1.1. Фундаментальные и частные типы симметрии

1.1.1. Зеркальная симметрия

1.1.2. Симметрия вращения (поворотная симметрия)

1.1.3. Винтовая симметрия

1.1.4. Спиральная симметрия

1.2. Редукция типов симметрии в фигурах и объемах

1.3. Циклическая привязка типов симметрии

ГЛАВА 2. Эволюция типов симметрии в истории

2.1. Геометрические фигуры и тела и их связанность с типами менталитета

2.2. Проблема исторического синтеза

2.2.1. Центрическое и иерархическое

2.3. Возможности синтеза

2.3.1. Возможности будущего синтеза в истории

БИБЛИОГРАФИЯ

ГЛАВА 1. Разновидности симметрии и эволюция форм в культуре

В переводе с греческого “симметрия” когда-то означала “соразмерность”, гармония пропорций. Сегодня симметрия стала общенаучной категорией, характеризующей закономерность структуры организации систем. Понятие о симметрии содержит представление об инвариантнocтu. Инвариантность – это сохранение некоторых признаков (геометрических, физических, биологических и т. д.) по отношению к вполне определенным преобразованиям. Объект или явление можно считать симметричным, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они остаются неизменными.

Хронотоп развивается в ментальной истории в направлении от простых форм к сложным [9]. Мы хотим показать, что динамика усложнения пространственно-временных представлений в истории опосредована постепенным освоением в менталитете фундаментальных типов симметрии. Для начала рассмотрим типы симметрии.

1.1. Фундаментальные и частные типы симметрии

С нашей точки зрения, явление симметрии как-то связано со временем.

Есть только четыре типа представления моделей времени в пространстве, и мы говорили об этом ранее в наших книгах. Мы не базируемся ни на чьих взглядах, кроме собственных. Это позволяет нам везде удерживать единство классиологического инварианта.

К фундаментальным мы относим четыре типа симметрии: это – зеркальная, поворотная, винтовая и спиральная (коническая) симметрия. В геометрическом выражении это, по сути, линия, окружность, цилиндрический винт и коническая спираль (двух видов). Таковы же по основанию и модели времени:

Рис. 1. Четыре модели – типы симметрии и типы геометрического представления времени.

Скорее всего эта закономерность связана и с единством инварианта четверки и с набором способов геометрического выражения. Если начать осмыслять эту поразительную закономерность, то получается некий инвариант, даже более общий, чем хронотоп и симметрия. Но то, что мы здесь так простенько выразили, на самом деле требует кардинального философского и общенаучного осмысления, результатом которого может стать очередная Нобелевская премия. Жаль, что это выходит за пределы избранной здесь темы.

В литературе по симметрии такого единства понимания мы не встретим. И связано это с тем, что осмысление феноменологии симметрии происходит по-разному в разных областях знания. Есть и попытки выйти на самые широкие обобщения, но они почему-то стремятся отыскать один ведущий принцип.

Еще один важный момент связан с наличием в нашем менталитете и культуре двух представлений о плоскости: модель Евклида (бесконечная ровная плоскость на основе такой же прямой) и модель Лобачевского – сферическое представление о плоскости. В связи с этим иногда отдельно рассматривается симметрия на плоскости и симметрия на шаре. Но это имеет смысл только для первых двух типов симметрии.

Кроме того можно поговорить и об ионах этих четырех основных типов симметрии, а, кстати, и моделей времени тоже. Принцип тот же, что описан в нашей первой книге [7], потому подробно мы его здесь разворачивать не будем. Это такие основные и переходные состояния:

<1 упрощение зеркальной симметрии до линейной;

1 зеркальная симметрия;

1> зеркально-поворотная симметрия;

< 2 поворотно-зеркальная симметрия (вид симметрии подобия);

2 поворотная симметрия;

2 > поворотно-винтовая симметрия (вид симметрии подобия) – свастики, окна готики;

< 3 винтовая симметрия с поворотностью (вид симметрии подобия);

3 винтовая симметрия;

3 > винтовая, переходящая в коническую спиральность (вид симметрии подобия),

< 4 коническая спиральность, тяготеющая к винту (вид симметрии подобия);

4 коническая спиральная симметрия (двух типов – дивергентная и конвергентная);

4 > коническая спиральность, переходящая в “импульс”.

* * *

Некоторые особо важные переходные варианты мы рассмотрим чуть подробнее.

Так, например, зеркальную симметрию предваряет переносная. Речь идет о линии, но не в полном, а в частичном использовании ее свойств.

