У трех экономистов пять мнений,
и все "золотые, по Фибоначчи…

Введение.

Старинная английская пословица гласит: history repeats itself – история повторяется.

Ближе к библейскому аналогу звучит, как всё возвращается на круги своя, – «и возвращается ветер на круги свои» (Еккл. 1:6).

Или другой распространенный вариант: всё новое – хорошо забытое старое. Соотносится с поэтической версией К. Фофанова (1862–1911): «Ах, экономна мудрость бытия, Всё новое в ней шьется из старья».

Видимо, это неплохое обыкновение, время от времени перечитывать, осознавать и переосмысливать некоторые работы и целые направления развития науки.

Коснемся только отдельной узкой области – золотого сечения (ЗС)...

Рассматривая проблематику связи времён, не можем не отметить недавнюю работу П. Фомичева [1], написанную под впечатлением осмысления идей "универсального человека" Леонардо да Винчи (1452–1519) в канун 500-летия со дня его смерти. Анализируя «электронную числовую последовательность 1, 2, 8, 18, 32», автор демонстрирует любопытное приближение к золотой константе ф: 18/32 – 8/18 + 1/2 = 0,6180(5).

Данный результат составлен из первых четырех натуральных чисел 1/2 – (2/3)² + (3/4)² = 89/144 = F₁₁/ F₁₂ и приводит к делению двух последовательных чисел Фибоначчи F.

Ещё шведский физик Р.Ридберг заметил [2, с. 113], что общее число электронов на электронном уровне (слое) или ряд чисел (2, 8, 18, 32) описывается простой формулой 2n², как удвоенные квадраты целых чисел n = 1, 2, 3, 4. Они же дают количество химических элементов в периодах таблицы Менделеева: 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32.

Вот такие неожиданные связи-отношения. То ли простые совпадения, то ли следствие неких общих закономерностей. Как знать?..

В экономике всё намного сложнее. Четкие и однозначные числовые соотношения в ней – большая редкость. Отсюда возникают вольности интерпретаций-толкований.

Когда от квазиЗС до псевдоЗС – один шаг.

Немного ретро.

На страницах АТ весьма неожиданно появилась статья 13-летней давности [3], до этого находящаяся в свободном доступе. На наш взгляд, в ней с самого начала слабо обосновано возможное присутствие ЗС в экономике, о чём мы ранее дискутировали с проф. А. Иванусом на страницах АТ.

Возможно, появление статьи как-то связано с последующей на неё ссылкой по вопросам самоизмерения и самоподобия целого [4]. В частности, с освещением гипотезы о том, что ЗС служит индикатором устойчивости и стабильности конкуренции на свободном торговом рынке.

Так или иначе, но в ретро-варианте [3] роль "усилителя" значимости-весомости исследований, конечно, отведена первому соавтору – замечательному ученому, академику И. Прангишвили.

Сдается, его тоже не минула участь окунуться в экзотическую феноменологию ЗС. Поскольку ранее, как будет показано ниже, он писал об этом в совершенно ином ключе.

Напомним и мы начало одной из наших с В. Беляниным статьи [5], смысловая часть которой, по нашему мнению, продолжает оставаться актуальной:

«На сегодня выявлено большое количество математических констант разного уровня значимости. Все они служат человеку во благо науки.

Так, число "пи" – абориген и почетный житель числовой оси. Его следы можно обнаружить везде, даже в области целых чисел. Однако нет ни одного закона, специально ему посвященного. Окружность не в счет.

А вот с золотым сечением (ЗС) просто наваждение. Многим оно не дает покоя, прямо как будто неиссякаемый кладезь будущего науки. Законы так и сыплются, словно из рога изобилия... Штурм высоты ЗС продолжается непрерывно. Бумага всё терпит.

И это, в конечном счете, радует, несмотря на известные издержки. Ибо количество имеет свойство иногда преображаться в новое качество».

