|
Если посмотреть на полках отдела геометрии библиотеки Дрезденского Университета, то можно с уверенностью сказать, что книги первой трети ХХ столетия будут на 90 процентов посвящены различным вопросам проективной геометрии.
Сейчас интерес к проективной геометрии сильно поутих, а кое-кто из учёных считают, что вопросы проективной геометрии надо относить уже к вопросам истории науки. Однако, новые красивые теоремы проективной геометрии продолжают открываться.
Занимаясь изучением проективной геометрии можно отметить, что проективные пространства «представляют собой самые простые после сферы компактные многообразия» ([1], стр. 113). Возможно, именно в силу этого, проективная плоскость допускает множество возможностей для построения её моделей, с помощью которых можно успешно изучать свойства самой проективной плоскости.
Среди них можно выделить аналитическую модель проективной плоскости Д. Гильберта ([2], стр. 338 )
Гильберт строил свою модель, взяв за основу одну из топологических моделей. А именно, - единичную сферу, у которой отождествлены диаметрально противоположные точки.
Уравнение такой сферы он рассмотрел в трёхмерном евклидовом пространстве, где в качестве координат выступают некие параметры.
u2+w2+ v2 = 1 (1)
Далее Гильберт задаёт условия для отождествления диаметрально противоположных точек в виде параметрических (от тех же параметров u, w и v) функций координат евклидова пространства четырёх измерений (меньше чем в пространство четырёх измерений невозможно «погрузить» проективную плоскость, чтобы не было самопересечений, здесь i пробегает значения от 1 до 4). Потом Гильберт доказывает корректность выбранных функций. А потом выводит два уравнения гиперповерхностей и F1= F1(x1, х2, х3, х4) и F2= F2(х2, х3, х4), пересечением которых и является аналитическое выражение для модели проективной плоскости в четырёхмерном евклидовом пространстве.
На этом глава в книге [2] заканчивается, что в своё время меня очень удивило. Почему?