|
|
С.Л. Василенко
"...природа создать треугольники действительно
не может, но зато могут люди. Они и создают".
Илья Панин. История "Динозавров", 2005.
Математические начала... В последнее время в литературе все чаще можно встретить использование терминологического оборота "математика гармонии".
По нашему мнению, наиболее точно, слаженно и полно отвечает понятию гармонии и правилам образования словесных русскоязычных конструкций со словами "математика" и "гармония" выражение композитора М. Марутаева [1] «математические начала гармонии».
Можно использовать и оборот «математические основы (основания) гармонии».
Во-первых, здесь нас ничто не разделяет на "математику гармонии" и логически напрашивающуюся, но противоположную ей "математику дисгармонии".
Во-вторых, "начала" – это основа (фундамент) для сколь угодно широкого дальнейшего развития. В-третьих, "начала" априори предполагают недосказанность и незавершенность, что полностью соответствуют идее (теореме) Геделя о неполноте любой теории (аксиоматики) в случае ее непротиворечивости. Как процесс, математизация гармонии никоим образом не абсолютизируется в виде завершенного продукта.
Даже наоборот. Мы изначально закладываем тезу о принципиальной невозможности буквального описания гармонии исключительно средствами математики, оставляя тем самым свободное поле (пространство) для души и чувственных форм восприятия гармонии, что соответствует ее культурным срезам (проекциям) различных народов и народностей.
И потом, какая замечательная перекличка веков! Весьма символично, что эстафета времени с его "Началами" Евклида – самой знаменитой после Библии и читабельной многотомной книги, в преемственном смысле здесь адекватно ассоциируется с математическими началами всеобщей гармонии. Здесь также и Ньютон с его наиболее известными «Математическими началами натуральной философии».
По нашему мнению, одно из немногих четких определений мы находим в работе [2]: «Математические начала гармонии – это знания о том, как, посредством мер геометрии и числа, Единое (континуум пространства-времени Вселенной) обретает континуумно-дискретное множество объектов и как эти множества сохраняют содержание и форму целостности континуума».
Формулировка в целом верная. Хотя мера (планка) обобщения здесь непомерно высока.
Поэтому легко представить себе мысли математиков, берущихся за абстрактную гармонизацию подобных знаний. – В принципе, не мудрствуя лукаво, сюда можно включить по определению всю математику, а не только геометрию и теорию чисел.
Там же [2] можно найти еще одно интересное высказывание: «Математика гармонии – это математика, изучающая и моделирующая гармонию бытия пространственно-временных форм Жизни и их количественные отношения, проявляющиеся в эволюции природы, общества и мышления».
Совсем не просто для нас найти принципиально-сущностные или предметно-идентификационные различия между этими пространными понятиями.
Создается такое впечатление, что второе даже уже первого (описывает только формы жизни), хотя могло бы быть наоборот. Но и с небольшими косметическими корректировками невольно закрадывается мысль о фактическом провозглашении идеи построить математическую модель-структуру "всего и вся", что весьма проблематично, но вполне приемлемо в философском толковании.
Оставим данный вопрос для последующего более подробного анализа и методологического осмысления. А пока сосредоточим внимание на математических аспектах гармонии в их сугубо геометрической трактовке, начав с исследования гармонических свойств такого известного, но во многом необычного феномена как треугольники.
Треугольники в природе. В окружающем нас мире треугольников не так уж много.
Но и то, что мы за них принимаем, возможно, таковым на самом деле не является.
Не исключено, что их вообще нет, – с далеко идущими концептуальными линиями в части отсутствия подобных жестко-связанных структур. Таким образом, в отличие от известной формулы «очевидное – невероятное», принятие факта существования в природе естественных треугольных форм – «не очевидное, но вероятное».
Конечно, существуют триадные формы типа молекулы воды. Но там присутствуют специфические конфигурации, далекие от понятия планиметрической (плоскостной) жесткости, характерной для геометрических фигур.
С треугольником больше сопоставляется геометрическое выражение тройки как гармонического результата взаимодействия единства и дуальности.
Ученый античности Никомах отмечает: «Тройка в сравнении со всеми остальными числами обладает исключительной красотой и благолепием. Прежде всего, она первая в действительности явила возможности единицы: нечетность, совершенство, пропорцию, единство, предел. В самом деле, 3 – первое действительно нечетное число, сообразно названию "более чем равное", то есть в другой своей части имеющее нечто большее, нежели равное... Исключительность тройки в том, что она является суммой двух начальных чисел и суммой их обоих» [3].