Почему об этом вспомнилось? – Всё по той же причине: попытаться отделить добрые "золотые" зерна от плевел – «сынов лукавого» (Мф. 13:24-38).

Академик И. Прангишвили о золотом сечении.

Со ссылкой на работу [6] академик АН Груз.ССР И. Прангишвили отмечал: «Не происходит общий переход системы от беспорядка к порядку или по всем параметрам системы. Равновесие между беспорядком и порядком в целом по всем параметрам системы предполагает их неравенство для отдельных частей и отдельных параметров» [7, п. 1.7].

Транспонируя данные закономерности на область экономики, он считал, что главные показатели и/или параметры любой сложной системы (собственность, ресурсы, стоимость, доходы, прибыль, фонд зарплаты и др.) следует делить оптимально.

Тогда появляется возможность получить наиболее устойчивую, стабильную, гармоничную и эффективную систему. Если конкурентов два, тогда основной показатель системы как целое надо разделить на две неравные части 62 и 38 % (золотое сечение) или 2/3 и 1/3, либо близкие к ним числа.

Как видим, для ученого иррациональная золотая пропорция никогда не являлась неким точным соотношением, включая элементы экономических систем.

Более того, золотое сечение он практически не отделяет от обычной рациональной модели "одна треть", де-факто их уравнивая: «Некоторые ученые считают, что "золотая пропорция", делящая целое на две неравные доли 2/3 и 1/3 от целого, является выражением и творением "божественной пропорции" и геометрическое отношение по "золотой пропорции" (2/3 = 0,618 и 1/3 = 0,382) находится в резонансе с действием сил природы» [7, п. 2.4].

Само по себе уравнивание ЗС и модели "две трети" не случайно и говорит о многом.

Золотое сечение – не догма-абсолют деления целого на аддитивные части. Но некий ориентир, наравне с другими рациональными конструкциями, вокруг которого группируются ассиметрично-равновесные состояния систем. Включая простую модель рациональной пропорции "одна или две трети" [8].

«Пропорция "золотого сечения" открыта человеком с древнейших времен и используется как мудрость, предоставленная природой. Эта пропорция создает совершенные формы путем "деления целого на две неравные доли – 2/3 и 1/3"... Метрика "золотого сечения" соединяет дихотомически выделенные части мира в единое целое и задает гармоническую шкалу его изменения» [7, п. 3.4.8].

Любопытным является подход академика к социально-экономическому развитию страны: «Прогрессивное и устойчивое развитие человечества возможно только при доминировании социалистического уклада жизни над капиталистическим. При этом соотношение между ними, по мнению ряда ученых, должно удовлетворять "золотой пропорции" ("золотому сечению"), т.е. 2/3 должен составлять социалистический уклад, а 1/3 – капиталистический» [7, п. 5.3].

К слову, весьма полезная теза, которую не грех взять на заметку пропагандистам внедрения идей чистого социализма. Особенно идеологам-адептам теолого-политической селекции в виде новоявленного «православного (?) социализма» [9].

Не убедительно выглядит утверждение в работе [3] «В анализе валютного рынка FOREX волны Р. Эллиота официально признаны инструментом технологии золотого сечения» со ссылкой на более раннюю статью (А. Иванус, 2003). Хотя математической основой теории волнового движения биржевых рынков (Эллиот, 30-е годы XX века), по признанию самого автора, стали "модные" в то время числа Фибоначчи.

Прогнозы, основанные на волновом принципе Эллиотта – неоднозначны и субъективны, поскольку невозможно определить единообразно, где эти волны начинаются и где заканчиваются.

Равно как и золотоносное условие устойчивости ценовой структуры на конкурентном рынке [3], которое академик И. Прангишвили справедливо не отделял от более актуализированной модели или рациональной дроби "2/3".

Без надуманной натяжки и/или искусственного привнесения золотого сечения.

А такие поползновения, к сожалению, ширятся всё более, например [10–15].

