Введение.

В теории кодирования и теории информации ошибкам (шумам) отводится центральная роль. Ошибки в кодовых словах могут быть разными: выпадение, вставка, трансформация букв; в двоичном коде – изменение длины, замена бит 1→0, 0→1. Так или иначе, в результате возникает дезинформация – сознательное или случайное искажение данных.

Важное свойство кодов – способность обнаруживать и по возможности исправлять (корректировать) ошибки, – см., например, wikipedia.org/?oldid=84744243.

На простом языке кодирование состоит в добавлении к исходной информации дополнительных проверочных сведений. При этом возникает избыточность кода за счет количества контрольных символов в сообщении.

Кроме собственно помехоустойчивого кодирования в современных вычислительных системах применяют схемотехнических методы защиты данных: использование различных типов ячеек памяти, защитных колец и др.

Одним из первых и наиболее известных самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов для двоичного алфавита считается код Хэмминга [1], который в процессе кодирования-декодирования позволяет исправлять одиночную ошибку в одном бите и находить двойную.

Годом раньше швейцарский физик и математик М. Голей пришел к подобным результатам, опубликовав небольшую заметку [2]. Всего на полстраницы!

Алгоритм Хэмминга с большим разнообразием способов его реализации достаточно прост, очень популярен и позволяет значительно повысить надежность передачи-хранения информации. Особенно при кодировании крупных блоков данных.

Американский математик Р. Хэмминг – удивительный ученый. Автор всего двух (!) публикаций в области информации [1, 3], которые оказали существенное влияние на теорию кодирования, компьютерный мир и телекоммуникации.

Его девиз: цель расчетов – не числа, а понимание.

Теорема академика РАН В. Котельникова, которая связывает непрерывные и дискретные сигналы, указывая на возможность представления аналоговых сигналов в цифровом виде, и коды Хэмминга имеют исключительное значение для теории и техники связи. По сути, они произвели революцию в электросвязи, открыв инженерному сообществу ясную перспективу создания цифровых систем.

В погоне за мнимым парадоксом.

Недавно на страницах АТ один уважаемый профессор высказал мнение о парадоксе кода Хэмминга (греч. paradoxos неожиданный, странный).

Его слова приведены в тексте не просто вскользь или в кавычках. Они вынесены в заголовки, выделены жирным шрифтом, тем самым, претендуя на некую основательность и даже фундаментальный смысл. Но так ли это на самом деле?

Код Хэмминга, как простейший линейный код, полностью выполняет свою первоначальную полезную функцию: позволяет исправлять одиночные и фиксировать двойные ошибки в кодовом слове. Более не может.

То есть допустимо говорить о его несовершенстве, отдельных недостатках.

Только причем здесь парадокс, который соотносится с иной описательной сферой.

Если машина в её широком смысле или алгоритм делают то, что умеют делать, чему они научены, но не умеют другое, это же не парадокс.

Допустим, электрический счетчик A считает с погрешностью 0,2%. Но есть другой более "продвинутый" счетчик B с точностью 0,05 %, что не является парадоксом для A.

Или взять черно-белый телевизор, как родоначальник цветного.

Анахронизм? – Да. Но не парадокс. Всему своё время и место...

На сегодня существует большое количество различных способов реализации этого алгоритма. Модифицированные коды Хэмминга, которые отличаются добавлением дополнительных проверочных битов кодового слова, способны детектировать ошибки большей кратности: три, четыре и более.

Хорошая подборка литературы по помехоустойчивому кодированию, обнаружению и исправлению (коррекции) ошибок представлена на сайте научной библиотеки избранных естественно научных изданий (http://info.sernam.ru/index.php) в переводе с английского языка: У. Питерсон, Т. Касами. Ф. Мак-Вильямс, Н. Слоэн, Р. Блейхут и др. Плюс более свежие издания [4, 5]. Обширный справочный материал по использованию кодов в системах передачи информации содержится в энциклопедии [6, с. 44-104].

Заметим, нигде ни слова, ни полслова (!) о каком-то "парадоксе кода Хэмминга".

Да, возникают теоретические и практические ситуации, когда код перестает надежно выполнять свою полезную функцию. Но это не парадокс, а функциональное ограничение. Причем априори известное и заранее просчитываемое.

