Платон любил Пифагора
и зачитывался его трудами
по золотой пропорции далеко
за полночь при свете лучины...
Сарказм В. Белянина на исторические измышлизмы.

Чтобы разгадать мир, надо
глядеть на него разными глазами.
Восточная мудрость.

Введение. Гиперболичность чисел Фибоначчи ("Книга об абаке", 1228) де факто насчитывает столько же времени, сколько и сами числа, поскольку присуща им исторически, по определению и на генетическом уровне.

Учитывая, что свойства чисел на самом деле существовали задолго до того, как были познаны человеком или появились первые кролики, то их генеалогия имеет такой же возраст, как и окружающий нас мир, а возможно и больше.

Начиная с исходных чисел 0 и 1, в процессе аддитивной схемы роста (рекурсии) уже через три десятка итераций i=30 они достигают значения, близкого к миллиону, еще через пару десятков – к 12 миллиардам, а далее просто фантастических значений:

i=100 → 354224848179261915075≈4·10²⁰;

i=200 → 280571172992510140037611932413038677189525≈3·10⁴¹;

i=300 → 22232244629420445529739893461909967206666939096499764990979600≈2·10⁶² ...

Одновременно "золотой" ряд Фибоначчи (с его аттрактором в виде "золотого" сечения) является феноменальным проявлением числового взаимодействия.

Создается впечатление, что, рождаясь из простой рекурсии, элементы в его структуре прогрессируют и развиваются в буквальном смысле как живые с удовольствием и наслаждением, в то время как в иных структурах, основанных на других формулах, – числа больше похожи на веночную символику.

Такая незатейливая рекурсия, и одновременно такой фантастический мир чисел с удивительными взаимосвязями и соотношениями. Воистину простота создала, она же и спасет мир (наравне с красотой, как у Ф. Достоевского).

Де-юре гиперболичность начала выкристаллизовываться и оформляться с появлением формулы Бине (1786–1856), когда в явном виде стала воочию видна показательная зависимость чисел от их порядкового номера n в рекуррентном ряде.

В частности, операция целочисленного округления в этой формуле приводит к числам Фибоначчи по следующей степенной зависимости:

Рано или поздно, но подобные гиперболические свойства должны были как-то интерпретироваться в формализованном виде с помощью натуральных логарифмов или адекватной им гиперболы с ее гиперболическими функциями (синуса, косинуса и др.).

И если применение логарифмов для чисел Фибоначчи еще как-то понятно и оправдано, то использование гиперболических функций не так очевидно и тривиально, что требует проведения определенного более углубленного анализа.

Открытым до сих пор остается и вопрос об их роли в реализации теоретических и практических разработок, более успешно пока решаемых и без их привлечения.

Либо до них еще не дошла очередь, либо они не несут новых знаний.

Развитие темы о гиперболичности.

В одной из работ [1] можно найти такие слова: «До сих пор не утихают споры по поводу "золотых" гиперболических функций, открытых украинским исследователем Олегом Боднаром, и гиперболических функций Фибоначчи и Люка, открытых украинскими математиками Алексеем Стаховым, Иваном Ткаченко и Борисом Розиным... Все остальные работы в этой области, как говорится, "от лукавого". Других оригинальных работ в этой области ... не существует».

Так ли это на самом деле? Да и странно как-то: споры есть, а работ нет, – видимо, речь идет о закрытых диспутах.

Отметим также весьма любопытную терминологию об "открытии функций".

Насколько известно функции не открываются (разве что в компьютере через open), поэтому будем считать это издержками изложения, по-видимому, навеянными замечательной монографией Д. Пойа [2], когда невольно может сложиться обманчивое впечатление о причислении к открытию решения любой мало-мальски нетривиальной задачи.

Да и понятие открытие имеет двойственное представление, которое также содержит "открытие" для себя чего-то уже давно известного.

Сами же функции (функционалы, операторы) формально вводятся, записываются или обозначаются, хотя им может предшествовать определенный этап установления (открытия, как получения ранее неизвестных знаний) новых физических или иных закономерностей.

Споров по поводу вышеуказанных функций также особых нет.

Полемика возникает обычно, когда не совсем понятно или выражается несогласие.

В данном вопросе в основном давно все ясно, но есть дальнейшее развитие и осмысление результатов, есть и разные взгляды на принципы построения гиперболических функций или некоторые комментарии, которые не всегда могут совпадать с точкой зрения других авторов.

Более важным здесь представляется уточнение фактической картины и правильная расстановка акцентов, которые будут способствовать спокойному и непредвзятому преодолению искусственных наслоений в виде гиперболизированных лабиринтов на пути к "гармонии в вопросах о гармонии".

А они есть, и весьма запутанные...

Представление формулы Бине. В широкодоступной русскоязычной публикации прошлых лет у Н. Воробьева [3, с. 25] (первое издание датируется 1961 г.) для вычисления чисел Фибоначчи u_n в явной форме представлена процедура вывода формулы Бине

формате PDF (509Кб)