Так, развивая золотоносную идею в экономике в ряде статей А. Иванус настойчиво, но без должного уровня проработки, отстаивал точку зрения, что энтропия дискретного биномиального и непрерывного нормального распределения стремится к "золотой" пропорции.

Очевидное заблуждение, направленное на некое "узаконение" ЗС в экономике, обусловлено некорректным анализом коротких нерепрезентативных интервалов.

В наших работах [16, 17] строго математически показано, что золотое сечение не является асимптотой энтропии биномиального и нормального распределений.

В то же время модели на основе приближенного (!) ЗС в экономике могут спокойно работать. Только не нужно голословно настаивать, будто ЗС проявляет себя явно на 100 процентов. Поскольку с увеличением ряда на большие выборки энтропия биномиальной структуры де-факто строго стремится к пределу 0,5. С этим трудно и напрасно спорить, а наоборот логично выстраивать правильную философию самой экономики.

Для упомянутых распределений она в удаленной перспективе будет содержать деление "фифти-фифти" – fifty-fifty или 50 на 50.

Дело в том, что на большие интервалы времени никто экономику не прогнозирует.

Если и предпринимаются попытки, то без особой деталировки, и больше по принципу "выживет – не выживет".

В пределах разумных расчетных интервалов времени теория квазиЗС может работать относительно надежно.

Но исключительно как очень приблизительная структура отношений.

Настоящее имя которой (по И. Прангишвили) – одна или две трети.

Просто, ясно и доходчиво. – Как и должно Академику с большой буквы.

Деление 1/3 (треть).

По аналогии с золотой пропорцией можно сформулировать комплементарное отношение: две величины образуют отношение "один к двум", если отношение x суммы большей b и удвоенной меньшей величины к большей равно отношению большей величины к меньшей a.

Так, мы приходим к квадратному уравнению x² = x + 2, которое отличается от "золотого" лишь коэффициентом 2 в свободном члене.

Положительный корень этого уравнения равен 2, отрицательный –1.

То есть меньшая часть составляет 1/3, большая равна 2/3.

Прекрасный результат, имеющий полное право на самостоятельную классификацию в области пропорциональных делений. Включая экономические системы.

Примечательно, что после половинки 1/2 здесь образуются самые простые обыкновенные дроби.

Дробь 2/3 имеет особую значимость в человеческой практике. Не случайно две трети парламентских голосов обычно считается достаточным для преодоления вето. Такой показатель одобрительного отношения в два раза больше оставшейся части 1/3, потому считается значимым.

Без всяких вероятностных признаков, доверительных интервалов, уровней значимости и прочей статистической атрибутики.

Две трети "2/3" – всё просто, понятно и внятно.

При этом отношение частей Ф в золотой пропорции занимает в точности золотое положение на числовой оси между числами 1 и 2, которые соответствуют половинному делению и делению "одна треть" (см. рисунок).

В общем случае, целая степень золотой константы Ф^m дает золотое сечение отрезка, заключенного между последовательными числами Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13...

Академическая мозаика.

Недавно (22.07.2017, АТ) один профессор, вместо оценки содержимого нашей статьи по существу, апеллировал к академику АН Украины Ю. Митропольскому (1917–2008). Возможно, вспомнились-актуализировались родственные связи (a3d.ru/disput/61/871, В. Белянин), в чём нет ничего необычного. Одновременно он высказал мнение, что в статье, направленной против гиперболических функций Фибоначчи (ГФЛ), «предлагается уничтожить новое научное направление в области "золотого сечения", созданного славянскими учеными».

Расставленные акценты, на наш взгляд, не точны.

Новое (?) научное направление априори нельзя нивелировать или уничтожить, если оно, так таковое, имеет место быть. Взывание к "славянским ученым" – весьма размытое и неотчетливое понятие-толкование в научном пространстве. Хотя с вполне понятной патриотической патетикой в данном случае. Так сказать, в ногу со временем…

Чем хороша математика? – В ней все равны: академики и школьники, профессионалы и любители, славяне, арии и др. Если есть "непробиваемые" доводы, никакой трижды лауреат-академик не в силах что-либо изменить на свой лад.

