Введение. В наших работах [1-4] рассмотрены разные аспекты замечательных свойств "золотого" прямоугольного треугольника Кеплера.

Далее готовится обстоятельный материал с ориентацией на экстремальные отношения его параметров, а также выявление ранее неизвестных равенств и минимаксных оценок-закономерностей с возможной практической реализацией.

Одновременно, в порядке дискуссии, планировали рассмотреть представления отдельных авторов (П. Сергиенко, А. Шелаев), связанные с гиперболизацией очевидных разновидностей прямоугольных треугольников с единичной высотой, восходящих к давним временам античности.

В итоге, сочли целесообразным дать небольшой анализ отдельно, в виде обычной заметки.

В определенной мере, как ответ на публичные призывы упомянутых авторов «проверить-опровергнуть» их результаты, что частично уже выполнено ранее в статьях [4-6] и др.

Видимо, недостаточно и/или слишком академично.

Попытаемся упростить изложение.

Краткие сведения. В своей классической формулировке, берущей начало с 1855 г. [7, с. 81], треугольник Кеплера – прямоугольный треугольник, в котором стороны образуют геометрическую прогрессию и вытекающую из этого эквивалентную геометрическую пропорцию сторон: гипотенуза так относится к большему катету, как он – к меньшему катету c/b = b/a = x, где x – знаменатель прогрессии.

Поскольку речь идет об отношении сторон, без потери общности рассуждений можно условно принять a =1.

В результате получаем b = x, c = x² или по теореме Пифагора x⁴ = x² + 1, – с единственным положительным решением x = √Φ, где Φ = ф^–1 – константа золотой пропорции.

Обозначив через β – угол между меньшим катетом a и гипотенузой c, находим

cos β = ф, sin β = √ф, tg β = √ Φ.

Примеры "золотых" реализаций. В определении Δ-Кеплера нет ни слова о численных значениях сторон. Имеется только два из трех необходимых и достаточных условий для построения-исследования такой фигуры: прямой угол и геометрическая пропорция сторон.

Отсюда следует, что фактических реализаций существует необозримое множество.

Для вычерчивания конкретного треугольника нужно принять некое третье условие.

Дополнительный угол к углам 90^о и β задавать уже нельзя. Он и так определен.

Остается фиксирование сторон.

Третьим условием может быть, например:

– задание любой стороны, часто = 1 (без потери общности рассуждений) или другому произвольному вещественному числу, в частности π, Ф, √Ф и др.;

– выбор некоторой связующей формы-формулы: численное принятие равенства гипотенузы сумме катетов, произведению катетов (что равносильно выбору единичной меры в виде высоты h = 1) и т.п.

Это не столь принципиально, ибо все геометрические фигуры продолжают оставаться "золотым" треугольником Кеплера.

В частности, в золотоносной тематике можно встретить "мета-Δ" с такими условиями: треугольник прямоугольный, длины сторон составляют геометрическую прогрессию или эквивалентную пропорцию c/b = b/a, гипотенуза численно равна произведению катетов.

Первые два условия из трех равенств характеризуют "золотой" Δ-Кеплера.

Третье условие дает его частную реализацию. Одну из бесконечного множества.

Система имеет одно решение в положительных числах (a, b, c) = (√Ф, Ф, Ф√Ф).

Эту частную модификацию П. Сергиенко именует мета-треугольником и/или сакральным треугольником имени себя. – Как говорится, вольному воля.

Околонаучная "мета"-суета. Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов – a·b или высоты (из прямого угла) и гипотенузы – h·c.

По определению!

То есть имеет место безусловное равенство a·b = h·c.

Если принять высоту равной единице h = 1, то a·b = c – произведение катетов численно равно гипотенузе.

И наоборот, если a·b = c, то высота равна строго единице h = 1.

Очевиднее не бывает.

Но, оказывается, не для всех.

Так, П. Сергиенко полагает или получает a·b = c, но одновременно категорически не признает h = 1 (?).

Принимая некую несуществующую апокрифичную меру Н.Бурбаки (?) h = 0,99999..., которая им интерпретируется как «разница между сущностями живой и косной материи, как разница между жизнью и смертью».

Вопреки здравому смыслу. Наперекор всем школьным правилам алгебры и евклидовой геометрии.

Другой автор (доктор физ.-мат. наук А. Шелаев, РФ, Москва) по этой же тематике вводит странную терминологию "обобщения".

Прямоугольные треугольники со свойством c = a·b он беспричинно выделяет, именуя их "Мета-треугольниками".

Он так и пишет: «следует ввести два треугольника: треугольник Кеплера и Мета-треугольник (обобщение мета-треугольника), для которого нет требования пропорциональности сторон, но, наряду с теоремой Пифагора a² + b² = c² выполняется условие a·b = c».

