Вклад Аристотеля в развитие науки огромен! Он изложил принципы классической логики, разработал теорию доказательств, систематизировал античную науку и выделил из нее различные направления. Среди этих направлений особое место занимают основания математики. В своей первой и второй Аналитике Аристотель показал, что некоторые доказательства античной математики не являются строгими либо вообще не являются доказательствами.

Некорректные доказательства применялись, например, в апориях Зенона Элейского, где доказывалось, что Ахиллес якобы никогда не догонит черепаху, потому что разделяющее их расстояние можно делить на две части до бесконечности. Преодолев одну часть, Ахиллесу каждый раз нужно было преодолевать и вторую часть, а так как деление можно продолжать до бесконечности, то Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Дело в том, что по ходу доказательства Ахиллес и черепаха, имеющие определенные размеры, подменялись совсем другими терминами, а именно двумя точками, не имеющими размеров. Для двух таких абстрактных точек можно доказать не только то, что Ахиллес не догонит черепаху, но и то, что Ахиллес и черепаха вообще не существуют, иначе расстояние до черепахи однажды оказалось бы меньше ступни Ахиллеса, и он бы ее догнал.

Подобных софизмов в античной науке было придумано немало. Аристотель впервые дал объяснение тому, как возникают абсурдные выводы, обнаружив в такого рода суждениях логические ошибки. Тогда это был огромный прорыв для древнегреческой науки, которая переживала не самые лучшие времена. Ведь диспуты между философскими школами могли доходить до выдворения из Афин, а иногда становились причиной погромов и убийств.

Античная наука была далека от той безоблачной картины, которую нам рисуют в большинстве научных публикаций. Самая ожесточенная борьба развернулась в именно математике и была связана с теоремой несоизмеримости, доказательство которой предложил Гиппас из Метапонта. Некоторые пифагорейцы с ним согласились, но подавляющее большинство отказалось его признавать.

Более того, сам Гиппас был изгнан из пифагорейского братства, поскольку он разгласил ключевую проблему, которая ставила крест на учении Пифагора о существовании гармонии чисел. В последствии Гиппас выступил подстрекателем Кротонского погрома, в результате которого пифагорейская математическая школа перестала существовать как таковая. Весьма удивительно после этого читать в Википедии, что Гиппас был настоящим пифагорейцем и едва ли не единственным среди них достойным математиком.

Для выяснения обстоятельств лучше обратиться к непосредственным источникам, а не к Википедии. Вот что пишет Ямвлих Халкидский о Гиппасе и его последователях: «Исходя из этого деления, иные признавали математиков пифагорейцами, акусматиков же — нет, а науку их считали не наукой Пифагора, а Гиппаса».¹ И далее: «Что касается специально Гиппаса, то он, поскольку был из числа пифагорейцев и поскольку разгласил тайну и первым изобразил шар, состоящий из пятиугольников, погиб в море как нечестивец, хотя и приобрел славу первооткрывателя».²

Именно Гиппас был в числе тех, кто выступил против пифагорейцев, потребовав, чтобы все граждане Кротона участвовали в органах власти.³ После чего Килон вместе с другими заговорщиками устроил настоящую революцию, нападая на пифагорейцев, отбирая у них имущество и земли. Так что же представляла собой теорема, расколовшая всех античных математиков на два враждебных лагеря?

В первой Аналитике мы находим такой комментарий Аристотеля к доказательству теоремы Гиппаса о несоизмеримости диагонали: «В самом деле, все силлогизмы, которые строятся посредством приведения к невозможному, выводят ложное, но первоначально принятое они доказывают, исходя из некоторого предположения. Так как при допущении положения, противоречащего принятому, вытекает нечто невозможное. Так, например, когда доказывают несоизмеримость диагонали со стороной, говорят, что, если допустить их соизмеримость, то нечетное было бы равно четному. Таким образом, то, что нечетное равно четному, выводится здесь силлогически, однако что диагональ со стороной несоизмеримы доказывается, исходя из предположения. Ибо при допущении положения, противоречащего принятому, вытекает ложное».⁴

Этот комментарий Аристотеля заслуживает пристального внимания. Такой осторожный подход к доказательству Гиппаса разительно отличал Аристотеля от Платона, который не только не сомневался в теории несоизмеримости, но и призывал сжигать труды Демокрита за критику этой теории.⁵ Аристотель не мог опровергнуть теорему Гиппаса, однако он был предельно объективен в ее оценке.

Он указал, что теорема Гиппаса верна, если верно предположение о несоизмеримости, а если предположение неверно, то теорема и ее доказательство окажутся ложными. Причем это не только свойство теоремы Гиппаса, это свойство вообще всех доказательств методом от противного. Чтобы продемонстрировать справедливость вывода Аристотеля, достаточно применить доказательство Гиппаса к соизмеримым отрезкам. Из комментария Аристотеля следует, что те же самые силлогизмы позволят доказать «несоизмеримость» даже обычных соизмеримых отрезков! Но для начала разберем саму теорему несоизмеримости.

Силлогизм, лежащий в основе доказательства Гиппаса, очень прост: если число x² — четно, то будет четным и число x, если x² — нечетно, то число x тоже должно быть нечетным. Действительно, если 2² = 4 — четное, то и число 2 тоже четное, и наоборот, если 3² = 9 — нечетное, то и число 3 — нечетное. Этим правилом пифагорейцы постоянно пользовались. Вроде бы, все было в порядке. Но диагональ квадрата выражается числом √2 = 1,414… Возведем его в квадрат: √2² = 2 — четное. Значит ли это, что и √2 — тоже четное? Нет! Так же нельзя утверждать, что если √3² = 3 — нечетное, то и √3 — тоже нечетное. Дроби по определению не могут быть ни четными, ни нечетными числами! Это очевидно.

формате PDF (329Кб)

¹ Ямвлих. Жизнь Пифагора / Под ред. В.Б.Черниговского. М., 1998. С.63

² Ямвлих. Жизнь Пифагора / Под ред. В.Б.Черниговского. М., 1998. С.68

³ Ямвлих. Жизнь Пифагора / Под ред. В.Б.Черниговского. М., 1998. С.150

⁴ Аристотель. Аналитики первая и вторая. Москва-Ленинград, 1952. С.70

⁵ Лурье С.Я. Архимед. Москва-Ленинград, 1945. С.22