Как ни странно, но более всего из учебы запоминаются двойки.

Известный российский психолог, к.м.н. Михаил Литвак в одной из своих 30 книг пишет: «Неудача стимулирует человека, и он ее запоминает на всю оставшуюся жизнь. Неудача в семь раз полезнее успеха. Она заставляет думать, почему получилось так, а не иначе. И в следующий раз ведешь себя иначе. А когда у тебя удача, то в следующий раз ты ведешь себя точно так же, как и раньше. Источник всех наших неудач – застой, то есть постоянный успех... Не бойся, а радуйся, когда тебя критикуют – критика в семь раз полезней похвалы» (Мужчина и женщина).

Как говорил Генри Форд «Честная неудача не позорна; позорен страх перед неудачей».

Ошибки – обычный мост между опытом и мудростью (Ф. Терос). Они заставляют думать... Не ошибается только зеркало, ибо оно не думает (по П. Коэльо).

Как-то, рассматривая разные анкеты, директор сразу забраковал кандидатуру одного сотрудника, который написал, что за всё время работы он не сделал ни единой ошибки.

Мотивация шефа была проста: этот человек либо ещё ничего не сделал, либо до сих пор не понял свои ошибки.

Недавно на страницах АТ один уважаемый профессор поставил нам жирную двойку. А чтобы никто не перепутал, слова «ошибка доктора наук Василенко» он вынес в заголовок, тем самым, усиливая направленность действия.

Одно радует и успокаивает ... не медицинских наук. Никакого вреда от ошибки...

Древнегреческие мыслители учили, что не стоит обижаться на людей, которые тебя упрекают. Если несправедливо, тебя это не касается, а если справедливо – поделом...

Поэтому наше кредо: любую критику воспринимать исключительно с благодарностью.

Полностью разделяем и принимаем адресованное нам предложение профессора: «повысить уровень знаний в области «Теории информации и кодирования» перед тем, как писать критические замечания на статьи в области кодирования». Тем более что свою статью [1] мы относим не к разряду работ в области кодирования, а лишь к рассмотрению мнимого "парадокса кода Хэмминга", невесть откуда взявшегося в этой сфере знаний.

Поводом для "показательной порки" послужила единственная цитата из нашего восьмистраничного текста [1]: «Модифицированные коды Хэмминга, которые отличаются добавлением дополнительных проверочных битов кодового слова, способны детектировать ошибки большей кратности: три, четыре и более».

Мы не претендуем на истинность данной фразы в последней инстанции. Просто попытаемся кратко проанализировать суть вопроса. А он небезынтересен...

Ключевой момент здесь: «способны детектировать ошибки». Иначе говоря, речь идет о возможности (!) обнаружения ошибок, без их исправления. Кроме того, ни слова о том, что выявляются обязательно все ошибки. То есть при кратности более двух допускается вероятность возникновения не обнаруживаемой ошибки. Для кодов Хэмминга в двоичном алфавите это "природное" свойство.

Так, в работе [2] подробно исследованы вероятностные свойства кодов. Отмечено, что в любом коде Хэмминга отсутствуют наиболее вероятные не обнаруживаемые ошибки кратностей 1 и 2. Для больших кратностей возможны "проскоки". Приведена формула расчета вероятности появления не обнаруживаемых искажений информационных векторов кодов Хэмминга H(n, m), где n – общее число разрядов, m – число информационных разрядов. Число контрольных разрядов равно k = n – m.

Проведенные эксперименты [2, табл. 3, 4] показывают, что для кратности ошибки d = 3–10 доли не обнаруживаемых ошибок составляют 6–10%. Много это или мало - вопрос другой, хотя и важный.

Главное, что коды Хэмминга способны детектировать ошибки кратности d ≥ 3. Да, не все. Но во многих случаях позволяют это делать и выдавать соответствующий сигнал.

