Статья посвящена исследованию нелегкого для понимания текста из диалога «Тимей» древнегреческого философа Платона (428-347 гг. до н.э.). Под словом «код» подразумевается условная запись, оборот речи или знак, которые могут быть истолкованы как золотая пропорция.

Когда я решил написать обзор по истории золотой пропорции, то наивно полагал, что на этом пути проблем не будет, достаточно только кратко изложить содержание опубликованных работ. Однако углубление в эту тему и восприятие математики в её историческом развитии неожиданно привели к любопытному выводу: многие утверждения о знании древними математиками золотой пропорции ничем не подкрепляются, а некоторые точки зрения представляются абсолютно неприемлемыми. И вполне закономерно возник вопрос: стоит ли продолжать заниматься золотой пропорцией с балластом неисчислимых комментаторских наносов или же попытаться хотя бы частично разгрузить ее от подобных напластований?

Я выбрал второй путь, отдавая отчет в том, что освещение истории золотой пропорции является нелегкой задачей. На этом пути много серьезных проблем и спорных положений. Поэтому в данной работе «не растекаясь мыслию по древу» попытаюсь найти ответ только на основной вопрос: знал ли Платон золотую пропорцию? Это необходимо сделать, чтобы развеять для начала хотя бы один из мифов в истории золотой пропорции, а заодно побудить читателя задуматься над проблемой слепого копирования чужих малоубедительных текстов.

Откуда появилась традиция связывать Платона с золотой пропорцией, будет сказано ниже, а сейчас отмечу, что подобные однотипные утверждения повторяются во множестве работ. Вначале в качестве примера приведу утверждение из книги А.П. Стахова [1, с. 4]:

«Впервые интерес к пропорции, возникающей при делении отрезка в крайнем и среднем отношении, возникает в античной науке (Пифагор, Платон, Евклид). Удивительные математические свойства этой пропорции уже тогда создают вокруг нее ореол таинственности и мистического поклонения».

Спустя 20 лет в позиции автора ничего не изменилось, и основной мотив приведенной цитаты повторяется следующим образом [2, с. 126]:

«Начиная с Пифагора, ученые связывали понятие гармонии с единственной золотой пропорцией

Эти смелые утверждения сами полны мистической таинственности, так как их справедливость не подкрепляется никакими доводами. Чтобы убедиться в их, мягко говоря, надуманности достаточно вспомнить, что изложение арифметики в Древней Греции велось исключительно на языке целых чисел. Подтверждением этому служат слова Аристотеля из «Метафизики»: «Число есть множество, которое может быть измерено единицей». Это воззрение древних на понятие числа почти дословно повторяет Евклид во втором определении VII книги «Начал»: «Число же — множество, составленное из единиц». А если учесть, что древнегреческие математики во времена Пифагора не только не знали десятичных дробей, но и вообще понятие дроби и иррационального числа было для них чуждо [3], то приведенные выше цитаты повисают в воздухе.

Остается только авторам подобных утверждений апеллировать к делению отрезка в среднем и крайнем отношении, которое впервые в истории математики появляется во второй книге «Начал» Евклида, жившего спустя 250 лет после Пифагора. Но и здесь любой вдумчивый исследователь увидит, что, выполняя деление отрезка в среднем и крайнем отношении, Евклид совершенно не апеллирует к пропорциональности, то есть фактически выполняет деление отрезка без понятия пропорции. По сути, в этом предложении Евклид ищет такое деление отрезка, когда площадь квадрата, построенного на большей части отрезка, равна площади прямоугольника со сторонами в виде всего отрезка и его меньшей части. В свете вышеизложенного приходим с неизбежностью к выводу, что от чисто геометрического деления отрезка в среднем и крайнем отношении в очень далеком прошлом до понимания золотой пропорции в ее современном толковании, «дистанция огромного размера».

Приведу еще одну цитату на интересующую нас тему из популярной книги Н. Васютинского [4, с. 5]:

«Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции Пифагора, Платона, Эвклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность ее сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы «скрепила» их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Такая пропорция отвечает гармоническому соединению, она и является золотой».

В этой цитате тоже не все ясно. Непонятно, о каких трудах Пифагора идет речь, если он не оставил после себя ни одной написанной строчки. Что же касается Платона, то здесь автор хоть как-то пытается обосновать свою точку зрения, в отличие от бездоказательных утверждений А.П. Стахова. Правда, избранный при этом Н.А. Васютинским путь интерпретации хорошо известного историкам науки отрывка из диалога Платона не подтверждается при его внимательном прочтении и поэтому вызывает, мягко говоря, только недоумение.