Нечто, похожее на треугольники можно иногда наблюдать в живом мире:
- подвижная голова богомолов имеет почти треугольную форму;
- треугольной конфигурации уши у куницы и соболя.
Так уж необходимы природе треугольники? И собственно зачем?
Видимо, жесткость конструкции ей не нужна. Сохранение структурной устойчивости осуществляется на другой основе: межмолекулярные связи, гравитация и т.д.
Треугольники и люди. В антропоцентрическом мире или в сфере человеческих отношений треугольников «хоть пруд пруди», – от жестких строительных конструкций, даже непонятно с чего скопированных, а скорее всего, гениально придуманных людьми, – до любовных треугольников с их гармоническими колебаниями и резонансами. Например, такое выдающееся изобретение как колесо можно было придумать, наблюдая за движением солнца, луны или отмерших и высохших растений "перекати-поле". Но как в сознании наших древних предков родились треугольники, воистину «тайна за семью печатями».
Слово "эволюция", на наш взгляд, здесь малоубедительно, хотя история этих фигур и восходит к первым шагам возникновения абстрактного мышления.
Можно предположить, что методом проб и ошибок было выявлено свойство жесткости треугольника, которое стало применяться в строительном искусстве для укрепления различных сооружений и составных деталей.
Треугольник – первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах.
Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах и в старинных индийских книгах.
Треугольник – одна из первых плоских фигур. Отсюда и символ поверхности вообще.
По Платону «всякая прямолинейная поверхность состоит из треугольников» [4] – строительных блоков космического мироздания.
Но не все из них одинаково выразительны, и «нам приходится отдать предпочтение двум треугольникам... один из них равнобедренный, а другой таков, что в нем квадрат большей стороны в три раза больше квадрата меньшей» [4, с. 457]. Тимей в диалоге отмечает, что истинными элементами материального мира являются не земля, воздух, огонь и вода, но два вида прямоугольных треугольников: половина квадрата и половина равностороннего треугольника.
Как бы там ни было, но, несмотря на реальное отсутствие треугольников в природе, сегодня и дети знают, что это такое, и могут довольно легко продемонстрировать.
В географии хорошо известны названия Бермудского и золотого треугольников 1.
В северном полушарии неба известно созвездие "Треугольник" (лат – Triangulum), которое содержит 15 звезд, видимых невооруженным глазом.
Существует и музыкальный инструмент в виде металлического стержня, согнутого в форме треугольника и подвешенного за один из его углов.
У человека даже экономическая модель "спрос–предложение" является треугольником, поскольку непременно содержит третью составляющую – ресурс, без чего две остальные не могут существовать.
В такой абстрактной науке как математика выделен специальный раздел тригонометрии (от греч. trigonon – треугольник и metro – метрия), который своим рождением обязан исследованию зависимостей между сторонами и углами треугольника, а сегодня изучает алгебраические соотношения тригонометрических функций и их приложения в геометрии.
Древние геометры, а позже пифагорейцы и Евклид в своих «Началах» придавали исключительное значение изучению и описанию многообразных свойств различных по форме треугольников на плоскости. И здесь очень важно одно наблюдение [5].
Геометр-пифагореец – это теоретик. Рассматривая чертеж, он мысленно вычленяет его отдельные части, проводит дополнительные линии и подмечает такие соотношения, которые скрытое делают явным. К примеру, сколько не разглядывай различные треугольники, их внешний вид ничего не скажет о том, чему равна сумма углов каждого из них.
Но стоит провести прямую линию, проходящую через вершину треугольника параллельно его противоположной стороне, и теорема о равенстве суммы углов любого треугольника развернутому углу сразу же становится совершенно очевидной.
Так и понятие "гармонического треугольника" как ни странно, но впервые самостоятельное возникло вовсе не с геометрией, а благодаря теории чисел.
Поэтому, нарушив частично хронологию, с него и начнем наше повествование с последующей передачей эстафеты геометрии.
А уже в рамках ее мощного раздела в виде алгебраической геометрии попробуем сформулировать один общий подход к конструированию целого класса гармонических треугольников, органически связанных с теорией пропорции в ее гармоническом аспекте.
Полный текст доступен в формате PDF (518Кб)
1
Золотой треугольник – географическая зона, расположенная в горах на стыке границ трех государств Юго-Восточной Азии: Таиланда, Мьянмы и Лаоса
С.Л. Василенко, Математические начала гармонии: гармонические треугольники // «Академия Тринитаризма», М.,
 |