Поводом обращения к данной теме стала статья [1], как прекрасный образец творческой работы, когда отец-профессор передает знания и опыт своему сыну.

Плюс к этому обмен мнениями в большом авторском коллективе, который инициировал Ю. Цымбалист (16.08.2017).

Сразу выскажем собственное видение: "компьютеров Фибоначчи" никогда не было и, скорее всего, никогда не будет. В том числе с учетом отдельных полемических моментов, которые освещены в работах [2, 3].

Хотя А. Борисенко в этом плане более оптимистичен. Прежде всего, без всякой напыщенности он весьма тактично и безошибочно изменяет терминологический угол зрения, говоря о микропроцессоре <Фибоначчи>, понимая под этим любое устройство в интегральном исполнении, выполняющее самостоятельную функцию и состоящее из нескольких блоков. Одновременно отмечает его главное достоинство – помехоустойчивость.

Он не исключает «возможность построения персональных фибоначчиевых компьютеров, хотя бы в будущем», но предлагает идти эволюционным путем. Сначала, по меньшей мере, добиться «признания фибоначчиевой системы счисления... для решения в первую очередь специальных задач, например, построения определенных видов управляющей техники для тех же атомных станций или датчиков».

Приведем одну выдержку из недавней статьи, которая аккумулирует и обозначает общую направленность в данной области [4]: «Коды Фибоначчи эффективно могут быть применены в системах сбора и передачи информации, содержащих в качестве датчиков информации помехоустойчивые фибоначчиевые счетчики импульсов, регистры, дешифраторы и другие подобные устройства, а в качестве приемников информации компьютеры. Использование фибоначчиевых чисел в подобных системах передачи информации с предварительной цифровой обработкой позволяет осуществить их сквозной контроль и тем самым увеличить достоверность сбора, хранения и передачи информации». – Четко, ясно, перспективно. Никаких панкратионов и/или "замашек" на революционные изменения в компьютерной идеологии.

Рассматривая мир компьютеров, некоторые исследователи часто смешивают вопрос используемой системы счисления с общим сложным программно-техническим организмом, который называется ЭВМ и осуществляет автоматизированную обработку данных.

Действительно, существует хорошо известная позиционная система счисления на основе чисел Фибоначчи (в порядке следования разрядов): ... 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1.

Она содержит много избыточных построений. Только в четырехбитной структуре двоичного вида их четыре: 3 = 0011=0100, 5 = 0110=1000, 6 = 0111=1001, 8 = 1011=1100.

В работе [5] показано, что каждое целое число можно выразить в виде суммы чисел Фибоначчи единственным образом, если в любом месте записи не содержатся две единицы подряд.

По такой схеме в четырехбитной системе можно однозначно представить только числа от 0 до 7, что по существу в два раза меньше, чем в обычной двоичной системе.

Вместе с тем отсутствие рядом стоящих единиц является положительным моментом и удобным тестовым инструментарием для вычислительных комплексов с последовательным доступом и хранением данных.

Аналогичным образом исключаются представления с двумя нулями подряд, и любое целое число определяется единственным образом [6] с доминированием единиц.

Отец & сын Ткаченко показали [1], что подряд идущие единицы "аннигилируются" сами собой, если числа Фибоначчи разбить на две последовательности, состоящие из четных и нечетных номеров. На этой подоснове они предложили вариант построения 9-разрядного сумматора, реализуемого автоматом 3-го рода Л. Мараховского.

Один уважаемый профессор упрекает авторов Ткаченко, что они якобы «живут в 20-м веке и не знакомы с современными работами в этой области». – Трудно судить обо всех деталях-нюансах, но идея синтеза сумматора в их представлении нам показалась свежей и заслуживающей внимания.

Одновременно профессор подчеркивает, что в настоящее время ведутся серьезные работы по "Фибоначчи-компьютерам", и в качестве примера приводит недавно запатентованный "уникальный (?) счетчик".

