Рассмотрены правильные двуугольники, образованные одинаковыми дугами окружностей на плоскости и сфере. При определенных соотношениях между параметрами на основе константы золотого сечения Ф ≈ 1,618, геометрические фигуры становятся "золотыми" и обладают некоторыми полезными отличительными свойствами. В частности, золотой двуугольник на плоскости непосредственно связан с египетским треугольником 3:4:5. Стилизация золотого двуугольника в равностороннем треугольнике ассоциируется с состоянием прозрения в символе-модели всевидящего ока.

Неожиданное рядом. Многие ученые и рядовые граждане обычно считают, что среди геометрических фигур – многоугольников, треугольник имеет минимальное число сторон и углов. Это так, если стороны – прямые линии, а основой построения является плоскость.

Но рамки можно расширить.

Если стороны принять криволинейными, то их минимальное количество может быть равно двум. При этом образуется такая фигура, как двуугольник.

На сфере это область, ограниченная двумя полуокружностями – меридианами, похожая на арбузную корку.

Возможны также варианты типа сердечка, молодого месяца на небосклоне и др. На плоскости последняя фигура обрамлена двумя дугами с выпуклыми и вогнутыми линиями.

Выпуклая фигура двуугольника похожа на форму глаза.

В правильном двуугольнике, состоящем из двух равных коротких дуг, можно вписать бесконечное множество окружностей [1].

Двуугольник в геометрии – это многоугольник с двумя сторонами и двумя углами [2].

В Евклидовой геометрии двуугольник с прямыми сторонами считается невозможной фигурой, поскольку две его стороны совпадают.

В сферической геометрии при пересечении двух больших окружностей образуются четыре двуугольника подобно тому, как две пересекающиеся прямые на плоскости разбивают её на четыре плоских угла. Каждому из двуугольников соответствует двугранный угол, образованный диаметральными плоскостями.

Термин двуугольник может использоваться и для плоской фигуры, ограниченной двумя дугами окружностей или двумя гладкими кривыми с общими концами.

В последнем случае приемлем термин «криволинейного двуугольника».

Его также можно назвать луночкой.

Частным случаем дуговых двуугольников являются луночки Гиппократа, указанные древнегреческим математиком и астроном Гиппократом Хиосским в 5 веке до н. э.

Для некоторых фигур, ограниченной дугами двух окружностей, можно построить равновеликие многоугольники с помощью циркуля и линейки.

Сферический двуугольник – фигура, образованная двумя полуокружностями больших кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек [3].

Другими словами, это часть сферы, ограниченная двумя половинами больших окружностей с общими концами-вершинами.

Данная фигура высекается на сфере двугранным углом, ребро которого проходит через центр сферы.

При пересечении двух больших кругов на поверхности сферы, образуются четыре области или четыре сферических двуугольника.

Угол, под которым пересекаются дуги двух больших кругов, измеряется линейным углом между касательными к большим кругам в точке пересечения или двугранным углом между плоскостями больших кругов (рис. 1).

Половины больших окружностей, ограничивающие двуугольник, называются сторонами двуугольника, их концы – вершинами двуугольника, а углы между ними – углами двуугольника.

Понятно, что углы и стороны сферического двуугольника всегда равны между собой. То есть он является правильным.

Хотя в общем случае на сфере допустимы иные варианты.

формате PDF (1128Кб)