Классический образец, когда связываются понятия сложности алгоритма и случайности проявления нежелательных сбоев (отказов) с теорией вычислимости. В частности, по коломогоровской сложности.

Академик А. Харкевич.

В своих ортодоксальных умозаключениях профессор опирается на известную монографию академика А. Харкевича «Борьба с помехами» и делает такой вывод: «Что касается ошибок большой кратности, то теория корректирующих кодов просто игнорирует их ввиду их малой вероятности, что следует из модели "симметричного канала". Но концепция игнорирования "маловероятных ошибок" не исключает возможности их неожиданного появления» (курсив наш – С.Л.).

Мы внимательно изучили упомянутую книгу. Правда, по второму исправленному изданию (1965), вышедшему двумя годами позже [7].

Безусловно, маловероятные события способны иногда себя проявлять. Поэтому вероятностные характеристики описывают частоту наступления всех событий из исследуемого множества.

Более того, существуют распределения с "толстыми хвостами" (fat-tailed distribution), "тяжелыми хвостами" (heavy-tailed distributions) и другие с их большими значениями асимметрии, эксцесса. Когда маловероятные, на первый взгляд, события становятся ощутимой реальностью. Часто довольно неожиданно.

Теперь бережно всмотримся в мысли Харкевича, найдя нужные цитаты-фрагменты:

«Говорят о различной кратности ошибок, имея при этом в виду число q искаженных символов в пределах одной кодовой комбинации... Вместе с тем ясно, что если совокупность ошибок в данной кодовой комбинации превращает ее в какую-либо другую разрешенную, то в этом случае ошибки не могут быть обнаружены» (с. 191-192).

«Если ошибки в каждом символе независимы, то вероятность ошибок убывает с повышением их кратности q, и для уменьшения средней вероятности ошибки следует в первую очередь исправлять ошибки низшей кратности» (с. 195). – Сказано ровно столько, сколько сказано. С вполне четким и понятным смыслом. Речь идет об уменьшении средней вероятности ошибки!

«Расстояние между парой кодовых комбинаций выражает различие между ними. Наименьшее расстояние для данного кода мы будем называть кодовым расстоянием... Корректирующие коды были первоначально созданы для обнаружения и исправления независимых ошибок. Величина кодового расстояния играет в этом случае существенную роль... В случае независимых ошибок вероятность ошибки убывает с возрастанием кратности... следует в первую очередь обнаруживать и исправлять ошибки низшей кратности, как более вероятные» (с. 207-208).

Где вы здесь увидели, что теория корректирующих кодов что-то игнорирует?

Дается четкий и вполне ясный посыл: «следует в первую очередь обнаруживать и исправлять ошибки низшей кратности». – А разве можно как-то иначе? Простая логика, здравый смысл и практика подсказывают, сначала устраняются самые мешающие и часто появляющиеся события. Это же так естественно!

Далее при необходимости "зачищаются" остальные.

Никто ничего не игнорирует. Харкевич вообще использует это слово единственный раз, причем в совершенно другом контексте: «условимся игнорировать постоянные множители, не играющие в наших рассуждениях никакой роли» (с. 88). – Всё!

Помехоустойчивый код первым делом выбирает и воздействует на наиболее важные и часто встречающиеся ошибки-сбои. Наподобие акупунктуры (иглоукалывания) в чувствительных точках.

Одновременно действует классический принцип экономичности или минимаксный критерий: при наименьших затратах достичь наибольший результат.

Если нужный эффект не достигается, система усложняется, – в кодах, как правило, за счет дополнительной избыточности.

Профессор также отмечает: подход к обнаружению и исправлению ошибок, когда ошибки большой кратности (более хэммингового расстояния) игнорируются как маловероятные, непригоден для критически важных систем. – Возразить нечего. Четко, ясно и верно. Только само по себе помехоустойчивое кодирование здесь ни при чём.

Слово остается за Человеком, с его способностями анализа и синтеза.

Без каких-либо кодовых парадоксов.

Не будем также забывать, что алгоритм разработан Р. Хэммингом в послевоенные годы прошлого столетия. Первые совершенные коды были им построены в 1950 году [1].

Они умеют делать ровно столько, сколько умеют делать.