Главным остается доказательная база.

А она такова, что функции ГФЛ имеют смысл исключительно для примитивного случая алгебраического уравнения x² = mx + 1. Дальше него элементарно не работают! Хотя традиционные последовательности Фибоначчи-Люка в общем случае легко расширяются на алгебраическое уравнение общего вида. В виде известных в математике огибающих линий к кривым семейства функций, основанных на знании корней алгебраических уравнений для различных модификаций непрерывной функции Люка или Фибоначчи, о чём подробно изложено в наших работах (trinitas.ru/rus/doc/avtr/01/0738-00.htm).

Функции ГФЛ не привносят в математику дополнительных знаний, и привнести не могут. Ибо появились в результате искусственно-тривиального изменения обозначений или чисто буквенной манипуляции для простого частного случая.

Какое отношение это имеет к экономике, в частности, к проявлению золотоносного феномена? – Самое прямое!

Нельзя частное распространять на общее без должного обоснования.

И наоборот, если уже есть общее, не нужно, в противовес ему, выдумывать частное.

В то же время некоторые авторы часто выдают конкретный пример за некую основу в экономике. Тем самым, нарушая научные основы методологии обобщения.

Не случайно, по этому поводу рождаются разные шутки. Например: «Экономика – это способ существования лжи посредством манипуляции статистикой» (Г. Москвин) и др.

В математике хорошо известно положение: неразрешимость задачи даже в одном-единственном (частном) случае означает, что у неё нет и общего решения.

Иначе говоря, достаточно нескольких убедительных контр-примеров, чтобы показать несостоятельность гипотетической тезы в экономике, ошибочно выдаваемой в качестве общей закономерности.

Именно по такой схеме Ю. Матиясевич доказал (1970) алгоритмическую неразрешимость десятой проблемы Гильберта, предъявив 10 диофантовых уравнений на основе чисел Фибоначчи.

Золотоносный подход

Золотое сечение имеет разные теоретические интерпретации.

Предложим ещё две, на наш взгляд, небезынтересные версии.

1) Возьмем от целого, условно равного 1, некоторую часть – x.

От этой части x возьмем точно такую же часть x, что составит x².

Сложим эти части и приравняем сумму исходному целому x² + x = 1.

Положительным решением является малая золотая константа ф = (√5 – 1)/2 ≈ 0,618.

Целое сложилось из частей без сучка и задоринки.

К примеру, если положить x > 2/3, то получим "перебор" 2/3 + (2/3)² = 10/9 >1.

Для половины x = 1/2 < ф имеет место "недобор" 1/2 + (1/2)² = 3/4 < 1.

Какие здесь можно провести приблизительные аналогии в экономике?

Допустим, взяли из некого фонда (например, стабилизационного) 61,8 

Взятые средства расходуются тоже не сразу. От них берем уверенно только 61,8 

В итоге получается строгий баланс 38,2 + 61,8 = 100 %.

То есть, какую часть целого взяли, такую же часть от этой части вложили. Параметр x играет роль своеобразной "золотой акции"! Наподобие золотовалютного запаса.

Величина x < ф соответствует недоучету имеющихся возможностей.

Принятие x > ф означает повышенный риск и опрометчивую переоценку возможностей.

Конечно, в теории и на практике всё гораздо сложнее, динамичнее. Можно рисковать или наоборот осторожничать. Параметры системы постоянно меняются.

Но общая оптимальная тенденция-стратегия пополнения и расходования "общего котла" в макро-измерении именно такая. Как раз на это и указывает «золотая модель».

Если изъяли и израсходовали средств больше, чем допускает золотая пропорция, «всё, пиши – пропало». Возможно, не сразу. Но позже обязательно аукнется.

Баланс частей нарушается. Далее идет рецессия, стагнация, кризис и т.п.

