Данная статья посвящена светлой памяти А.Л.Чижевского и подготовлена с использованием программы MathCad 2000, поэтому в точности расчетов можно не сомневаться. Основной задачей статьи является исправление небольшой ошибки, допущенной А.Л.Чижевским, а также показать возможности программы MathCad.

В результате исследования статистического материала Чижевский пришел к выводу, что эритроцит человека имеет форму вогнутого дискоида, толщина в центре которого примерно равна 1/8 диаметра, а максимальная толщина равна 1/4 диаметра и расположена примерно на расстоянии 2/3 радиуса.

Ошибка А.Л.Чижевского состояла в том, что предложенная им для аппроксимации центрального сечения эритроцита четная функция не позволяла удовлетворить самое главное условие, чтобы кривая аппроксимации должна пересекать ось «X» на расстоянии равном 1.0 радиуса. У четного многочлена, который использовал Чижевский, кривая пересекала ось «X» примерно на расстоянии 0.95 радиуса эритроцита. А это автоматически занижало объем и площадь поверхности эритроцита, которые вычислялись с использованием его формулы.

Посмотрим, как выглядит сечение эритроцита Чижевского в первом квадранте, а затем по этим данным создадим поверхность вращения. Для простоты расчетов изобразим поверхность только одной половины эритроцита вокруг оси Z. Эритроцит Чижевского в прямоугольной системе координат с осями X и Z приблизительно можно описать в первом квадранте следующим уравнением.

(1)

Для построения графика сечения и поверхности вращения произведем некоторые преобразования:

(2)

Перейдем от прямоугольной системы координат к цилиндрической и примем, что радиус r и угол s будут принимать следующие значения:

(3)

Перейдем вновь к прямоугольной системе координат, получим:

(4)

График сечения эритроцита в первом квадранте в зависимости от расстояния от оси вращения будет выглядеть следующим образом:

(5)

А поверхность вращения вокруг оси Z имеет следующую форму:

(6)

Необходимо учесть, что это верхняя половина эритроцита.

Максимальная толщина эритроцита удалена от центра на расстояние равном 0.6814 радиуса

(7)

при этим толщина эритроцита равна:

(8)

т.е. толщина практически равна 1/4 диаметра эритроцита с удалением от центра на 2/3 радиуса.

Таким образом будем считать, что выбранная функция хорошо отражает форму эритроцита и позволит легко вычислить такие параметры эритроцита, как объем, площадь поверхности и момент инерции.

Естественно, предложенная функция отражает форму эритроцита не совсем так, как предложил Чижевский, но отличия ее незначительные и как показало сравнение с другими уравнениями, аппроксимирующими центральное сечение эритроцита, это практически не отражается на результатах расчета объема, площади поверхности и других показателях.

Теперь попробуем вычислить площадь поверхности и объем эритроцита. Для этого воспользуемся известными формулами высшей математики.

(9)

(10)

К сожалению использование формулы, выражающей площадь поверхности через интеграл, осложнено тем, что производная от f(x) при х=1 не определена.

Поэтому потребовалось провести преобразования подкоренного выражения, в результате которых формула для вычисления площади поверхности приняла следующий вид.

(11)

(12)

Так как пока размеры эритроцита мы определяли через его радиус, то для вычисления реальных параметров указанные выше формулы преобразуются в следующие:

(13)

Если примем, что диаметр эритроцита человека в среднем равен 7.55 микрона, то получаем:

(14)

Таким образом если измерять размеры эритроцита Чижевского в микронах, то получаем, что объем равен 69 кубических микрон, а площадь поверхности равна 114 квадратных микрон. Эти данные несколько меньше тех, что приведены в Большой медицинской энциклопедии. Разницу можно объяснить тем, что в БМЭ площадь и объем эритроцитов крови человека получены приблизительно, тогда как в данной статье предлагается более точное решение данной задачи.

