Исследуются триномиальные математические модели – трехчлены с целыми степенями. Показано, что они обладают характерным свойством всеобщности, охватывая жизненно-важные конструкции и формализованные объекты. В частности, исследуемые триномы отображают Большой взрыв и золотую пропорцию в филлотаксисе растений. Они содержат минимальное число Пизо, как прообраз позиционной системы счисления с иррациональным (нецелочисленным) основанием. В предельном случае имеет место модельная структура "абсолютного" детерминированного хаоса.

Введение в тему

Ставшее крылатым выражение «поверить алгеброй гармонию» восходит к монологу Сальери: «Звуки умертвив, Музыку я разъял, как труп. Поверил я алгеброй гармонию» (А. Пушкин, 1832).

Формально перед нами художественное описание попытки идентифицировать музыку по релевантным признакам физического звучания.

Основной образный смысл – проверить разумом и/или точными расчетами то, что выражено чувствами. Метафора имеет ироническое или критическое отношение к человеку, пытающемуся предать математизации область чувств.

Уместно привести цитату: «В знаменитых произведениях искусства время от времени обнаруживаются те или иные сравнительно простые математические закономерности. И хотя природа этих странных связей во многом остается загадочной, возможно, в будущем строгие закономерности прекрасного будут, наконец, поняты и описаны сухим языком науки» [1].

С другой стороны, «поверка алгеброй гармонии» предполагает, что математическое мышление, рациональный расчет и развитие логики способны погубить созидательное начало. Как диктат "железной логики" подавляет живое творчество в науке...

Всё это так... Однако попробуем подойти к этому предмету отношений иначе. А именно, расставив акценты в обратном направлении.

Насколько алгебра в её простых проявлениях-интерпретациях способна описать сложность и многообразие процессов бытия. Конечно, с долей некоторых воображений-фантазий и принятием предустановленных гипотез-предположений.

Первая такая попытка предпринята нами в работе [2], где исследованы триномиальные математические модели – алгебраические трёхчлены. Показано, что в определенном ракурсе анализируемых форм модели обладают характерным свойством всеобщности, охватывая жизненно-важные конструкции и формализованные объекты.

В частности, алгебраические триномы включают в себя биологическое деление клеток и золотую пропорцию в филлотаксисе растений. Содержат два иррациональных минимальных числа Пизо [3] с их особенными вычислительными свойствами.

В предельном случае имеет место условно-божественная модельная структура единицы-константы, как универсальная монада: «Я есмь всё».

Здесь вполне предсказуемым и естественным является извечный пилатовский вопрос из «Мастера и Маргариты»: что есть истина? (Ин. 18:38)...

Для одних это правда.

Для других – нечто неизведанное и недостижимое.

Третьи увязывают непреложную аксиому с религиозным просветлением.

Истина, по Н. Амосову, есть модель:

«Что есть истина? … Я не философ, и для меня истина о чем-то – это его модель. Чтобы понять, как устроены и действуют клетка, организм, общество, нужно представить всё это в их структуре и функции, то есть создать модель, по возможности полную и правильную» [4].

«Господь Бог есть истина» (Иер. 10:10) – это тоже модель-прообраз восприятия бытия и мироощущения. Как и "модель сосуда" (Сир. 38:30), которая не очень просто формализуется на языке математики или категориального аппарата, хотя вполне доступна для восприятия.

Не вдаваясь глубоко в философско-абстрактные чащобы, с учетом выше изложенного у нас вырисовывается устойчивая понятийная связка-конструкция «истина – модель – алгебра гармонии».

В этом контексте алгебраический трехчлен становится вполне подходящей моделью для исследования-изучения ассоциативных системных связей различной природы.

На тему алгебры гармонии в литературе можно найти много полезных сравнений и упоминаний [1–8].

Так, в монографии [6] автору удалось сконцентрировать и систематизировать основы теории актерского и режиссерского мастерства под общей тезой: «Всё очень логично и точно, как в алгебре».

Доктор философских наук В. Буданов в своих работах [7, 8] развивает идеи синергетической алгебры гармонии в симбиозе алгебраического числа золотого сечения и общих принципов гармонии, которые отражают простейшие правила приоритета и очередности рождения и/или исчезновения структур в нелинейных развивающихся системах в областях нелинейных резонансов.

По его мнению, резонансный механизм-принцип порождения «золотой модели» в общих эволюционирующих нелинейных системах встречается много чаще на уровне временных спектров, нежели в пространственных формах.

«Золотое сечение есть признак эволюционирующих систем, обладающих достаточно богатым структурным иерархическим потенциалом, а так же механизмами наследования и коммуникации… Золотое сечение – асимптотическое свойство целостной системы, последовательно проходящей фибоначчивы структуры, часть из которых может и исчезнуть к моменту наблюдения» [8].

Постановка задачи

В своих публикациях мы не раз, хотя и несколько фрагментарно, обращались к анализу триномиальных моделей в виде алгебраических полиномов из трёх слагаемых.

Трином в математике (греч. treis – три + nomos – член) – трехчленное выражение.

Приобщение к данной теме в основном обусловливалось исследованием подходов к математическому моделированию тринитарной структуры, которая в частности, нашла широкое распространение в философии, системотехнике, математической логике, современном христианстве и др.

В данном случае для нас представляет интерес триномиальная структура x^k–x–1 с её обособленным случаем – золотым сечением (ЗС) при k = 2.

Примечательно, но именно вследствие этой преемственности, некоторые исследователи искусственно и безосновательно «выкрашивали золотой терминологией» все остальные решения тринома.

Этим самым не только наводился исторический лоск-налет на представляемый материал с посылом на древние знания, но и часто маскировалось-прикрывалось откровенное заимствование чужих идей и результатов, без каких было ссылок.

Одновременно нарушались установившиеся традиции в мировой науке, да и просто здравый смысл, согласно которым золотое сечение, кроме прочего, – это математическая константа.

Последняя в принципе не подлежит обобщению, и получила данное название с момента своего первого появления в публикациях Мартина Ома (1835), как «goldener Schnitt» [9] или «золотой разрез» (разделение, сечение).

Позже в английском языке стало употребляться более точное выражение «golden ratio» или «золотое отношение», как производное понятие, идущее от математической пропорции.

Задачей настоящей работы является анализ-объединение и развитие разрозненных знаний о триномиальной структуре x^k–x–1, названной нами моделью с запаздыванием [10] или триномом младших степеней – x¹, x⁰.

Конечная цель подразумевает раскрытие характерных свойств-особенностей тринома, полезных для развития и обобщения научных знаний.

формате PDF (888Кб)