|
Любая, даже самая точная наука, развивается
благодаря не только новым теориям и фактам,
но и благодаря домыслам и надеждам ученых.
Развитие оправдывает лишь часть из них.
Остальные оказываются иллюзией и потому подобны мифу.
С. Лем «Сумма технологии»
До недавнего времени академическая математика обходила стороной численные аспекты числа, отдавая их на откуп числонавтике в рамках оккультизма, не замечая и даже игнорируя последнее. Однако в структуре числа, его частей и целого сокрыты неординарные проявления, претендующие на конкретику программирования и философскую общность.
Количественная и качественная сторона числа возводит его в ранг инструмента и механизма, которым присущи ключевые атрибуты, имеющиеся в арсенале научных средств исследователя. В их числе энтропия, стратификация (см. ниже), бифуркация, тектоника (разлом), фрактальность (самоподобие). Об этом изложено в авторской статье [1].
Разборка целого на части вновь с последующей сборкой не всегда приводит к целому. Это свойственно и числам.
Так, для целого разборка на три равные части порождает самостоятельное число в виде дроби
1/3 = 0,333… = 0,(3).
Его удвоение и утроение дают значения:
2/3 = 0,666… = 0,(6);
3/3 = 0,999… = 0,(9) < 1.
То есть, сборка целого из трех частей будет меньше единицы.
Сборка целого из семи равных частей, иллюстрированная в работе Владимира Комарова и Вадима Татур [2, с. 66], также меньше единицы:
1/7 = 0,(142857);
2/7 = 0,(285714);
3/7 = 0,(428571);
4/7 = 0,(571428);
5/7 = 0,(714285);
6/7 = 0,(857142);
7/7 = 6/7 + 1/7 = 0,(857142) + 0,(142857) = 0,(999999) = 0,(9) < 1.
Единица, сложенная из m одинаковых частей 1/m, не всегда равна 1, нередко являясь величиной 0,999… или 0,(9), т. е. в данном случае наблюдается любопытное свойство некоторых чисел:
Единое целое, собранное из m долей числа m, не всегда является истинной единицей, а есть 0,(9). Здесь вмешивается бесконечность – ∞ количество знаков мантиссы, состоящей из цифр 9.
Многие числа, в т. ч. все полно повторные циклические числа, “грешат” этой неполнотой, не дотягивая до 1 [1, 3-5].
Чего не скажешь об иных числах. Например, для целого разборка на пять равных частей с последующей сборкой, иллюстрированная в [2], дает результат, равный изначальному целому:
1/5 = 0,2;
2/5 = 0,4;
3/5 = 0,6;
4/5 = 0,8;
5/5 = 1.
Результат с 1/3 можно прокомментировать и так. При сборке (самосборке) целого из равных дробных частей на каждом шаге сложения возрастает сложность числа-объекта, т. е. возрастает энтропия.
Энтропией здесь станем считать сумму цифр мантисс.
Для числового примера с 1/3 это будут повторяющиеся цифры в скобках (в периоде), т. е. 3, 6, 9.
Пример с 1/5 иллюстрирует прогрессивное возрастание энтропии до значений 2, 4, 6, 8, 0.
Для примера с 1/4, когда
1/4 = 0,25;
2/4 = 0,5;
3/4 = 0,75;
4/5 = 1,0
наша энтропия выразится в значениях 7, 5, 12, 0, т. е. изменяется, не всегда нарастая.
Изменение и особенно рост энтропии свидетельствует о тенденции прогрессивной эволюции дробей, стремящихся к целому, об их развитии.
Чего не скажешь о полно-повторных простых числах. Их аналогичная сборка не приводит к росту энтропии, если таковой считать сумму цифр циклических чисел. Такая сумма из-за фактора цикличности остается постоянной на каждом шаге усложнения сборки.
Так, для целого, собранного из 1/7, энтропия остается постоянной, равной 27, на каждом из шести шагов, на горизонтальном срезе целого.
Приведенные суждения с числовыми примерами используем несколько ниже для введения ряда показателей числа. Но вначале коснемся следующего.