Счет – есть игра, а числа в ней – актеры,

где всем давно прописаны их роли ...

         ВаСиЛенко

Каждый математический объект по-своему оригинален.

Среди них встречаются и просто любопытные, ближе к развлекательному типу.

Но именно многие из них в последующем стали родоначальниками разных теорий и направлений развития науки.

Среди числовых объектов есть такие, на которых профи, как правило, свое внимание долго не задерживают, или просто обходят стороной.

Любители эзотерических знаний наоборот часто считают их своей вотчиной.

Хотя своим происхождением числовые структуры обязаны обычному арифметическому счету, комбинаторике, свойствам позиционных систем счисления и др.

Действия вполне светские. С явным отсутствием сакрального начала или смысла.

Что касается теологических интерпретаций, вселенской напыщенности или высокопарности самих числовых величин, то это дело сугубо индивидуальное. Здесь даже официальная наука не всегда едина в своем мнении. Поэтому спорные вопросы больше соотносятся с такой категорией как вера, включая и верования в догматы самой науки, независимо от ее названия или прилагательного к ней.

Несмотря на кажущуюся простоту и понятливость в использовании чисел, здесь не все так просто и безоблачно. Достаточно вспомнить и проследить историю тех же мнимых, иррациональных или трансцендентных чисел.

Многие удивятся, но обычная единица (счетная палочка) до сих пор не имеет единого, доходчивого и однозначного аксиоматически-математического определения или описания.

Так, полное имя математического термина, обозначаемого символом "1", группа французских математиков (Бурбаки) дает через запись-сочетание несколько десятков тысяч логических и специальных знаков [1, с. 188].

Разрешите представить... Что же представляет собой изучаемые нами далее объекты?

В определенной мере они связаны с именем индийского математика Капрекара.

Более всего он известен за пределами Индии своим открытием, совершенным 55 лет назад [2] и вошедшим в теорию чисел как "постоянная Капрекара" [3].

Для наглядного восприятия позволим себе озвучить некоторые известные положения, которые можно найти в литературе по данному вопросу. Кстати, сравнительно малочисленной. Хотя время от времени интерес перманентно возобновляется [4–16].

В десятичной системе счисления выберем любое четырехзначное число x≥1000, в котором не все цифры одинаковые. Расположим цифры сначала в порядке убывания, затем обратно в порядке возрастания. Найдем разность полученных чисел, вычтя из первого числа второе. В процессе перестановки цифр и вычитания нули сохраняются.

Данную совокупность действий назовем функцией Капрекара K(x).

Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя. Например, для величины 3412: 4321 − 1234 = 3087 → 8730 − 378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174.

Среди трехзначных чисел аналогичным свойством обладает 495 (процедура сходится к нему максимум через шесть итераций для любого 3-значного числа без повторяющихся цифр). Для чисел с большим, чем 4 знака, подобное преобразование рано или поздно приводит к циклическим повторениям чисел либо к неподвижной точке n = K(n).

Для 5-значных чисел неподвижной точки не существует.

Имеется два шестизначных числа, являющихся неподвижными точками преобразования Капрекара (549945 и 631764). Семизначных чисел с таким свойством нет.

8-значные: 97508421, 63317664.

9-значные: 864197532, 554999445.

10-значные: 9753086421, 6333176664, 9975084201 и т.д.

Последовательности точек-аттракторов (A099009) и чисел, образующих циклы (A099010) по схеме Капрекара, можно найти в числовой энциклопедии [17] и работе [18].

Например, легко доказать непосредственной проверкой, что любое число вида 633…331766…664 (где в последовательностях количество цифр 6 и 3 одинаково) является неподвижной точкой n = K(n). Сама постоянная Капрекара тоже является числом этого вида. Однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде.

Это довольно интересная тема. Хотя манипуляции с перестановками, вычитаниями и другими действиями над представлениями чисел обычно зависят от системы счисления.

В этом контексте данное свойство в преобразовании чисел носит дуальный характер.

С одной стороны, оно является некоторым инвариантом относительно произвольных систем счисления в том смысле, что инверсно-числовые аттракторы (ИЧА) практически всегда присутствуют. С другой стороны, их конкретные значения изменяются при переходе от одной системы счисления к другой.

Есть и другие 4-значные числа-анаграммы несколько иного типа (A160851 [17]):

1089 = 9108 – 8019; 1269 = 2961 – 1692; 2538 = 5823 – 3285.

Главная задача настоящего исследования: найти аналитические представления закономерностей формирования ИЧА.

формате PDF (290Кб)