Понятно, изложенное – лишь гипотетически-квазизолотая модель в экономике.

2) Важной особенностью золотой модели является её наглядное числовое толкование.

А именно: числа 1, x и x² образуют геометрическую прогрессию со знаменателем равным q = x.

При этом каждый член геометрической прогрессии равен сумме двух последующих элементов: 1 = x + x².

То есть золотоносная конструкция спокойно выстраивается без традиционного деления отрезка на две части, принятого в евклидовой геометрии.

Выбор единичного целого априори также не обязателен.

Достаточно обозначить (принять) исходное условие задачи: найти геометрическую прогрессию чисел c, cq, cq², cq³, cq⁴… такую, что каждый член последовательности равен сумме двух последующих членов cq^m = cq^m+1 + cq^m+2 или 1 = q + q².

Отсюда получаются два полноправных решения q = (ф, –Ф).

В первом случае образуется убывающий ряд {cф^m} = c·(1, ф, ф², ф³, ф⁴...).

Во втором случае – знакопеременный ряд {c(–Ф)^m} = c·(1, –Ф, Ф², –Ф³, Ф⁴...).

Как видим, схема построения напоминает аддитивно-двучленную рекуррентную модель формирования целых чисел Фибоначчи. Только там каждое новое число равняется сумме двух предшествующих чисел.

При золотом делении геометрического отрезка, как правило, ограничиваются положительным решением, поскольку отрицательный корень уводит в область внешнего деления отрезка, относительно точки, лежащей за пределами исходного отрезка.

Приведенная геометрическая прогрессия чисел ничем этим не обременена.

Начальная постановка задачи максимально компактна и формализована.

Всё просто и наглядно.

Вместо заключения.

Конечно, "золотоносные" экономические работы нельзя считать легковесными.

Как правило, в них представлен некий анализ числовых параметров, имеющих отношение к экономическим аспектам, но только на отдельных разовых примерах.

Однако это ещё не экономика.

Можно придумать сколь угодно разных процентов практически на любое соотношение, включая золотое сечение. Чтобы утверждать об всеобъемлющих закономерностях ЗС, необходимы обстоятельные теоретические исследования-основания. Но никак не разовые произвольные игровые манипуляции с числами-процентами.

Поэтому выводы-заключения многих авторов в этой сфере, на наш взгляд, слабо аргументированы и не могут быть отнесены к разряду серьезных результатов.

Именно на это профессионально точно акцентирует внимание доктор экономических наук профессор В. Фомин [18]: «История показывает, что золотое сечение в чистом виде не характерно для экономического развития, подверженного периодическим кризисам, которые зачастую выступают принудительным фактором соблюдения такой пропорции. Поэтому она уместна в качестве оценочного ориентира или базы сравнения для характеристики фактического положения дел на анализируемые моменты времени».

Рассматривая бизнес-процессы в рыночной экономике, В. Шенягин отмечает [19]: «Поиск методов гармонизации должен быть основан на изучении не следствия, а причины, на что прежде не обращали внимания в ходе многочисленных попыток необоснованно механически перенести гармоничную (как правило, золотую) пропорцию в исследуемые экономические системы с последующим объяснением ее положительного воздействия».

Так, по понятным причинам, в автореферате диссертации А. Ивануса [20] ни слова о золотом сечении, кроме ссылок на 13 собственных работ в списке публикаций, где в названии упоминается "золотая" терминология, включая 6 статей на Интернет-ресурсе АТ.

К слову, последний момент для нас довольно неожиданный. Одновременно приятный.

В разных описаниях литературы ссылки на работы АТ встречаются довольно часто. Это нормально. Но чтобы в перечень научных работ, опубликованных по теме докторской диссертации, были включены статьи АТ, увидели впервые!!

Ничего не имеем "против". Только "за". Видимо, официальный статус электронного периодического издания АТ с его научной, социальной и общеинформационной направленностью, позволяет это делать.

Наш респект организатору-модератору раздела АТ: "Дискуссии – наука"!