К слову, приведенная профессором таблица из статьи К. Петрова имеет в оригинале название «Вероятность ошибочной коррекции и детектирования ошибок кодами...» и своими истоками восходит к работе [8] (1970). Сам автор в этом плане более интересен диссертацией «Элементы помехоустойчивого кодирования нециклического типа...».

Кодирование, колмогоровская сложность и парадоксальные интерпретации

Согласно классической теории К. Шеннона количество информации определяется в образах случайных величин.

Академик и ученый мирового уровня А. Колмогоров предложил совершенно новое понимание [9]: измерять информацию, заключенную в индивидуальных конечных предметах. В частности, его алгоритмический подход к количественной оценке информации определяет сложность объекта через минимальную длину программы, порождающей этот объект. Оказалось, что это возможно, хотя и с точностью до ограниченного слагаемого.

Не обошлось здесь и без парадоксальных линий в трактовках-токованиях. Поясним отдельные моменты со ссылками на замечательную книгу российских математиков [10].

1. Так, свойство множества быть эффективно нулевым парадоксальным образом зависит не от того, много ли в нём элементов, а от того, какие это элементы – случайные или нет (с. 197).

2. Профессор д.ф.-м.н В. Вьюгин доказал, что можно построить вероятностную машину, которая с определенной вероятностью способна выдавать последовательности, обладающие указанным в задаче свойством. Это кажется парадоксальным: свойство состоит в том, что к последовательности нельзя подобрать меру, которая её "объясняет" (относительно которой она случайна). С другой стороны, такая последовательность с положительной вероятностью получается в ходе алгоритмического процесса. – Дело в том, что этот алгоритмический процесс с положительной вероятностью может дать конечную последовательность, так что не задает никакой вычислимой меры (с. 204).

3. Точной границы между случайными и неслучайными (в интуитивном смысле) цепочками нет, и не может быть (с. 511). Ведь если в случайной цепочке заменить один знак, она остается случайной. Но, заменяя много раз, мы от любой цепочки можем прийти к последовательностям типа 00000000000000000000 или 01010101010101010101.

Это аналог логического парадокса кучи, сформулированного ещё в 4 веке до н.э.

Вернемся к известной теореме Колмогорова: для любого алгоритма A существует такая константа c, что K(A(x)) ≤ K(x) + c для всех x, при которых A(x) определено.

Здесь K(x) – алгоритмическая (колмогоровская) сложность конечного объекта x, равная длине самого короткого двоичного кода, по которому некоторый универсальный алгоритм или способ декодирования может восстановить данный объект x.

Из теоремы следует, что среди алгоритмов, декодирующих строки из их описаний (кодов) существует оптимальный алгоритм. Для всех строк он дает такие же короткие коды, как и другие алгоритмы, с отличием на константу, которая зависит от алгоритма, но не зависит от самой строки.

То есть колмогоровская сложность любой строки не может быть больше (на несколько байт), чем длины самой строки

Эта теорема, в частности, гарантирует, что количество информации не зависит от кодировки. Если мы заменим в каком-то слове все 0 на 1 и наоборот, или разбавим это слово нулями, добавив после каждой цифры по одному нулю, то полученное слово будет иметь ту же сложность, что и начальное слово, с точностью до константы (с. 13). Интуитивно вполне понятно, ибо преобразования в обе стороны выполняются одним алгоритмом.

В целом речь идет не только о сложности слов, но и любых объектов, которые можно естественным образом закодировать двоичными словами путем некоторого вычислимого кодирования.

В рамках предмета данной статьи для нас важны следующие моменты-аспекты:

• теорема о сложности при алгоритмическом преобразовании показывает, что смена кодирования изменяет сложность не более чем на константу;
• переход от одного кодирования к другому является вычислимым преобразованием;
• сложность K(x) объекта можно определить независимо от способа декодирования.

Некоторые коды.

Пол века назад академик А. Харкевич отмечал: «Современная теория кодов представляет собой высокоразвитую алгебраическую теорию. В ней широко используются матрицы, векторные пространства, группы, кольца и поля» [7, с. 214].

Многообещающими он назвал циклические коды, как «идеал в линейной коммутативной алгебре А_n полиномов по модулю хⁿ – 1 над полем коэффициентов» [7, с. 223]. Интуиция не подвела ученого. По некоторым оценкам [11, с. 68] «они являются наиболее ценным достоянием теории кодирования», компактны в описании, просты в реализации (достаточно обычных регистров сдвига). Хотя со сложной теорией в рамках алгебраического аппарата.

