Убеждать людей и скучно, и трудно,
и, в конце концов, право, даже не нужно.
Лев Шестов [1]

Княжна Мери у М.Ю. Лермонтова «читала Байрона по-английски и знает алгебру» [2]. Смею предположить, что несколько простых задач, инициированных статьей В.П. Шенягина [3], могла решить и упомянутая девушка.

Начнём с самой простой задачи, которая вполне по силам оказалась бы княжне XIX века.

Задача 1. Найти квадрат, площадь S которого численно равна длине его диагонали d.

Решение. Возьмём единичный квадрат и на его диагонали построим новый квадрат. Площадь нового квадрата численно равна его диагонали: S = d = 2, так как сторон квадрата a = 2^1/2.

Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 2^1/2, можно назвать – следуя логике статьи [3] – прямоугольным треугольником княжны Мери.

Княжна наверняка сделала бы замечание к этой задаче: «Хотите знать площадь? Не «ходите галсами», а ходите по диагонали удвоенного квадрата. Проще не бывает».

Княжна Мери плохого не посоветует.

Задача 2. Найти прямоугольник, площадь S которого численно равна длине его диагонали d.

Решение. В таком прямоугольнике должно соблюдаться условие

a²b² = a² + b²,

где a и b стороны прямоугольника. Достаточно задать одну сторону, другая сторона получается автоматически.

Подобных прямоугольников великое множество. Например, прямоугольник со сторонами a = 5^1/2 и b = 5^1/2/2. Его площадь S = ab = 5/2, диагональ d = a² + b² = 5/2.

Этот прямоугольник проще прямоугольника, заявленного в статье [3].

Его можно было бы назвать прямоугольником княжны Мери.

А что? Это логично, так как названный прямоугольник элементарно строится на диагонали сдвоенных квадратов и связь задач 1 и 2 становится очевидной.

В статье [3] неосторожно говорится, что понравившийся автору треугольник, образующий прямоугольник с площадью численно равной диагонали, – единственный.

В связи с этим вспоминаются шакалы из Маугли: «Акела промахнулся!»

Задача 3. Найти куб, объём V которого численно равен длине его диагонали D.

Решение. Решением данной задачи является куб со стороной a = 3^1/4. Его объём равен V = а³ = 3^3/4, его диагональ – D = (3а²)^1/2 = 3^3/4.

Задача 4. Найти прямоугольный параллелепипед, объём V которого численно равен длине его диагонали D.

Решение. Решений данной задачи бесконечно много. Например, прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник задачи 2, а длина третьей стороны равна с = (2 + (629)^1/2)/25.

Княжна Мери из-за усталости отказалась бы обсуждать эту простую задачу, тем более что число подобных параллелепипедов бесконечно и среди них нет наилучшего.

Наилучшими же для целей понижения размерности пространства в постановке задач работы [3] являются простейшие фигуры – квадрат и куб. Вообще квадрат и куб являются любимцами геометров со времен Евклида.

У княжны Мери, которая была «невинна, как голубь», не было бы желания делать слой масла на своём куске хлеба, как можно более толстым, и поэтому оставила бы подробности решения этой задачи потомкам XXI века.

И вообще, XIX веку как-то негоже учить век XXI. Существует же известная поговорка – яйца курицу не учат….

1. Шестов Лев Апофеоз беспочвенности (опыт адогматического мышления). Собр. соч. в 6 т. – СПб.: Изд. Шиповник, 1911. Т. 4, с. 197.

2. Лермонтов М.Ю. Герой нашего времени. Соч. в 6 т. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1957. Т. 6, с. 272.

3. Шенягин В.П. Прямоугольный параллелепипед с диагональю равной величине объема // «Академия Тринитаризма», М.,Эл № 77-6567, публ.19959, 08.01.2015.