Литература

1. Фомичев П.А. "Золотое" сечение. Физика первопричины // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 23586, 26.07.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163365.htm.
2. Белонучкин В.Б, Заикин Д.А, Ципенюк Ю.М. Курс общей физики. Основы физики. 2-е изд., испр. В 2 т. Т. 2. Квантовая и статистическая физика. Термодинамика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 608 с.
3. Прангишвили И.В., Иванус А.И. Системная закономерность золотого сечения, системная устойчивость и гармония // Проблемы управления. – 2004. – № 2. – С. 2-8 / АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22752, 25.11.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321313.htm.
4. Татур В.Ю. Целое: самоизмерение и самоподобие // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22825, 15.12.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163162.htm.
5. Василенко С.Л., Белянин В.С. Золотоносные наносы (сокрытие тайны "экстремальной" энтропии) // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 16577, 21.06.2011. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161845.htm.
6. Кретов B.C., Фролов И.В., Пинчук И.С. Информационная поддержка мониторинга международных политических конфликтов // Проблемы информатизации. – 2001. – № 1.
7. Прангишвили И.В. Энтропийные и другие системные закономерности: вопросы управления сложными системами. – М.: Наука, 2003. – 428 с.
8. Василенко С.Л. «Одна или две трети», как простая модель рациональной пропорции // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 23089, 23.02.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163219.htm.
9. Василенко С.Л. Сколько ещё нужно социализмов? // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 23041, 10.02.2017. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0012/001e/00124099.htm.
10. Крючкова И.В. Структурирование экономики: действие закона "золотого сечения" // Ин-т эволюционной экономики, 2012. – URL: http://iee.org.ua/ru/pub/p101.
11. Иванус А.И., Харитонов А.С. Торг уместен, но по правилу "золотого сечения" // Практический маркетинг. – 2002. – № 9. – С. 2-6. – URL: cfin.ru/press/practical/2002-09/.
12. Панкова Н.В. Анализ инновационных и рутинерских процессов в торговле с помощью пропорции Паретто и золотой пропорции Леонардо да Винчи // Проблемы соврем. экономики. – 2013. – № 4(48). – С. 342-344. – URL: m-economy.ru/art.php?nArtId=4827.
13. Кириллова Л.Н., Зиянгулова А.Р. Использование принципа «золотого сечения» в гармонизации структуры баланса предприятия // Экономический журнал. – М.: Каллиграф. - 2010. - № 17 (№1).
14. Пирожкова М.А., Гукова К.В., Мелешко С.В. Значение золотого сечения в экономической мысли // Современные наукоемкие технологии. – Пенза: Изд. дом "Академия естествознания", 2014. – № 5-2. – С. 172-174.
15. Егорова-Гудкова Т.И. Мировооззренческо–методологические аспекты проектирования устойчивых экономических систем: закон золотого сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 21173, 17.09.2015. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001d/00162536.htm.
16. Василенко С.Л. Случайность и "золотая" пропорция в системе «хаос–порядок» // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 15220 от 09.04.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322034.htm.
17. Василенко С.Л. Асимптотика "золотого" сечения // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 15252 от 25.04.2009. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0232/012a/02322042.htm.
18. Фомин В.П., Татаровский Ю.А. Формирование и анализ показателей финансового состояния организации // Эконом. анализ: теория и практика. – 2014. – № 4. – С. 11-19.
19. Шенягин В.П. Проявления гармонии в экономике // Экономический журнал. – 2013. – Т. 30, № 2. – С. 30-45.
20. Иванус А.И. Гармонизация управления инновационным развитием экономики на основе когнитивной технологии (теория и практика): автореферат дис. ... д-ра. экон. наук: спец. 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством: управление инновациями / Финансовый ун-т при Правительстве РФ, Кафедра моделирования экономических и информ. систем. – Москва, 2013. – URL: http://elib.fa.ru/avtoreferat/ivanus.pdf/download.