Другую точку зрения на текст Платона демонстрирует архитектор И. Шевелёв, который в книгах [5, с. 78; 6, с. 38] пишет соответственно:

« …понятие пропорции имеет общий и широкий смысл и отождествлять с пропорцией по Платону золотое сечение нет ни малейшего основания».

«Данное Платоном определение пропорции как «прекраснейшей из связей», которая и связуемое, и самое себя делала бы именно одним, «когда из трех каких-либо чисел… среднее относится к последнему так же, как первое к нему самому», нельзя считать определением золотого сечения, как это многие делали весьма произвольно. Для Платона среднепропорциональное — это среднее двух крайних каких-либо чисел».

Как видим, высказываются диаметрально противоположные взгляды. Решение этого противоречия возможно только единственным способом, — обратиться к первоисточнику, так как любой исследователь творчества Платона имеет счастливую возможность апеллировать непосредственно к подлинным текстам этого мудреца. И это необходимо время от времени делать, чтобы увидеть, что было упущено, не понято или не замечено, чего не смогли понять предшествующие интерпретаторы. При этом ключевую фразу первоисточника необходимо всегда брать в контексте, чтобы она была ясной и понятной.

Итак, многие авторы считают, что, уходя в глубину тысячелетий, история впервые сталкивается с золотой пропорцией у Платона в загадочном и трудном для понимания диалоге «Тимей». В этом диалоге он первым всеобъемлюще обсудил происхождение первоначал природы и структуру космоса. Вначале Платон говорит о «рождении Вселенной» [Tim. 29c-d], затем рассматривает как «тот, кто есть высшее благо,… построил Вселенную» [Tim. 30b] и заключает, что «наш космос есть живое существо, наделенное душой и умом» [Tim. 30с]. Потом Платон ставит вопрос о целостности и гармонии космоса.

Сторонники увязывать золотую пропорцию с древнегреческим философом обычно опираются на следующий текст, который привожу в переводе С.С. Аверинцева [7] полностью, поскольку он очень важен для усвоения идеи Платона:

«Итак, телесным, а потому видимым и осязаемым — вот каким надлежало быть тому, что рождалось. Однако видимым ничто не может стать без участия огня, а осязаемым — без чего-то твердого, твердым же ничто не может стать без земли. По этой причине бог, приступая к составлению тела Вселенной, сотворил его из огня и земли. Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция, ибо, когда из трех чисел — как кубических, так и квадратных — при любом среднем числе первое так относится к среднему, как среднее к последнему, и соответственно последнее к среднему, как среднее к первому, тогда при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места выяснится, что отношение необходимо остается прежним, а коль скоро это так, значит, все эти числа образуют между собой единство» [Tim. 31с-32а].

В этом отрывке продолжается разговор о теле Вселенной, которое Бог сотворил по Платону из огня и земли. Затем, следуя пифагорейской концепции космологической доктрины, Платон развивает учение о гармонии «живого космоса» и подчиняет его телесное наполнение математической пропорциональности. Он утверждает, что огонь и земля «сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего», между ними должна быть «некая объединяющая их связь». Как же Платон устанавливает эту объединяющую связь?

Чтобы разобраться в этом сделаем несколько предварительных замечаний, так как дальнейшее чтение текста поначалу отпугивает своей громоздкостью. Но это только первое впечатление, так как после раскрытия некоторых исторических моментов и перевода текста на современный математический язык, возникает даже необходимость воздать должное искусству Платона за краткое и ясное изложение глубокой философской идеи. Правда на пути исторической реконструкции логики Платона вначале возникает очевидная трудность, связанная с переводом философского текста на современный язык, который отстоит от языка оригинала на тысячи лет. При переводах возможны искажения и безвозвратные потери, однако методика переводов постоянно совершенствуется и в случае хорошего перевода читатель может достаточно полно воспринять идеи и образы автора. Переводы выполняют свою основную функцию, — они дают возможность получить более или менее достаточную информацию о произведении тем людям, которые не знают языка оригинала. Именно различные, а, возможно, и неудачные переводы диалога «Тимей» Платона могли породить разночтения и привести к установлению неправильного представления, будто в тексте содержится идея золотой пропорции.

Для целей настоящей работы использовались переводы авторитетных ученых, филолога С.С. Аверинцева и философа А.Ф. Лосева. Перевод последнего будет представлен ниже, а сейчас возвратимся к приведенному выше тексту Платона.

