Гляди в оба, зри в три

Русская поговорка

Перекличка городов. Нам всегда небезынтересно просматривать работы проф. А. Мартыненко (Санкт-Петербург), связанные с описанием различных математических форм в их связи с золотой пропорцией и числами Фибоначчи.

Активная деятельность в музыкальной сфере помогает ему по-особому видеть разнообразные грани числовой гармонии, наполненные простым, доходчивым и часто оригинальным содержанием.

Хотя собственные доказательства выявляемых закономерностей ему удавались нечасто.

И вот он пригласил в соавторы д.ф.-м.н. профессора кафедры прикладной математики СПбЭУ Ю.Григорьева [1].

Тема алгебраических уравнений с фибоначчиевыми коэффициентами фактически получила второе дыхание. Посвежела. Значительно повысился уровень обоснованности. Выкристаллизовались теоретические линии.

Но, к сожалению, ключевые положения остались недоказанными и научно пока могут квалифицироваться лишь как гипотезы.

Доказательство одной теоремы не приводится ввиду якобы громоздкости двойной индукции по двум индексам, доказательство другой – де-факто таковым не является, поскольку осуществлено простым перебором лишь ограниченного набора трехчленов, но никак не в общем виде.

Одним словом, пока гипотезы... Хотя, как будет показано ниже, вполне справедливые.

Да этого и следовало ожидать, поскольку все закономерности получены путем последовательной серии манипуляций из разряда простой модификации обычного квадратного уравнения вида x²–x–1 = 0.

Можно было и не уделять особого внимания данному аспекту. – Доктора наук сами достойно и квалифицировано разберутся со своими задачами.

Но нам видится связь их работы с собственным изложением концепции обобщенного уравнения золотой пропорции [2].

И там и там максимальным по модулю корнем алгебраического уравнения является число золотой пропорции, хотя сам характеристический полином отличен от квадратного трехчлена с единичными коэффициентами.

Есть замечание и к терминологии, когда треугольная форма-таблица, содержащая многочлены, именуется золотым треугольником, в то время как этот термин уже давно имеет свое содержание в геометрии. Да и в географии у него дурная слава, связанная с производством и торговлей наркотиков.

С нашей точки зрения, пока он еще не стал тиражироваться и вносить путаницу в уже апробированные определения, можно предложить более корректное его название, например, треугольник золотых триномов или просто золотые триномы.

Это полностью соответствует содержательной стороне вопроса и не содержит противоречивых нестыковок с геометрическими представлениями.

Целью настоящей работы является математическое обоснование золотых триномов, исследование их сходимости и увязка с обобщенным уравнением золотой пропорции.

Математическое обоснование. Сначала докажем две теоремы.

формате PDF (159Кб)