По легенде открытие иррациональных чисел связано с именем Пифагора или с одним из его учеников, который, рассматривая квадрат со стороной, равной единице, обнаружил явление несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. Если мы взглянем на современную теорему, доказывающую иррациональность √2, то обнаружим, что в ее основе лежит все та же теорема несоизмеримости, появившаяся более двух тысяч лет назад благодаря Пифагорейской школе. Рассмотрим доказательство этой теоремы методом «четных и нечетных», которое с небольшими изменениями публикуется во всех учебных пособиях.

(I) Теорема: не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство. Предположим, что существует рациональное число m/n, квадрат которого равен 2: (m/n)² = 2. Если целые числа m и n имеют общие множители, то дробь m/n можно сократить, поэтому мы в праве сразу предположить, что данная дробь несократима. Из условия (m/n)² = 2 следует, что m²= 2n².

Поскольку число 2n² четно, то и число m² тоже должно быть четным. Тогда четным будет и число m. Таким образом, число m=2k, где k – целое число. Подставляя 2k в формулу m² = 2n² , получаем: 4k² =2n² , откуда n² = 2k² . В таком случае число n² будет четным; но тогда будет четным и число n. Выходит, что числа m и n четные, что противоречит тому, что дробь m/n несократима. Следовательно, исходное предположение о существовании дроби m/n, удовлетворяющей условию (m/n)² = 2, неверно. Таким образом, среди всех рациональных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен 2. Поэтому решением уравнения (m/n)² = 2 является непериодическая десятичная дробь…

Очевидно, такое доказательство не удовлетворяет элементарным правилам логики, поскольку число n в теореме равно стороне квадрата, то есть единице, числу нечетному (!), а число m в теореме равно бесконечной десятичной дроби 1,4142…, которая, как и любая другая дробь, не может быть ни четным, ни нечетным числом. Сама постановка вопроса о поиске некоего отношения целых чисел m/n методом «четных и нечетных» является в данном случае некорректной манипуляцией или argumentum ad ignorantiam (с лат. «аргумент к незнанию»). Для того, чтобы искать отношение m/n, необходимо воспользоваться правилами перевода десятичных дробей в обыкновенные, о которых пифагорейцы не знали и знать не могли.

Ссылаясь на непререкаемый авторитет имени Пифагора, математики-пифагорейцы Феодор, Теэтет и Архит создали в IV веке до н.э. теорию несоизмеримости нецелых корней. Любая критика их трудов жестко подавлялась. Платон, как известно, за отрицание атомистами теории несоизмеримости сжигал труды Демокрита. По той же причине, судя по всему, был изгнан из Южной Италии, а затем из Афин, Евдокс Книдский, создатель теории пропорций (от греч. άνάλογος, «соизмеримый», «согласный»). Так почему же теорема (I), несмотря на всю абсурдность своего «доказательства», признавалась пифагорейцами истинной? Прежде всего, потому, что античным математикам не были известны десятичные дроби, которые получили широкое распространение только в XVI веке н.э. Кроме того, в пифагорейской арифметике вообще не использовались дроби так, как мы их себе представляем. Поскольку важнейшей из всех пифагорейских аксиом являлась Аксиома Неделимости Единицы. Другой характерной для пифагорейцев аксиомой, имевшей математическое и религиозно-философское значение, была Аксиома Четно-Нечетности Единицы.

формате PDF (342Кб)