Довольно-таки странное обобщение. Равно как и терминология. С заменой маленькой буковки "м" – на большую буковку "М".

Причем профессор неоднократно подчеркивает собственное исключительное авторство: «введённый мной из физических соображений Мета-треугольник» (выделено мною – С.Л.).

Воистину - новый феномен геометрии!

Разве нужно много усилий ума, чтобы положить в прямоугольном треугольнике h = 1 и назвать его Мета-треугольником (?).

В продолжение известного образного высказывания И. Кеплера о двух действительно больших сокровищах геометрии – теоремы Пифагора и деления отрезка в среднем и крайнем отношении (золотого сечения), П. Сергиенко сочинил даже эпиграф: «треугольник, у которого произведение неравных катетов численно равно гипотенузе, есть третье сокровище геометрии».

Заодно поместил свои слова прямёхонько рядом с высказываниями А. Пушкина, Пифагора, И. Кеплера.

Надо же? – Принимают в прямоугольных треугольниках единичную высоту h = 1, и во всеуслышание провозглашают:

• один автор – новый класс геометрических фигур;
• другой автор – третье сокровище геометрии.

Мы же заметим, что прямоугольные треугольники с единичной высотой h = 1 или a·b = c формируют бесконечное множество геометрических фигур.

Левая сторона треугольников может отодвигаться влево (скользя нижним концом по оси абсцисс) до бесконечности.

При этом правая сторона нижним концом придвигается ближе к высоте, сохраняя между сторонами-катетами прямой угол.

Аналогичная картина наблюдается при движении вправо.

Ну, и какое здесь "сокровище геометрии"? – В одном ряду с теоремой Пифагора.

Или каковы веские аргументы для обобщения и тем более введения нового термина "Мета-треугольники"? – Никакого вразумительного ответа вы не услышите.

Получается, математики всех стран на протяжении не одного тысячелетия упустили из виду такую "уникальную" особенность, как единичную высоту прямоугольного треугольника.

Следуя подобной странной логике, прямоугольные треугольники с гипотенузой единичной длины c = 1 так и напрашивается назвать Гипо-треугольниками, с единичным катетом a = 1 – Като-треугольниками и т.п.

Что касается треугольника Кеплера, то вводить его, как предлагает профессор, не нужно.

Данная геометрическая фигура уже более сотни лет основательно "прижилась" в математике и литературе по пирамидологии [7].

Мета-финиш. Изобретательность П. Сергиенко неисчерпаема:

– формулирует стопроцентное свойство Δ-Кеплера: «гипотенуза так относится к большему катету, как больший катет относится к меньшему катету», но тут же вопреки самому себе утверждает, что это не треугольник Кеплера (?);

– сначала описывает свойство "мета-Δ": «произведение разновеликих катетов численно равно гипотенузе», но следом выдает нонсенс: «Прямоугольный треугольник с такими параметрами... не принадлежит геометрии формальной математики, основанием которой является единичная метрика». Хотя из равенства гипотенузы произведению катетов автоматически (!) следует точная единичная метрика h = 1.

В общем, с какой стороны не зайди, по всем своим свойствам так называемый "мета-Δ" – это обычный Δ-Кеплера с единичной высотой h = 1.

Без искусственного привлечения «метрики метагеометрии гармоничного мироустройства и его пространственно-временной формы движения (по Платону)» или условий «входа Солнечной системы и нашей Планеты в пространство-время все возрастающей мощности электромагнитного влияния на них созвездия Водолея».

Безусловно, треугольник реально существует.

Но совершенно не в той транскрипции, как многие годы преподносится автором.

Так, мета-треугольник не является трансцендентным! Поскольку значения длин сторон являются целыми алгебраическими числами – вещественными корнями многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

Мета-треугольник не фрактален!

Ибо при любом его масштабировании или дроблении на более мелкие составные части сразу же нарушается исходное "задекларированное" свойство c = a·b или h = 1.

Перед нами заурядная геометрическая фигура из бесконечного множества реализаций "золотого" треугольника Кеплера, существующая в единственном экземпляре.

Не фрактальная. Не самоподобная. Не трансцендентная. Не сакральная.

Как бы её не назвали: мета, мега или экса-треугольник.

Разве что нано-, а лучше атто-треугольник, как единичный экземпляр, практически невидимый в бесконечном множестве реализаций замечательнейшей кеплеровской фигуры.

Даже если автор руководствуется «идеями Платона о круговом движении космоса в самом себе» и беспочвенно считает, что «Евклид посредством построений половинной мерой единичного отрезка вычислил значения отрезков: ф = 0,6180339…; ф² = 0,381965…».