У великого Платона много специфических оборотов речи. Самым неясным в рассуждении о «прекраснейшей» из связей является в оригинале греческое слово « («analogia»), которое впервые перевел Цицерон как «proportio». Платоновская «аналогия» — это по существу «пропорция», равенство двух отношений. По свидетельству античного философа-неоплатоника Ямвлиха [8, с. 336], слово употреблялось древними греками, как правило, только для геометрической пропорции.

С помощью геометрической пропорции ранние пифагорейцы решали задачу о включении между двумя заданными величинами (числами или отрезками) p и q третьей величины х, так чтобы р относилось к х так же, как х к q:

p: x = x: q.

Величина х получила название среднего («внутреннего») члена пропорции или «среднего геометрического» величин p и q. Величины p и q получили соответственно название первого и последнего (или «внешних») членов пропорции.

Согласно общему правилу пропорций произведение «внутренних» членов равняется произведению «внешних» членов, или квадрат х равняется произведению pq:

.

Позднее правило равенства произведения «внутренних» членов пропорции произведению «внешних» членов пропорции было представлено в виде теоремы в труде Евклида «Начала», где оно доказывалось не только для отрезков (предложение 16 книги VI), но и для целых чисел (предложение 19 книги VII).

Древние греки во времена Платона приведенную формулу трактовали геометрически как «квадратуру прямоугольника»: величина х является стороной квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами p и q. Если, например, p = 2, q = 8, то = 16, х = 4 и прямоугольнику 2х8 соответствует квадрат со стороной 4. Если же p = 2, q = 3, то = 6. В этом случае х является тем, что мы называем . Но у греков не было такого числа, они его не придумали (точнее не открыли). Оно существовало для них только геометрически.

Известный историк математики М.Я. Выгодский [3, с. 189] по этому поводу замечает:

«Греки изгоняли арифметическую трактовку из геометрии не потому, что они не умели мыслить арифметически, а потому, что они хотели достичь логической безупречности. Всякий прямоугольник они могли логически безупречно преобразовать в квадрат; но произведение чисел 2 и 3 они не могли логически безупречно представить в виде квадрата числа: они не хотели и не могли считать за число».

Платон неоднократно подчеркивал особый статус математики как чисто логической дисциплины, развивающейся по своим внутренним законам, и знал математику на уровне новейших достижений своего времени, понимал её сущность с редкой глубиной и ясностью. Он считал, что глубокие и трудные философские истины можно сообщать математическими средствами. Это отражало стандартное, символическое для того времени отношение древних греков к числу.

Вновь вчитываясь в текст Платона, приходим к выводу, что древнегреческий философ для обоснования своих взглядов ясно сформулировал идею геометрической пропорции. Действительно, пусть y, x, a — возрастающая последовательность чисел. Связь этих чисел будет «прекраснейшей», если

x: a = y: x,

или, «при перемещении средних чисел на первое и последнее место, а последнего и первого, напротив, на средние места», эта «прекраснейшая» связь может быть представлена в тождественном виде

a: x = x: y.

В обоих случаях «все эти числа образуют между собой единство». Представленное Платоном обратное преобразование пропорции для нас тривиально. Но если возвратиться в далекую Древнюю Грецию, то попадем в другое положение, — это утверждение не было столь очевидным, и его пытались обосновать или оправдать тем или иным способом. Впоследствии факт законности операции «обращения» пропорции был зафиксирован Евклидом как «перевернутое отношение» в определении 13 книги V «Начал».

А теперь прочтем приведенный выше отрывок из «Тимея» в переводе А.Ф. Лосева [9, с. 254].

«Двух тел самих по себе нельзя как следует связать воедино без третьего, потому что для этого в середине между ними обоими непременно должна быть какая-нибудь связь, которая бы их соединила. Из связей же самой лучшей, конечно, могла быть та, которая образовала бы наиболее цельное единство из себя и соединяемых. Но лучше всего способна сделать это пропорция (analogia), потому что, когда между тремя какими бы то ни было величинами, — между числами пи, массами ли или силами — средняя так относится к последней, как первая относится к ней самой и как последняя относится к средней, так точно середина относится к первой, тогда выходит, что средняя становится и первою и последнею, а первая и последняя обе становятся средними, — словом, что всякая из них необходимо представляет собою то же самое, что и всякая другая, и что они, будучи одним и тем же в отношении друг к другу, все вместе составляют собою единое целое».

Оба перевода хотя и допускают различную интерпретацию некоторых моментов и разнятся в деталях, но в целом не оставляют сомнений в том, что в исходном тексте нет и намека на золотую пропорцию.