Включают в себя коды Хэмминга в качестве одной из разновидностей.

Циклический код, как частный случай полиномиальных кодов, с образующим полиномом G(x) степени r = n – k обнаруживает все групповые ошибки (пачки, пакеты ошибок) длительностью в r символов [12].

Порождающий полином циклического кода является делителем двучлена хⁿ – 1.

В частности, коды БЧХ (Боуза–Чоудхури–Хоквингема) имеют удобные алгоритмы и способны исправлять любое заданное число ошибок. – Понятно, не просто так. За счет высокой избыточности для слов большой длины.

Эту проблему решают каскадные коды (турбокоды), где в качестве компонент могут использоваться рекуррентные (сверточные) коды, коды Хэмминга, БЧХ и др. Кодирование осуществляется непрерывно, без разделения последовательности элементарных сообщений на блоки. Эффективно используется в цифровом телевидении, в системах спутниковой и мобильной связи.

И так далее.

Пределу совершенства, похоже, нет. Разве что он упирается в верхнюю оценку или границу сферической упаковки, предложенную Хэммингом и носящую его имя. Так же как и расстояние Хэмминга между словами одной длины.

Произвольный код способен исправлять любые комбинации из t (и меньшего числа) ошибок тогда и только тогда, когда его кодовое расстояние Хэмминга больше 2t [11, с. 49]. Любопытно, но данное отношение связано с известным неравенством треугольника.

Отдельные полиномы уже стандартизованы и находят практическое применение в соответствующих протоколах управления данными, их передачи и взаимодействия.

Мы не ставим задачу анализа кодов. На это счет существует много специальной литературы. Хотим только подчеркнуть, что код Хэмминга нисколько не устарел, не содержит никакого парадокса и до сих пор включается в другие более совершенные системы (алгоритмы) в качестве составного элемента. – Воистину παράδοξος!

Коды и системы счисления.

Отдельные помехоустойчивые коды непосредственно связаны с позиционной системой счисления (СС). В частности, таковыми являются СС с нецелочисленными основаниями b: 1/2, 1/3, Ф= (1+√5)/2 – константа золотого сечения, Ф² и др.

Если b – иррациональное число, то говорят о СС с иррациональным основанием.

Часто b является корнем алгебраического полинома. Для золотого сечения таковым является квадратный трехчлен x² – x – 1 с соответствующим разностным (возвратным) уравнением F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2}, порождающим числа Фибоначчи.

Поскольку характеристические полиномы во многом эквивалентны разностным или рекуррентным формам-соотношениям, то в последние годы всё чаще используется термин «рекуррентные системы счисления» [13, 14], которые непосредственно связаны с линейными избыточными рекуррентными (сверточными) кодами.

К ним относятся p-сечения (x^p – x^p–1 – 1), q-сечения (x^q – x^p–2 – 1) [13, с. 49] и многие другие полиномы (рекуррентные соотношения). Многие из них описаны в работах И. Федотовой-Пивень И. (Черкасский гос. ун-т) [14].

Значительный интерес представляет алгоритм совмещенного во времени сложения до 1000 операндов (целых положительных чисел) [15]. Он позволяет найти компромиссное решение между быстродействием многооперандного сумматора и аппаратными затратами в рекуррентной системе счисления третьего порядка.

В компьютерном представлении все системы счисления и коды по-прежнему остаются бинарными с привычным алфавитом (0, 1).

Примечательно, что общее количество двоичных слов длиной n, не содержащих несколько нулей подряд, выражается числами Фибоначчи [11, с. 9].

Некоторые парадоксы.

Парадоксы – движители науки. Они рождены «в семействе понятий, описывающих ошибки и противоречия познания... Творчество сплошь соткано из парадоксов, и потому очень важно не только их понять, но и широко ими пользоваться в научном поиске» [16].

Как писал А. Пушкин (1829): О, сколько нам открытий чудных Готовят просвещенья дух И опыт, сын ошибок трудных, И гений, парадоксов друг, И случай, бог изобретатель.

Существует большой спектр парадоксов в физике, математике, логике и др.

Напомним некоторые из них для лучшего понимания, что считать парадоксом.

