...где начинается вычисление,

там кончается понимание.

А. Шопенгауэр

У широко известного российского математика Юрия Манина есть любопытная книга «Математика как метафора».

В ней, он в частности приводит довольно поучительный пример [1, с. 137], как другой известный математик начинал читать логику студентам. «Логика – это наука о законах мышления, – сообщал он. Теперь я должен объяснить вам, что такое наука, что такое закон и что такое мышление. Что такое "о", я объяснять не буду».

Кто такой Евклид (древнегреческий математик, ок. 300 г. до н. э.) к счастью, разъяснять не надо.

Достаточно напомнить, что более двух тысячелетий его наиболее знаменитые и  выдающиеся "Начала" служили для людей базовым учебником геометрии /само слово "геометрия" в переводе с греческого буквально означает "землемерие"/.

Это 13 достаточно объемных книг, которые по количеству многочисленных разных переизданий уступают только библии.

Потом к ним добавились еще две книги его последователей.

Следует сказать, что Евклид включил в свой учебник многое из того, что было создано его предшественниками, конечно, обработав этот материал и сведя его воедино, насколько это позволяли имеющиеся знания того времени.

В частности, в I книге отражены свойства треугольников и параллелограммов, включая знаменитую теорему Пифагора.

Книга II восходит еще к пифагорейцам и посвящена вопросам, которые сегодня относят к геометрической алгебре.

В III–IV книгах изложена геометрия окружностей с вписанными и описанными правильными многоугольниками, возможно, на основе трудов Гиппократа.

В V книге вводится общая теория пропорций Евдокса и т.д.

Ёж-Фома-верификация. Для оценки, пусть даже с оттенками субъективизма, истинности исследуемых утверждений воспользуемся методом частичной верификации.

«Верификация – это процедура, включающая какое-то сравнение утверждения с реальностью; тем самым подразумевается, что верифицируемым утверждениям приписывается какой-то смысл (это в равной мере относится и к "очевидным" утверждениям, проверка которых опускается)» [1, с. 75].

Это сравнительно наивная философская основа, которая, тем не менее, позволяет проанализировать небольшие лингвистические конструкции исходя из здравого смысла, избегая крайних суждений о явно противоречивых транскрипциях-толкованиях далекого исторического прошлого.

Для анализа подобных суждений, а также удобства изложения собственных "размышлизмов" мы решили воспользоваться расхожим выражением "Это даже ёжику понятно!" – смешной милой фразой, на которую грех обижаться.

Возникла идея наделить эту "живую колючку" средними мыслительными способностями и объединить с другим не менее интересным персонажем, который ни во что не верит, – во всяком случае, голословным рассуждениям или заявлениям.

В результате у нас получился новый вымышленный гипотетический образ-персонаж "Ёж-Фома". Он ни чему не верит на слово. Но ходит и все перемеряет, переспрашивает и постоянно верифицирует.

Иначе говоря, "Ёж-Фома-верификация ".

Довольно чутко реагируя на логические несуразицы, он одновременно служит своеобразным передаточным звеном (механизмом) между нами и голосами далеких предков в смысле интерпретации их представлений на наши вопросы.

Нечто машины времени с возможной передачей мыслей на расстояние.

Данный персонаж нам просто необходим еще и потому, что в эпоху Евклида математик был буквально терроризирован софистами, которые расставляли свои силки на каждом шагу. Допустим для доказательства «геометр начал вычерчивать круги и проводить прямые. Софист возражает, что это не всегда можно сделать, что циркуль или линейка могут не оказаться в руках, а тогда теорему уже нельзя будет доказать. В самом ходе доказательства он будет придираться к самым, казалось бы, бесспорным и простым истинам» [2, c. 263].

Так что, с одной стороны, необходимо строить надежные укрепления против софистов в виде основательных доказательств по всем правилам науки, а иногда просто отсекать лишние наслоения по принципу бритвы Оккама с простой аргументацией, что и "Ёжику-Фоме понятно".

Нечто вроде аксиом-постулатов на фоне спорных моментов, действительно требующих логического подтверждения. Одновременно, это как бы перекличка веков или мысленно-овеществленное обращение к "забытым теням предков".

Немного истории об истории. Золотое сечение в его современном представлении встречается в "Началах" Евклида в двух формах, которые весьма различны и довольно далеки друг от друга в глазах греческого математика IV века до н. э.

