольника), не поясняет. – Например, по Декарту произведение двух отрезков a и b представляет собой отрезок c, отношение которого к a равно отношению отрезка b к единичному отрезку.

б) Равнобедренный треугольник с углами при основании 72 градусов (отношение ребер к основанию равно Ф) автор называет «"золотым" треугольником Евклида» (?). Опять же, если он предлагает научной общественности новый математический термин имени Евклида, то об этом так и нужно говорить. Ибо до сих пор такого названия не было.

в) Остается не ясным, что имеется в виду под «динамической системной гармонией». Часто под этим понимается мелодия как звуковой образ гармонии, отражающий движение целостной системы. Сдается, автор имеет в виду нечто другое.

Тогда, по меньшей мере, необходимы соответствующие разъяснения. Одной математики здесь явно недостаточно.

Правда, вначале статьи он дает установку на динамическую системную гармонию, как «некоторые комбинации базовых параметров системы», например, равные константе золотого сечения Ф = ф^–1 «при изменении во времени некоторых "свободных" параметров системы». Однако в самой модели временной фактор отсутствует.

Что конкретно и как изменяется во времени, пока не понятно.

г) В соотношении (9) "потерян" коэффициент, равный 2, и равенство нарушается.

Вместо требуемой прямой линии, соответствующий график демонстрирует волнообразный процесс.

д) Автор утверждает о некотором «обобщении золотой пропорции». Хотя де-факто речь идет о расширении её геометрической интерпретации на примере составного отрезка переменной длины. Что, конечно, не одно и то же. Золотая пропорция не обобщается в принципе (!) и остается неизменной. Разве что может принимать множество эквивалентных записей-модификаций, исходя из свойств математической пропорции общего вида.

Впрочем, и сам автор затем говорит, что им «введена обобщённая геометрическая модель золотого сечения», по поводу чего возражений нет.

е) Что касается двух равенств для отрезков BM/AM = Ф и BM·BN = Ф, которые автор выделяет особо, уделяя им повышенное внимание, приводя формульные преобразования (9)–(13) и сопровождая графиками (рис. 1, рис. 2), то они очевидны без избыточного теоретизирования.

Первое из них – это априори заданное исходное условие. Второе – естественная запись известной в планиметрии теоремы о секущих к окружности.

Так, для отрезков, лежащих на горизонтальной линии диаметра, имеем ф·(ф+2) = Ф. Значит, и для всех других секущих произведение длин отрезков тоже численно равно Ф.

Чистая геометрия, с максимальным приближением к теме статьи [1]. Без ненужного наслоения формул, сопутствующих графиков и т.п.

ж) Большое недоумение вызывает категоричность утверждения с элементами эмоциональной окраски [1]: «Грубая ошибка профессора И.С. Ткаченко состоит в том, что уравнение (1) <1/ф = ф/(1 – ф)>, определяющее условие существования золотого сечения при делении отрезка на 2 части и имеющее 2 корня ф, –Ф, он превратил в тождество?? ... В своём отклике [·] на указанные в [·] грубые ошибки профессор И.С. Ткаченко, во-первых, не дал ссылку на отклик Л.В. Батовой. Во-вторых, приписал ей совершенно несущественное замечание, которое она не делала. И, в третьих, не признал принципиальной ошибочности своей статьи [·]».

По нашему мнению, упреки незаслуженные и содержат ряд неточностей:

• Прежде всего, не Ткаченко, а сам Шелаев перепутал уравнение с тождеством: его выражение 1/ф = ф/(1 – ф) является типичным числовым тождеством, а не уравнением, как он утверждает. Тем более, оно никак не может иметь корень –Ф.
• Ткаченко не дает ссылку на отклик Л. Батовой и, видимо, правильно делает, ибо там особо нечего комментировать. Он также ничего ей не приписывал, поскольку отвечал совершенно по другому поводу. А именно на замечания других авторов, исправив знак "минус" на равенство. Бывает...
• Принципиальной ошибочности в статье [2] нет! Совершенно не возбраняется выполнить формальное интегрирование обеих частей уравнения ЗС 1/x = x/(1 – x) относительно аргумента x, что и собственно и делает Ткаченко. Тождеством это уравнение становится уже после подстановки констант золотого сечения. Грубых ошибок мы также не находим.