Ничего близкого к этому Евклид никогда не вычислял!

А первое систематическое изложение десятичных дробей появилось только в начале XV века в работе "Ключ к арифметике" самаркандского астронома и математика Джемшида аль-Коши [8, с. 242].

К слову, современную запись десятичных дробей, с отделением целой части от дробной с помощью запятой, предложили Д. Маджини и И. Кеплер [9, с. 50] в конце XVI века.

Статьи П.Сергиенко отличаются отсутствием отчетливого предмета исследования-обсуждения и какой-либо полезной информации.

Чего только стоит его утверждение: «Впервые обнаружен, прямоугольный треугольник...», который иногда он называет именем себя. С последующей надуманной "трансляцией" простой геометрической задачи на сакральные мотивы и/или некий «русский проект живой математики». Хотя речь идет о простом частном случае давно известного треугольника Кеплера, если в нём принять единичную высоту. – Что за невидаль?

Плюс к этому непризнание автором очевидных азов математики, которые подменяются мыслительно-заоблачными абстракциями типа собственного числа "пи", решения задачи квадратуры круга и прочих иллюзий.

Взять, к примеру, недавнюю публикацию на АТ (от 06.11.2016).

В частности, элементарные геометрические построения, как веские "контрдоводы" в пользу собственного ложного посыла, что "мета-Δ" не является треугольником Кеплера.

В эллипс вписан ромб.

В этот ромб вписана окружность.

Вокруг окружности описан квадрат, который одновременно вписан в ромб.

Из школьного курса хорошо известно свойство касательной: сторона ромба, как касательная к окружности, перпендикулярна к радиусу, проведенному через точку касания 0.

П. Сергиенко выдумывает собственное правило: «Быть перпендикулярным радиусу и делиться при этом на равные части (?) – аксиома о точке касания отрезка к окружности».

В результате точку касания он находит как точку 1 – пересечения диагонали квадрата со стороной ромба.

Мало того, он одновременно уверяет, что эта точка является серединой стороны ромба. Хотя в действительности середина находится в точке 2.

Самое прискорбное, автор видит, что радиус действительно перпендикулярен стороне ромба в точке 0. Но, по его странной логике, она не признается точкой касания (?), поскольку не делит сторону на равные части (?).

Таким образом, по таким фантазиям сторона ромба, описанного вокруг окружности, одновременно имеет две несовпадающие точки касания 1 и 2.

Причем обе (!) эти точки расположены далеко за пределами самой окружности. В результате чего формулируются неверные выводы. Плюс обвинения в адрес других исследователей в их некомпетентности.

Абсурдность его построений здесь и доказывать-то особо не нужно.

Всё видно невооруженным глазом и так (для наглядной визуализации эллипс и ромб специально немного сплющены, «дабы заумь была видна»).

Три точки совпадут только в одном случае, если исходный эллипс – окружность.

Далее любой разговор становится просто бессмысленным.

Тема "мета-Δ" окончательно пришла к своему закономерно-бесплодному финалу.

Самое место хождений по кругу, где нет явных тупиков.

И последнее...

Автор называет нас "оппонентом".

Мы не можем принять для себя такую "роскошь".

Оппонировать и обоснованно возражать в конструктивном споре по отдельным позициям-положениям можно исключительно предметно.

Как минимум, с желанием-стремлением воспринимать доводы и аргументацию визави.

Или, на худой конец, хотя бы признавать очевидные моменты.

Не отметая всё прочь. Не говоря на белое – черное.

Оппонировать откровенную бессмыслицу нельзя!

A PRIORI…

Литература:

1. Василенко С.Л. Треугольник Кеплера как объединитель теоремы Пифагора, золотого сечения и современных мифов // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22385, 05.08.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163016.htm.
2. Василенко С.Л. Золотой прямоугольник Кеплера: свойства, особенности и проявления // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22410, 18.08.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163027.htm.
3. Василенко С.Л. Золотые пирамиды и золотой конус Кеплера // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ.22494, 11.09.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163048.htm.
4. Василенко С.Л. Фибоначчиевый ряд золотых треугольников Кеплера // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22546, 26.09.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163062.htm.
5. Василенко С.Л. Золотоносная атрофия // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22282, 14.07.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00162993.htm.
6. Василенко С.Л. По ту сторону виртуальной реальности // АТ. – М.: Эл. № 77-6567, публ. 22617, 17.10.2016. – URL: trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00163086.htm.
7. Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid. – Wilfrid Laurier University Press, 2000. – 294 p.
8. Депман И.Я. История арифметики. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1965. – 416 с.
9. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. – 3-е изд. – СПб.: ЛКИ, 2008. – 248 с.