|
|
С.Л. Василенко, В.С. Белянин, А.В. Радзюкевич
Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю!1
Архимед из Сиракуз
История в 2222 года. Представление о центре тяжести тел впервые использовал великий древнегреческий математик Архимед (ок. 287–212 до н.э.) [1]. На основании механических соображений он показал как можно вычислить площади некоторых плоских фигур. В «Послании к Эратосфену» он дал вначале нестрогое вычисление площади параболического сегмента, то есть части плоскости, ограниченной дугой параболы и её хордой. Затем в работе «Квадратура параболы» представил строгое решение этой задачи.
Впоследствии Архимед механическим путем вычислил объем шара, шарового сегмента и эллипсоида вращения, нашел также положение центра тяжести некоторых фигур, например, шарового сегмента.
Несмотря на то, что стержневым понятием всей статики Архимеда являлось понятие о центре тяжести, оно ни в одной дошедшей до нас работе четко не сформулировано. По всей вероятности это определение было сделано им в одном из ранних сочинений по механике, которое, к сожалению, нам неизвестно [2]. Составить себе представление об этом определении можно по сохранившемуся и восходящему к Архимеду фрагменту у греческого математика, астронома и географа Паппа Александрийского (ок. 320), из сочинений которого до нас дошли «Математические коллекции» (Collectiones), в которых дан замечательный и исчерпывающий комментарий к математическим трудам его предшественников.
В книге VIII, 5 говорится [1, с. 71]:
«Центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение».
Из всех уцелевших произведений Архимеда видно, что подобное понятие центра тяжести ему вполне известно, и он им постоянно пользуется.
Если говорить вообще о творчестве Архимеда, то еще в древности о нем хорошо сказал Плутарх [3]2: «Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. …Если читатель сам не находит доказательства, то при изучении архимедовых сочинений у него создается впечатление, что он смог бы без труда найти решение, – таким легким и быстрым путем Архимед приводит к тому, что он хотел доказать».
После Архимеда представление о центре тяжести стало важнейшим не только в механике, но и в математике. Это позволило сравнительно просто и наглядно решить множество трудных геометрических задач.
Например, швейцарский геометр Поль Гюльден (по-немецки Пауль Гульдин, 1577–1643) в 1635–1641 гг. опубликовал обширный четырехтомный труд «Центробарика»3, посвященный изучению понятия о центре тяжести. В этом труде были сформулированы теперь широко известные теоремы, позволяющие найти площади поверхностей и объемы тел вращения, когда известны центры тяжести линий или пластинок, образовавших при своем вращении эти поверхности и тела.
И еще пример.
Итальянский геометр Джованни Чева4 (1648–1734) доказал свою знаменитую теорему о пересечении в одной точке некоторых линий треугольника не только чисто геометрически, но и довольно изысканным методом с использованием понятия о центре тяжести.
В историческом плане наиболее интересным геометрическим исследованием была книга видного немецкого математика и астронома Августа Фердинанда Мёбиуса (1790–1868) «Барицентрическое исчисление»5 (1827). В этом оригинальном, богатом математическими идеями труде Мёбиус на основании понятия о центре тяжести построил целую геометрическую дисциплину, получившую впоследствии название «проективная геометрия».
Число замечательных результатов, в которых понятие о центре тяжести было краеугольным камнем, можно множить достаточно долго. Прошло два с лишним тысячелетия со времени пионерских работ Архимеда, но число замечательных геометрических задач, решаемых с помощью понятия центра тяжести, оказалось отнюдь не исчерпанным. Причем математиками уже давно подмечено, что многие задачи элементарной и высшей математики решаются с помощью этого понятия наиболее изящным способом.
Это со всей наглядностью было показано и в недавних работах [4, 5].
В них были рассмотрены плоские выпуклые твердотельные фигуры с осевой симметрией, из которых вырезались подобные им фигуры с коэффициентом подобия 
(золотое сечение) так, чтобы их края в одной точке совпадали.