Так, парадокс Берри состоит в предложении рассмотреть «наименьшее число, которое нельзя определить фразой из не более чем тринадцати русских слов». – Эта фраза как раз содержит тринадцать слов и определяет то самое число, которое нельзя определить. Поэтому получается противоречие.

Хорошо известен парадокс Банаха–Тарского (об удвоении шара): «трехмерный шар равно-составлен двум своим копиям». Другими словами, шар можно разложить на множество частей, из которых потом складываются два точно таких же шара.

Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объем которых равен объему исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объем.

Суть парадокса заключается в том, что в трехмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объема, если под объемом мы понимаем то, что обладает аддитивным свойством, и предполагаем, что объемы двух конгруэнтных множеств совпадают.

Очевидно, что "куски" в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике).

Для плоского круга аналогичная теорема неверна.

Это действительно парадокс. По теории всё правильно. Но формула «из одного – такие же два» в голове укладывается с трудом. Остается лишь уповать на теологическую аналогию: Credo quia absurdum – верую, ибо абсурдно.

Парадокс, это когда мы считаем, что Вселенная была и будет всегда, а затем пытаемся понять, как же она всё-таки возникла.

Либо нечто похожее на порочный круг или логический парадокс в известной проблеме курицы и яйца. Одним словом, "сепульки" (С. Лем).

Замечено, что научная проблема решается успешнее, если она осознана как общая и соответственно найден общий метод – такой, по отношению к которому метод решения исходной задачи оказывается лишь частным случаем [16]. При этом "слабым" принимается положение, логически выводимое из другого – "сильного". То есть часто "легче доказать более сильную теорему, чем более слабую" (парадокс изобретателя, Д. Пойа).

Известен информационный парадокс, который связан с черными дырами, как несогласованность квантовой механики и моделей теории общей относительности.

Английский физик С. Хокинг считает, что "всепожирающая" черная дыра бессильна перед информацией, которая остается на поверхности горизонта её событий.

Но это где-то там, далеко… А что на Земле?

«Современное общество топит себя в информации. Мутные потоки информации превысили индивидуальные и социальные возможности их фильтрации для полезного использования. Подавляющая часть циркулирующей в "Сети" информации человеку не нужна: требуются лишь результаты ее обработки. Низкосортное перепроизводство "информационных ресурсов" превратило "Сеть" в аморфную среду коммутатора, нагнетающего чрезмерные потоки информации» [17]. – Мы ещё до конца не осознали данный феномен, готовящий нам целую гамму парадоксальных "сюрпризов"...

Человек давно в поисках создания искусственного интеллекта (ИИ). Обычно под этим понимаются разноплановые "умные" машины-роботы.

Но если вдуматься, то ИИ давно и незримо витает вокруг нас. В виде нарастающего кома глобальной информации. И никакой, самый помехоустойчивый код не спасет, если однажды ИИ возьмется за перекодировку нашего генетического кода...

Самый интересный код.

По аналогии с парадоксом о самом интересном числе [18], рассмотрим одну аллегорию с шутливыми интонациями, которая возникает из-за попыток деления коды на интересные (хорошие) и неинтересные (скучные, плохие). Примерно как у того профессора.

Пусть N = {1, 2, 3, ...} – множество всех возможных кодов.

Утверждение. Неинтересных кодов нет.

Доказательство (от противного). Предположим, имеется непустое подмножество кодов, которые неинтересны. Поскольку N – вполне упорядоченное множество, то среди неинтересных кодов обязательно найдется некоторый, самый неинтересный код.

Обладая такой уникальной особенностью, этот код более не может называться неинтересным. Следовательно, он не может и находиться в ряду неинтересных кодов, автоматически переходя в разряд особенных интересных кодов.

Утверждение доказано.

Таким образом, самый неинтересный или плохой код уже только из-за этого становится по-своему интересным.

Код Хэмминга является интересным и нисколько не парадоксальным только потому, что он первый в своем роде, теоретически и алгоритмически обоснован, позволяет выполнять полезную функцию в рамках известных условий-ограничений.

В теории дифференциальных уравнений подобные вещи называют начальными и краевыми условиями, которые позволяют выбрать из семейства решений одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению.

