Дон Аминадо

Более двух тысяч лет из одного учебника в другой кочует абсурдное «доказательство иррациональности» квадратного корня из двух, названное в школе Николя Бурбаки «наилучшим классическим примером рассуждения от противного в математике».¹ Давайте же приглядимся к этому «наилучшему» из всех доказательств reductio ad absurdum (с лат. «доведение до абсурда»):

«Допустим, что диагональ квадрата AC и его сторона AB соизмеримы, то есть их отношение равно отношению двух целых чисел: AC / AB = m / n. (1)

Предполагается, что числа m и n не являются оба четными, иначе дробь можно было бы сократить на два. Из (1) следует, что AC² / AB² = m² / n². Но по теореме Пифагора AC² = 2AВ²; следовательно, m² = 2n². (2)

Значит, m² – четно. Из учения о четных и нечетных числах следует, что в этом случае и m – четно (так как произведение двух нечетных чисел нечетно). Но тогда n – нечетно. Поскольку m – четно, то m = 2t. Подставляя в (2), получим 4t² = 2n², или n² = 2t², то есть n² – четно, следовательно, и n должно быть четным, что приводит к противоречию».²

Оказывается, число n=1 (сторона квадрата AB) – четное число, то есть утверждается, что если разделить единицу на два, то получится целое число – в «наилучшем» доказательстве доказывается, что 1/2 – целое число! Но это еще не все, оказывается, число m=1,414… (диагональ квадрата AC) – тоже четное число, то есть утверждается, что если дробь 1,414… разделить на два, то мы тоже получим целое число. Это утверждают самые авторитетные трактаты по математике (Н.Бурбаки) и монографии по истории математики (А.П.Юшкевич).

На основании этого «наилучшего» доказательства была построена вся современная теория иррациональных чисел, которую подверг критике Л.Кронекер, а также вся теория бесконечных множеств Георга Кантора, которую Л.Брауэр назвал «патологическим казусом в истории математики, от которого грядущие поколения придут в ужас».³ Поистине, есть от чего прийти в ужас. Если в пифагорейской арифметике, в которой действовала аксиома неделимости единицы,⁴ с доказательством несоизмеримости еще можно согласиться, то в современной арифметике, применяющей десятичные дроби, пифагорейское доказательство никак нельзя использовать, тем более, называть «наилучшим классическим примером рассуждения от противного». Чтобы опровергнуть это доказательство, достаточно взять вместо числа t дробь 0,7071…, и тогда все встанет на свои места, мы получим вполне адекватное арифметическое выражение n² = 2t², то есть 1²=2(√2/2)² .

Классическим подтверждением глубокой патологии современной математики может быть следующее возражение, которое выдвинул один математик, ознакомившись с вышеприведенными аргументами. Он возмутился: почему числа m и n в теореме должны быть обязательно 1,414... и 1, ведь отрезки AC и AB можно разбить на любые целые (!) числа. Тогда пришлось обратить его внимание на то, что отрезок AC в теореме уже является десятичной дробью 1,414..., так что если разделить этот отрезок на любое целое число, то мы все равно получим дробь. Другое дело, что в теореме предполагается, что число m должно быть обязательно целым числом. Этот математический казус вызван тем, что пифагорейцы сделали вывод о несоизмеримости √2, не учитывая самого существования десятичных дробей.

Рассмотрение дробей у пифагорейцев было запрещено аксиомой неделимости единицы, при этом они принялись выводить некие свойства именно что для − дроби. Если бы вместо дроби 1,414... стояла любая другая десятичная дробь, например, рациональное число 1,44(4), то пифагорейцы пришли бы к такому же точно выводу о том, что это число несоизмеримо с единицей, так как в их арифметике применялись только целые числа. Понятно, что если принять десятичную дробь 1,44(4) за целое число, смысл понятия «дробь» от этого не изменится. Между тем, математики-формалисты полагают, что если назвать луну сыром, то ее можно будет съесть.

Более того, «классические» пифагорейские методы позволяют доказать несоизмеримость целых чисел! В качестве примера рассмотрим следующее доказательство. Пусть даны два отрезка AC=2 и АВ=1. Нам известно, что AC=2АВ. Докажем, что число 2 несоизмеримо с единицей:

«Допустим, что AC и AB соизмеримы, то есть их отношение равно отношению двух целых чисел: AC / AB = m / n. (1)

Предполагается, что числа m и n не являются оба четными, иначе дробь можно было бы сократить на два. Из (1) следует, что AC² / AB² = m² / n². Но нам известно, что AC=2АВ; следовательно, AC²=(2 АВ)², то есть m² = (2n)². (2)

Так как 2n² – четно, то будет четным и (2n)², а значит, m² – тоже четно. Из учения о четных и нечетных числах следует, что в этом случае и m – четно (так как произведение двух нечетных чисел нечетно). Но тогда n – нечетно (иначе дробь m / n окажется сократимой). Поскольку m – четно, то m = 2t. Подставляя в (2), получим 4t² = (2n)², откуда n² = 4 (t²/4). Очевидно, что 4 (t²/4) можно записать как 2 (t²/4)/2. Поскольку в пифагорейской арифметике не существует дробей, мы без зазрения совести можем приравнять выражение (t²/4)/2 к некоторому числу k, тогда окажется, что n² = 2k. Тогда можно сказать, что число 2k – четное, следовательно, число n² – тоже четное. Если n² – четное, то и n должно быть четным, что приводит к противоречию». Раз оба числа m и n оказались четными, то между отрезками AC=2 и АВ=1 не существует отношения, выразимого целыми числами, и нам не остается ничего другого, как признать, что эти отрезки несоизмеримы.

В этом абсурдном доказательстве reductio ad absurdum использованы те же самые логические звенья, которыми оперировали пифагорейцы в своем знаменитом обосновании иррациональности √2. Только в первом доказательстве дробь 0,7071… подменяется числом t, а во втором доказательстве дробь 1/2, записанная в виде (t²/4)/2, заменяется числом k. Если такой ход умозаключений является «классическим» в школе Николя Бурбаки, то из этого следует незамедлительно заключить, что число 2 – такое же иррациональное число, как √2.

The End!

Гриша Перельман в полном ауте…

1Бурбаки Н. Теория множеств / Под ред. В.А.Успенского. М., 1965. С.300

2 История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. А.П.Юшкевича. М., 1970. С.73

3 Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности. М., 1983. С.148

4 ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959. С.69

---

Денис Клещев, REDUCTIO AD ABSURDUM // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17055, 04.12.2011

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]