На наш взгляд, Ткаченко не нужно было акцентировать внимание на форме x = x(t), поскольку интегрирование всё равно осуществляется относительно x. Безошибочно!

А далее, уже удобным способом, можно интерпретировать полученные первообразные функции, в том числе с точки зрения возможной динамики подхода к точке их пересечения.

То есть необязательный в записи параметр времени t сбивает с толку неподготовленного читателя.

Конечно, это авторский недочет. Но кто захочет увидеть-понять главную мысль-идею в общей концепции статьи, тот её отыщет. Кто не захочет, будет под микроскопом выискивать технические погрешности.

Как вопрошал небезызвестный Козьма Прутков: «Где начало того конца, которым оканчивается начало?».

В заключении профессор отмечает [1]: «К сожалению, статьи, подобные статье [2], наносят существенный ущерб имиджу сайта Академии тринитаризма» и предлагает ввести своеобразную систему "черных меток": «отмечать ошибочные статьи с обоснованными отрицательными отзывами индексом TL (Trash Level – Мусорный Уровень)».

На счет имиджевого ущерба явное преувеличение. Скорее наоборот. На сайте много неординарных работ с интересными авторскими находками, которые возможно не всегда написаны академическим языком и грешат отдельными недочетами. Не все рождаются Цицеронами. Тем более что «редакция АТ не несет ответственности за содержание публикаций, не являющихся редакционными» (trinitas.ru/rus/000/a0022001.htm).

Что касается меток-уровней, не стоит торопиться. Порой важнее идея, замысел, а не издержки изложения, коих у каждого из нас бывает предостаточно.

Плюс вопрос «А судьи кто?»...

Например, некоторый автор пишет неверные формулы, пропуская коэффициенты, путает уравнение с тождеством, использует без пояснений собственную неотчетливую (невнятную) терминологию, к какому классу-уровню мусора прикажете отнести его работу? – Ответ простой: попробовать разобраться в сути и за деревьями увидеть лес. Если, конечно, к этому есть безусловный интерес. А он есть!

Например, мы построили [5] резольвенту гармонических треугольников на основе геометрической (непрерывной) пропорции их сторон c / b = b / a.

Немного позже проф. А. Шелаев представил [6] её оригинальный вариант в виде окружности, которая построена путем аддитивного представления c = a + b, но уже в терминологии ломаной линии, опирающейся концами на фиксированный отрезок.

За счет этого геометрическая (непрерывная) пропорция становится частным случаем – золотой пропорцией, с превращением резольвенты общего вида в окружность.

Прекрасный и показательный образец единения-преемственности общих знаний в золотоносной тематике. Всё остальное, включая неточности и погрешности, – мелочи, на которые не стоит обращать внимание.

Небольшую статью И. Ткаченко [2] мы отнесли к серии рационально-удачных примеров развития “ золотоносной” тематики нестандартным способом [4]. Хотя к самому научному результату остались вопросы и некоторые претензии, которые более подробно постараемся пояснить и развить в отдельной публикации.

А пока нужно съездить к отцу в Урюпинск – столицу российской провинции и/или символ российской глубинки.

Вспомнить-вдохнуть запахи детства и юности.

Подзарядиться умственной энергией мудрых людей и вольного Донского казачества...

Используемые источники:

1. Шелаев А.Н. Обобщенная геометрическая модель золотых сечений, произведений и динамической системной гармонии // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23738, 16.09.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163418.htm.
2. Ткаченко И.С. Моделирование динамической гармонии // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23659, 23.08.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163393.htm.
3. Батова Л.В. Краткий отклик на ошибочную статью И.С.Ткаченко «Моделирование динамической гармонии» // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23661, 24.08.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163394.htm.
4. Василенко С.Л., Кашпур А.Д. "Резиновое" сечение // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23685, 01.09.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163402.htm.
5. Василенко С.Л. Математические начала гармонии: гармонические треугольники // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 16007, 22.07.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161680.htm.
6. Шелаев А.Н. Соотношения гармонии и экстремумы длин, площадей и их производных в обобщенной модели золотого сечения // Актуальные проблемы современной науки. – 2010. – № 6. – С.162-164 / АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 17431, 29.04.2012. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321252.htm.