Такой патент существует [7], но речь идет о традиционном счетчике импульсов в вычислительной технике, коих в мире на сегодня наличествуют сотни типов. Как следует из реферата, "чудо-счетчик" можно использовать в устройствах дискретной обработки и передачи информации. Ни слова о Фибоначчи или компьютерах.

Чтобы расширить наш узкий кругозор, профессор приводит ссылки на свои три, как он говорит "новейшие статьи", в электронном журнале «British Journal of Mathematics and Computer Science». Их внимательное прочтение позволяет сделать однозначный вывод, что новизна соотносится лишь со временем публикации (2015-2016). Если же смотреть на суть и содержание, то по образному выражению одного из участников дискуссии в них «представлена информация не только ХХ века, а и более раннего периода». – Оно и понятно. Профессор попросту излагает-переписывает старые сведения, переводя их на разные языки.

За рубежом на эту тему давно никто не пишет. Ибо теоретическая часть фибоначчиевого подхода в системах счисления давно отработана и хорошо известна.

Например, естественным развитием способа-техники с числами Фибоначчи стала система счисления трибоначчи [8, 9], основанная на числах: ... 81, 44, 24, 13, 7, 4, 2, 1.

Она тоже содержит избыточные построения, хотя и не очень много. Так, в четырехбитной системе двоичного вида только одно: 7 = 0111=1000.

Доказано [8], что после исключения записей с тремя и более единицами подряд, оставшиеся числовые формы выглядят "уникальными" (однозначными).

Следующим обобщением становятся системы счисления m-наччи [10] и т.п.

Кроме того, наличествуют биномиальные, факториальные позиционные системы счисления и многие другие.

У каждой из них есть свои плюсы и минусы. В частности, не избыточные системы (двоичные и др.) способны экономным образом выражать большее количество чисел. Избыточные имеют преимущества при передаче-хранении информации и быстром выполнении некоторых арифметических операций [11].

Профессор также утверждает, что «двоичная система счисления не может служить информационной и арифметической основой специализированных и компьютерных систем... Альтернативы для кодов фибоначчи … не существует». – Возможно. Где-то в необозримом будущем. Но для этого необходимы не просто голословные посылы-формулировки, а как минимум, серьезные аргументированные исследования с оценкой быстродействия, помехоустойчивости, аппаратурных затрат и многое другое.

То есть всё то, о чём справедливо рассуждал А. Никитин [2].

К слову, повсеместно используемая сегодня двоичная система применялась в Китае ещё пять тысяч лет назад [12, с. 2422], как самая простая из позиционных систем счисления.

В этой уникальной "примитивности" она вне конкуренции. На все века.

Наконец, заключительный штрих...

Профессор неустанно проводит мысль, что фибоначчиевы системы счисления якобы обязаны использованию «гиперболических функций Фибоначчи» (ГФФ), – в его соавторстве с И. Ткаченко и Б. Розиным. При этом любые попытки «свести на нет уникальные математические свойства ГФФ являются примером "интеллектуального пустозвонства"».

Так ли это на самом деле? И где та незримая граница между громкими фразами-заявлениями и буднично-рутинной работой?

Англоязычные публикации раннего периода, часть из которых упомянута нами выше, наглядно свидетельствуют о том, что все исследования и доказательства в области построения и реализации систем счисления построены исключительно на основе разностных (возвратных) уравнений, формирующих обобщенные последовательности Фибоначчи, а также их характеристических алгебраических уравнений.

Более ничего не надо!

Функция ГФФ, как искусственное образование с формальной заменой одних буковок другими, записывается исключительно (!) для уравнения практически минимальной сложности x² – px – 1 = 0.

Всё! – Далее математический тупик.

Вместе с тем применение общепринятого подхода, основанного на огибающих линиях к волнообразным непрерывным функциям, позволяет решать задачи любой сложности в пределах алгебраического (полиномиального) уравнения с одним неизвестным произвольного порядка и соответствующего представления через обобщенные последовательности Фибоначчи. Без малого любого вида.