Например, код Хэмминга H(9, 5) детектирует все (!) ошибки кратностью 4 и 5, H(11,7) –все ошибки кратностью 6 и 7 и т.д.

С этим более-менее ясно. Приходится только сожалеть, что профессор акцентировал своё внимание только на одной нашей цитате, которая, как получается, не совсем ошибочная, по своей сути.

Но это второстепенно. Более важное, если не главное, запрятано чуть глубже.

Почему-то многие исследователи часто мыслят только категориями двоичного кода.

Посмотрим на проблематику несколько шире.

В своё время при написании 12-страничного подраздела «Применение ГИС-технологий и компьютерной картографии в задачах экологического мониторинга для обеспечения экологической безопасности водоснабжения» в рамках работы над докторской диссертацией в Институте телекоммуникаций и глобального информационного пространства НАН Украины пришлось немного вникнуть в проблемы дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) из космоса. Тогда же впервые познакомился с недвоичным помехоустойчивым кодированием информации. Понятно, это не троичная логика и не "Сетунь" Н. Брусенцова...

В теории кодирования создан ряд недвоичных кодов. Элементами кодового слова в них являются байты, а не биты. Они различаются корректирующей способностью, вносимой избыточностью, алгоритмической сложностью и др. Практическое применение в реальных системах нашли коды Рида-Соломона (РС) [3], в которых для исправления любой (!) комбинации из t символьных ошибок в пределах кодового слова достаточно использовать всего лишь 2t проверочных символов.

В этой области заметно выделяются многопороговые алгоритмы декодирования линейных кодов д.т.н. В. Золотарева (Ин-т космических исследований РАН).

Его недвоичные многопроговые декодеры (МПД) позволяют успешно находить и исправлять буквально все ошибки в данных на уровне символов.

За счет применения модифицированного недвоичного расширенного кода Хэмминга совместно с q-МПД, вероятность ошибки декодирования уменьшается на 3–5 порядков [4].

Примечательно, новые модифицированные недвоичные коды Хэмминга используют только целые числа по mod q, а не элементы конечных полей Галуа. Поэтому их можно применять практически для любого размера символов при весьма незначительной сложности кодирования-декодирования.

Эффективность недвоичного аналога МПД-алгоритмов лучше кодов РС на несколько порядков. В условиях высокого уровня шума обеспечивается правильное декодирование, в ряде случаев недоступное для кодов РС сколько угодно большой длины. При этом сложность реализации алгоритма растет линейно с длиной кода! То есть теоретически она близка к минимально возможной [5].

Как видим, коды Хэмминга рано списывать в утиль. И уж тем более наклеивать на них ярлык парадокса в редакции профессора. Они нисколько не устарели, не содержат никакого парадокса. Описываются практически в любой монографии или учебнике по кодированию информации и до сих пор включаются в другие более совершенные системы (алгоритмы) в качестве составного элемента.

Литература:

1. Василенко С.Л. История несуществующего парадокса в области кодирования информации // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.23712, 08.09.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163409.htm.
2. Ефанов Д.В., Блюдов А.А. Коды Хэмминга и их обнаруживающие способности в схемах функционального контроля // Надежность и техническая диагностика. – 2012. – № 2(32). – С. 100-111. – URL: http://ics.khstu.ru/media/2012/N32_12.pdf.
3. Reed I.S., Solomon G. Polynomial codes over certain finite fields // J. Soc. Industrial Appl. Math. – 1960, vol.8, pp.300–304.
4. Эффективное недвоичное многопороговое декодирование помехоустойчивых кодов для систем дистанционного зондирования земли / В.В. Золотарев, P.P. Назиров Г.В. Овечкин и др. // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. – Сб. статей, ИКИ РАН, 2010. – Том. 7. – № 2. – С. 269-274.
5. Золоmарев В.В. Обобщение алгоритма МПД на недвоичные коды // Мобильные системы. – 2007. – № 3. – С. 39–42.