Центр тяжести получающихся фигур оказывался лежащим на геометрическом контуре. Эти работы привлекли внимание исследователей не только неожиданными выводами, но, прежде всего, изяществом получаемого результата.
Однако время неумолимо бежит вперед.
И вполне закономерным нам представилось продолжить изучение этих особенностей, сделав обобщение результатов для похожих геометрических объектов в трехмерном и n-мерном евклидовом пространстве. В свое время подобным образом поступил Архимед при решении задачи о «квадратуре параболы» – он повторно вернулся к этой задаче, но уже на другом уровне, с полным логическим обоснованием всех деталей.
Возврат к работам [4, 5] показал, что выявленное свойство центра масс является проявлением общей закономерности, которая по-новому приоткрывает нам область физической интерпретации и реализуемости линейных возвратных (рекуррентных) последовательностей n-порядка с единичными коэффициентами и предельными аттракторами: золотым сечением, константой Трибоначчи (лат. tri три) и др.
Пожалуй, это одно из немногих теоретических представлений о приложении возвратных последовательностей (чисел) любого порядка к решению реальных физических задач. В том числе и едва ли не единственная наглядная реализация константы Трибоначчи в физике.
Но прежде, чем излагать новый материал вначале следует, пожалуй, вернуться к уже опубликованным результатам и рассмотреть некоторые из них вновь под несколько иным, уточняющим углом зрения.
Некоторые основные понятия. Для удобства читателей, чтобы им постоянно не обращаться к статье [5], повторим кратко основные определения и принятые в ней положения.
Центр тяжести (ЦТ) – точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих в однородном поле тяжести на твердое тело при любом его положении в пространстве. ЦТ однородного тела находится на оси симметрии или на пересечении осей симметрии. Если у твердого тела нет закрепленной оси вращения, для его равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма действующих на него сил равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил была равна нулю относительно любой оси.
В дальнейшем будем без оговорок опираться на доказываемую в теоретической механике теорему о единственности центра тяжести материальных тел.
Более общим понятием, чем ЦТ является понятие центра масс [6–9].
Центр масс (ЦМ) – точка твердого тела, движущаяся так же, как и материальная точка, на которую действует та же результирующая сила, что и на тело. Если линейные размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то центр масс совпадает с центром тяжести. ЦМ не связан ни с каким силовым полем и имеет смысл для любой материальной системы.
В дальнейшем будем говорить о центре масс.
Рассматриваемые ниже фигуры и тела будем считать однородными, то есть их поверхностная и объемная плотность будут считаться постоянными. Более того, будем считать эти плотности равными единице. Это допущение не снижает общности, но упрощает выкладки, так как позволяет массу любой пластины или тела измерять соответственно площадью или объемом. В этом случае удобно пользоваться понятием статического момента площади, который определяется как произведение площади фигуры на расстояние её центра масс до какой-либо заданной оси.
Понятие о статическом моменте площади облегчает решение задач по определению координат ЦМ сложных фигур, так как имеет чисто геометрический характер.
Полный текст доступен в формате PDF (548Кб)
1
Выражение стало афоризмом. Существует и видоизменение этой замечательной крылатой фразы: Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир!2
Приведенная цитата дана в переводе И.Н.Веселовского.3
Paul Guldin. Centrobaryea. – Wien: 1635, 1640 und 1641. – В основе названия этого труда лежит греческое слово barýs тяжелый. Отсюда центры тяжести тел – барицентры.4
Его учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии, изложено в сочинении «О взаимно-пересекающихся прямых» (De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio, 1678).5
Möbius A.F. Der barycentrische Calcül: ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie. – Leipzig, 1827.С.Л. Василенко, В.С. Белянин, А.В. Радзюкевич, Центры масс однородных тел как аттракторы возвратных последовательностей (Фибоначчи, Трибоначчи ...) // «Академия Тринитаризма», М.,
 |