Например, уже для несложной системы счисления трибоначчи невозможно выписать ГФФ. В то же время система спокойно вытраивается, анализируется. Доказываются все необходимые положения. Если нужно, записываются формулы для огибающих линий.

Или взять единственное представление каждого неотрицательного целого n в виде суммы различных чисел Фибоначчи p-го порядка [13, с. 313]. Функцию ГФФ не только невозможно записать, но даже мысленно вообразить. – Сродни известному анекдоту про В.И. Чапаева о квадратном трехчлене на экзамене по математике.

Функция ГФЛ – обычный рудимент.

Её удел - методологическая "бритва Оккама". Она безболезненно отсекается как ненужная сущность.

Вместо этого, в простейшем случае обычных чисел Фибоначчи осуществляется их элементарное размежевание на четные и нечетные номера. Чисто алгоритмически. Как предлагают и успешно выполняют И.Ткаченко & М.Ткаченко [1].

Куда ещё проще и нагляднее?

Отдельные аспекты затронутой тематики c более подробными описаниями можно найти в наших работах [14-17]. Повторения излишни.

Omnis qui quaerit invenit...

Литература:

1. Ткаченко И.С., Ткаченко М.И. Функции Фибоначчи, операции троичной логики, автоматы 3-го рода Л.Ф. Мараховского как основа построения сумматора Фибоначчи-компьютера // АТ. – М.: Эл № 77-6567, публ.23632, 14.08.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163382.htm.
2. Никитин А.В., Компьютеры Фибоначчи // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16780, 25.08.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321217.htm.
3. Борисенко А.А. Реплика по поводу микропроцессоров Фибоначчи // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16805, 01.09.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321223.htm.
4. О помехоустойчивости фибоначчиевых чисел / А.А. Борисенко, С.М. Маценко, С.М. Мальченков, О.И. Ямник // Системи обробки інформації. – 2015. – Вип. 4(129). – С. 84-87.
5. Zeckendorf E. Representation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas // Bull. Soc. Royale Sci. Liege 41, 1972, 179-182.
6. Brown J.L. Zeckendorf’s theorem and some applications // The Fibonacci Quarterly. – 1964, Vol. 2.2, 163-168.
7. Пат. 104939 U Україна, МПК (2014.01) H03K 23/00. Перешкодостійкий лічильник імпульсів Борисенко-Стахова / О.А. Борисенко, О.П. Стахов (Україна); заявник та патентовласник Сумський держ. ун-т. – № a201210506; заявл. 05.09.2012; опубл. 11.03.2014, бюл. № 5.
8. Fraenkel A.S. Systems of numeration // Amer. Math. Monthly. – 1985, Vol. 92, 105-114.
9. Capocelli R.M., Gerbone G., Cull P., Hollaway J. Fibonacci facts and formulas, and Sequences // Int. Conf. on Combinatorics, Compression, Security, and Transmission, New York: Springer-Verlag, 1990, 133-137.
10. Klein S.T. Combinatorial representations of generalized Fibonacci numbers // The Fibonacci Quarterly. – 1991, Vol. 29.2, 124-131.
11. Butler J.T., Sasao T. Redundant multiple-valued number systems // The Proc. of the Japan Research Group on Multiple-Valued Logic, – 1997, Vol. 20, 141-148. – URL: faculty.nps.edu/butler/publications.html/.
12. Newman J. The World of Mathematics, New York: Simon and Shuster, 1956.
13. Кнут Д.Э. Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск, 2-е изд.: Пер. с англ. – М. ООО «И.Д. Вильямс», 2007. – 832 с.
14. Василенко С.Л. Гиперболические лабиринты на пути к гармонии // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15513, 06.09.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161539.htm.
15. Василенко С.Л. О бедном квадрате замолвите слово... // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.15675, 28.11.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161586.htm.
16. Василенко С.Л. Гиперболические метаморфозы аддитивно-рекуррентных последовательностей // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.16255, 27.12.2010. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161750.htm.
17. Василенко С.Л. Золотая константа в погоне за троичностью позиционных систем счисления // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 23404, 24.05.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163305.htm.