Если по каким-то причинам потребуется аппроксимировать сечение эритроцита человека более точно, т.е. учесть относительную толщину в центре и максимальную толщину, то можно всегда в семействе кривых:

(15)

найти тот вариант, который наиболее точно отражает форму сечения эритроцита, подобрав по толщине в центре и на периферии, коэффициенты a и b. Если же учитывать еще и расстояние максимальной толщины от оси вращения, то можно воспользоваться более сложным уравнением:

(16)

которое позволит более точно рассчитать показатели эритроцита. С учетом того факта, что линейные размеры эритроцита невозможно измерить с высокой точностью, то нет смысла усложнять расчеты и можно остановить свой выбор на предложенном методе.

Имея теперь достаточно точный способ для аппроксимации центрального сечения эритроцита классической формы (по Чижевскому), попробуем при расчете площади поверхности и объема всех эритроцитов в единице объема крови учесть анизоцитоз, то есть отклонение диаметра части эритроцитов от средних величин.

Вычисление объема и площади поверхности всех эритроцитов в единице объема крови имеет важное практическое значение, в частности, в гематологии при лечении болезней красной крови, когда необходим подбор правильных доз лекарственных препаратов.

Общепринято объем и площадь поверхности всех эритроцитов в единице объема крови проводить по простому методу. Определяется или берется из справочника средний диаметр эритроцита (Dcp), по специальным формулам или из справочника получают значения объема (Vcp) и площади поверхности (Scp) эритроцита. Полученные данные умножают на число эритроцитов в единице объема крови (N) и, в итоге, получают значения объема и площади поверхности всех эритроцитов, то есть

(17)

При таком способе вычислений не учитывается распределение диаметров эритроцитов но нормальному закону и зависимость объема и площади поверхности эритроцита от диаметра.

Предлагаем вычислять объем и площадь поверхности всех эритроцитов в единице объема крови по формулам:

(18)

где к — коэффициент вариации диаметра эритроцитов.

Будем для простоты считать, что все эритроциты геометрически подобны друг другу. В этом случае объем и площадь поверхности конкретного эритроцита можно вычислять по формулам:

(19)

Учитывая, что распределение эритроцитов по диаметрам соответствует нормальному закону

(23)

можно придти к довольно простым формулам для вычисления площади поверхности и объема всех эритроцитов в единице объема крови

Площадь поверхности всех эритроцитов в единице объема крови можно рассчитать по формуле, которая учитывает распределение эритроцитов по размеру диаметров

(24)

Так как- это площадь поверхности всех эритроцитов, вычисляемая по стандартной методике, а отношение среднего квадратического отклонения к среднему диаметру есть коэффициент вариации (к), то окончательная формула для вычисления площади поверхности всех эритроцитов в единице объема будет выглядеть так:

(25)

Для вычисления объема всех эритроцитов необходимо воспользоваться следующей формулой

(26)

Так как- это объем всех эритроцитов, вычисляемый по стандартной

методике, а отношение среднего квадратического отклонения к среднему диаметру есть коэффициент вариации (к), то окончательная формула для вычисления объема всех эритроцитов в единице объема будет выглядеть так:

(27)

Следовательно, анизоцитоз в определенной степени увеличивает объем и площадь поверхности всех эритроцитов в единице объема крови и таким образом при анемии его можно рассматривать как один из компенсаторных механизмов, позволяющих поддерживать перенос кислорода на достаточном уровне.

Таким образом, предлагаемая методика аппроксимации центрального сечения эритроцита человека позволяет получить достаточно точные формулы для вычисления площади поверхности и объема эритроцита со средним диаметром, а формулы (8) и (9) позволяют вычислить площадь поверхности и объем всех эритроцитов в единице объема крови с учетом коэффициента вариации диаметра эритроцита и числа эритроцитов в единице объема крови. Всё это имеет важное значение при исследовании физиологии крови и при проведении лечебных мероприятий при различных болезнях красной крови.

Обращает на себя внимание, что максимальная толщина эритроцита располагается от центра эритроцита на расстоянии примерно 2/3 радиуса эритроцита, т.е. отношение близко к числу 0.618. Не исключено, что в форма эритроцита человека таким образом реализовано «золотое сечение».

Литература:

1. Чижевский А.Л. Структурный анализ движущейся крови. М., 1959.