Хотя в определенном смысле мы готовы считать код Хэмминга парадоксальным. Ибо в силу своих редкостных свойств он до сих пор "держится на плаву", описывается практически в любой монографии или учебнике по кодированию информации, входит в некоторые современные более совершенные коды в качестве составного элемента. Не говоря уже о его эпохальной значимости для цифровой техники. Действительно парадокс!

Вместо заключения.

Понятие парадокса возникло в античной философии для обозначения нового, необычного мнения, которое расходится с общепринятым взглядом-представлением в науке и обществе. Нередко конфликтует и со здравым смыслом.

Парадоксы привлекают своей неожиданностью, придают особый лоск высказываниям и часто воспринимаются как дерзновенность ума. Являясь одним из способов нетривиального поиска-постижения истины и научного познания, парадокс импонирует, необходим и полезен. Часто указывает на неполноту или ошибочность какой-либо научной теории.

Следует отличать собственно парадокс, как самостоятельное суждение, от парадоксальности – стилистического приема или риторической фигуры.

Суждение о «парадоксе кода Хэмминга» небезынтересно по форме, но не верно в смысловом отношении, и само по себе идентифицируется образцово-типичным парадоксом.

Как жанровая черта и/или красочность высказывания. Обычно с целью искусственного привлечение внимания.

Во всяком случае, формулировка о "парадоксе кода" неизмеримо далека от известной классической фразы: «необъяснимо, но факт».

Обещанную 2-ю часть статьи уважаемого профессора мы, конечно, посмотрим. Хотя, сдается, заранее знаем её содержание, сполна построенное на уже известных результатах.

Repetitio est mater studiorum... Вторую часть средневековой заповеди опускаем.

Литература:

1. Hamming R.W. Error detecting and errorcorrecting codes // Bell Syst.Tech.J. – 1950. – Vol. 29, pp. 147-160.
2. Golay M. Notes on Digital Coding // Proc. IRE. – 1949. – Vol. 37, p. 657.
3. Хэмминг Р.В. Теория кодирования и теория информации: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1983. – 176 с.
4. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение: Пер с англ. – М.: Техносфера, 2006. – 320 с.
5. Грэхем Р, Кнут Д, Паташник О. Конкретная математика: Пер. с англ. 2-е изд. – М.: Вильямс, 2015. – 784 с.
6. Вишневский В.М., Портной С.Л., Шахнович И.В. Энциклопедия WiMax. Путь к 4G. – М.: Техносфера, 2010. – 472 с.
7. Харкевич А.А. Борьба с помехами. 2-е изд., испр. – М.: Наука, 1965. – 276 с.
8. Hsiao M.Y. A Class of Optimal Minimum Odd-Weight-Column SEC-DED Codes // IBM J. Res. Dev. – Vol. 14, Issue 4, (July 1970), 395-401.
9. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. – 1965. – Т. 1, Вып. 1. – С. 3-11.
10. Верещагин Н.К., Успенский В.А., Шень А. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность. – М.: МЦНМО, 2012. – 570 с.
11. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Коды и математика (рассказы о кодировании). – М: Наука. 1983. – 144 с.
12. Савчук В.Л. Электронные средства сбора, обработки и отображения информации: Учеб. пособие. – Томск: Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2007. – 174 с. – URL: ie.tusur.ru/books/COI/index.htm.
13. Чернов В.М. Арифметические методы синтеза быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований. – М.: Физматлит, 2007. – 262 с.
14. Федотова-Пивень И.Н. Анализ рекуррентных систем счисления с помощью производящих функций // Наука і техніка повітряних сил збройних сил України, 2015, № 1(18). – С. 162-165.
15. Эффективное совмещенное мультиоперандное сложение в избыточной линейной рекуррентной системе счисления третьего порядка / И.Н. Федотова-Пивень, В.Г. Бабенко, О.Б. Пивень, С.Ю. Куницкая // East European Scientific J. – 2016, 11(15), part 2, 19-24.
16. Сухотин А.К. Парадоксы науки. – М.: Молодая гвардия, 1980. – 240 с.
17. Федотов А.М. Парадоксы информационных технологий // Вестник НГУ. Информационные технологии. – 2008. – Т. 6, вып. 2. – С. 3-14.
18. Василенко С.Л. Ноль как непревзойденный архетип и ноумен // Научно-техническая б-ка SciTecLibrary. – 04.02.2013. – URL: sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/12565.html.