Первая форма связана с отношением и равенством площадей [2, с. 75]:

Предложение 2.11. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целой и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

/в нумерации 2.11 первое число означает 2-ю книгу "Начал", другое – 11-е предложение/

То есть линия делится так, что больший отрезок является средней пропорциональной между всей линией и меньшим отрезком. О всяком прямоугольном параллелограмме говорят, что он заключен между двумя прямыми, образующими прямой угол (определение 2.1). Не исключено, что похожие формы были известны еще ранее египтянам.

Вторая форма известна как задача деления отрезка в крайнем и среднем отношении (КСО), и впервые ее описание звучит следующим образом:

Определение 3.6. Говорится, что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если как целая к большему отрезку, так и больший отрезок меньшему [2, с. 173].

Построение, похожее на 2.11, приведено в предложении 6.30: данную ограниченную прямую рассечь в крайнем и среднем отношении [2, с. 213]. Хотя там уже другие буквенные обозначения, нежели в первой форме. А доказательство идет через пропорциональность отрезков и нахождение большего из них.

Обратим еще внимание на слово "говорится", – достаточно нетривальное образование для вводимых определений с некими флюидами безысходности, которой приходится подчиняться, или наоборот широкой апробацией-одобрением всеми говорящими.

Например, Сергей Ясинский анатомирует или раскрывает слово "говорится" тем, что «по всей видимости, в окружении Евклида хорошо знали процедуру деления отрезка в КСО, то есть считали это деление общеизвестным фактом, который не требует специального доказательства и воспринимается всеми как общеизвестная процедура» [5, с. 63].

Нам представляется, что подобное объяснение типа "знали–не знали" некую процедуру верно, но неполно. Большая часть самой геометрии Евклида построена по такому объяснению. Тем не менее, слово "говорится" используется нечасто.

Скорее всего, это означает некий понятийный образ или словесную идиому, к которой, возможно, сам Евклид имеет субъективное отношение, но все-таки раз "говорится", то говорится. Тем более что книга II берет свои начала еще от пифагорейцев.

С чем же ассоциируется подобный образ?

Наиболее вероятно это вытекает из количества сравниваемых величин (а их три), причем одна из них (больший отрезок) используется два раза. Таким образом, данная словесная конструкция уже применялась до Евклида, а он принял ее как должное.

А куда деваться, если "говорится"?

И когда отношение формулировали или пытались как-то формализовать в виде записей, возникал образ двух крайних и одного, но два раза повторяемого, среднего.

Отсюда и возникло название.

Характерно, что ситуация не изменяется, если из таких отношений будет выстроена целая цепочка, например, непрерывной пропорции, как в первых десяти предложениях 8-й книги [3, с. 42–53]. По-прежнему остаются два самых крайних предмета (величины) и некоторая «сборная средняя» посередине.

Одновременно такая форма определения в дополнение со словом "говорится" указывает на неопределенную дистанцию между двумя описанными формами ЗС, скорее всего большого, а, возможно, и непреодолимого по тем временам расстояния.

В том числе, когда еще не было четкой и однозначной связи между произвольными числами и отрезками. Например, согласно предложению 8.11 для двух квадратных чисел существует одно среднее пропорциональное число [3, с. 54], которое можно, по сути, вставить между этими квадратными числами [3, с. 315] и т.п.

А нам, чтобы понять Евклида и других древнегреческих мыслителей, недостаточно быть математиком или философом. Желательно чувствовать "дух" языка того времени и обладать высочайшей степенью мимикрии, чтобы растворяться в авторах [6].

Надо на время попытаться мыслить как они. И только в этом случае можно рассчитывать на успех в понимании и интерпретации трудных мест из их трудов.

Ёж-Фома размерено и сосредоточенно вышагивал по комнате, временами приглаживая свои иголочки, но молчал, что означало полное включение в мыслительный процесс.

Критический анализ предшествующих работ. Есть авторы, которые десятилетиями заявляют о том, что золотое сечение якобы родилось буквально из уст Пифагора, Платона и Евклида, и ни разу не удосужились проанализировать надежные первоисточники, в основном ограничиваясь вольным пересказом других не менее вольных пересказов 2–3-го и большего порядка.

формате PDF (422Кб)