Переносная симметрия, которую не относят к фундаментальным, возникает в линейных последовательностях (перенос одного и того же элемента вдоль линии). С ее помощью появляются бордюры, их в основе семь:

Стоит отметить, что переносная симметрия имеет продолжение в более сложном виде – в симметрии подобия. Иногда ее рассматривают как наиболее важный тип симметрии, но такое понимание не универсально: все типы могут рассматриваться как доминирующие.

Бордюры обладают массой комбинаторных возможностей, а благодаря сочетанию переносной и зеркальной симметрии возможности расширяются безгранично.

1.1.1. Зеркальная симметрия

Данный тип симметрии – наиболее простой. Он называется зеркальным в силу очевидности: речь идет об отраженности левого и правого, верха и низа – здесь фигурирует некая ось или плоскость симметрии. В любом случае определяющей выступает прямая линия.

Такой симметрии в природе много. Человек встречается с зеркальной симметрией в мире флоры и фауны, замечает ее в самом себе. Соприкосновение с очевидной симметрией своего тела, возможно, и породило восприятие человеком двустороннего пространства, различение правого и левого. Наши естественные оси “вертикаль – горизонталь” неравнозначны [9]. В природе преимущественно мы имеем дело с вертикальными осями и плоскостями симметрии, что обусловлено гравитацией. Единственная горизонтальная симметрия в природе – отражения в зеркале воды. Видимо, поэтому вертикальная симметрия воспринимается нами не так напряженно, как горизонтальная (не встречаются обои с горизонтальными осями симметрии). Зато горизонтальная симметричность дает необычные и завораживающие по силе воздействия эффекты (отчего и применяется в декадансе).

Дважды симметричным по осям “вертикаль – горизонталь” является, например, квадрат.

1.1.2. Симметрия вращения (поворотная симметрия)

Поворотную симметрию человек наблюдал в деревьях, растениях, узорах снежинок и т.д.

Поворотная симметрия, как и переносная, тесно связана с числом (задается n – порядок симметрии). С ее помощью образуются так называемые “розетки”. Розетки получаются поворотом фигуры вокруг вертикальной оси на угол 360°/ п (п = 2,3,4,5,6...), т. е. они обладают поворотной симметрией п-го порядка.

Изучая симметрию в природе, Геккель обнаружил множество водорослей на этой основе (см. Шубников А.В. Симметрия. – М.-Л. Издательство АН СССР, 1940.):

Сочетание поворотно-симметричных конструкций с приемами переносной и зеркальной симметрии создает все разнообразие плоских паркетов, а также вариантов симметрии на шаре с применением симметрии подобия. Основных типов плоских решеток такого рода – пять (треугольная, квадратная, пятиугольная, шестиугольная, восьмиугольная) плюс комбинированные (3+4, 4+6, 4+8, 3+6, 3+4+6, 5+6 и т.д.). Они дают в итоге семнадцать возможных типов орнаментов. Вот некоторые основные примеры.

Рис. 4. Примеры решеток и схем образования плоских орнаментов на их основе.

В принципе, в истории искусств наиболее распространен смешанный, комбинаторный тип симметрии, его называют также языком орнаментальной симметрии.

Увеличить >>>

Рис. 5. Примеры смешанной (орнаментальной) симметрии на плоскости.

Все проиллюстрированные приемы пока находятся в пределах двухмерности.

Выходя за пределы мира кристаллов к живому, мы всегда будем иметь дело с криволинейной симметрией. Она связана с жизнью и ростом, но иногда применяется и в человеческой культуре. Из многих видов криволинейной симметрии мы рассмотрим две, наиболее характерные. Они к тому же обычно связаны и с симметрией подобия, в которой уже известный нам по бордюрам перенос осуществляется не на прямой оси, а более сложным образом:

Рис. 6. Примеры симметрии подобия. Спиральная ось. Закон плотнейшей гексагональной упаковки плодов растений. Подсолнух. Шишка. Система логарифмических спиралей. Клумба.

К случае, когда равными фигурами считаются все фигуры одной и той же формы, вне зависимости от их размеров, мы имеем преобразование подобия. Оно широко распространено в живой природе – таковы листья на деревьях, спиральные раковины, семена подсолнуха, ромашки и т.д. С визуальной точки зрения, для нас важнее всего те оси, по которым происходит рост.

Представленное зримое поле показывает, что логарифмическая спираль является математическим выражением одной формообразующей линии в плотнейшей упаковке. Эта спираль присуща природным формам, в то время как биосоциальной сущности человека присуща спираль Гёте.

формате PDF (7150Кб)