Заканчивая анализ рассматриваемого текста нельзя оставить в тени упомянутый Платоном вопрос о кубически и квадратных числах. В школе Пифагора все числа натурального ряда подвергались определенной классификации, которая носила или геометрические соображения, или отвлеченно-мистический характер. «Квадратными» и «кубическими» назывались числа, разлагающиеся соответственно на два и три равных множителя. В современной символике это числа вида и . По мере развития теории пропорций выяснилось, что если в геометрической пропорции числа p и q имеют отношение (n+1):n, то вставить среднее пропорциональное х нельзя. Если же числа p и q «квадратные», то есть p = , q =, то между ними можно вставить одно среднее пропорциональное ab, так что тремя последовательными пропорциональными числами будут , ab, . Если числа p и q «кубические», то между ними можно вставить уже два средних пропорциональных числа и тогда четыре числа , b, a, будут находиться в непрерывной пропорции:

В античной науке числа всегда мыслились в связи с геометрическими образами. Поэтому числа а2 и а3 имели конкретный смысл: — площадь квадрата («плоскостная» величина), — объем куба («телесная» величина). Такое понимание чисел восходит к раннему периоду развития греческой математики, когда произведение числа а предметов на абстрактное число b мыслилось как заполнение площади прямоугольника b рядами по а предметов в каждом. Поэтому «плоскостными» были и числа вида ab, а «телесными» — вида b, a и abc.

Сделанные пояснения относительно «квадратных» («плоскостных») и «кубических» («телесных») чисел позволяют более четко понять смысл обоих переводов, в которых имеются слова «итак, телесным, а потому видимым и осязаемым…», «…как кубических, так и квадратных…», «…между числами ли, массами ли или силами…». Помимо этого сделанные пояснения позволяют глубже понять последующий текст Платона, о котором речь пойдет ниже после небольшого вступления.

В XV-XVI вв. в Западной Европе произошло очередное возрождение мировоззренческих и религиозных идей античности, которое характеризовалось резким повышением популярности идей пифагорейско-платонической системы. Получила популярность и была поддержана идея о том, что математика — это и прообраз физического мира, и истинное знание. В это время «с легкой руки Луки Пачоли считалось, что под х и y Платон понимал части целого а, т.е. что х + y = а, и поэтому Платон говорил о золотой пропорции а: х = х: (а — х). Отсюда пошло мнение, что античные пропорции основаны на золотом сечении» [10, с. 209].

К сожалению, математик эпохи Возрождения Л. Пачоли высказал предположение, имевшее мало общего с истинными взглядами Платона и породившее в дальнейшем ложные представления. Платон привлекает «аналогию» не для абстрактных математических рассуждений, а для характеристики взаимоотношений первичных элементов материи, «четырех начал» — огня, воздуха, воды и земли. Предшественники Платона отдавали предпочтение то одной, то другой стихии. Стоит только вспомнить крылатые слова первых натурфилософов Древней Греции: все есть вода, все есть воздух, или все есть огонь. Вслед за этим античные мыслители предприняли попытку построить универсальную модель, нашедшую свое воплощение в знаменитом изречении пифагорейцев: «числу же все подобно».

Платон же пошел дальше всех и завершил двухсотлетнюю пифагорейскую традицию в учении о числах и их космическом значении. Он представил материю как пропорциональное целое, в котором каждая составляющая стихия стоит в определенном отношении к другой стихии. Именно при таком рассмотрении геометрическая пропорция приобретает свой подлинно пифагорейский смысл.

Если читать диалог Платона далее, то этот вывод становится неоспоримым. Поэтому здесь уместно привести продолжение цитаты из диалога «Тимей», завершающее мысль Платона [7]:

«При этом если бы телу Вселенной надлежало стать простой плоскостью без глубины, было бы достаточно одного среднего члена для сопряжения его самого с крайними. Однако оно должно было стать трехмерным, а трехмерные предметы никогда не сопрягаются через один средний член, но всегда через два. Поэтому бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху, и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построяя из них небо, видимое и осязаемое.

При этом каждая из четырех частей вошла в состав космоса целиком: устроитель составил его из всего огня, из всей воды, и воздуха, и земли, не оставив за пределами космоса ни единой их части или силы» [Tim. 32b-32d].

В приведенном фрагменте диалога рассматривается образование мирового тела на основе учения о пропорциях четырех основных тел, — огня, земли, воздуха и воды. Следовательно, если учитывать весь контекст «Тимея», то в нем ясно сформулирован гармонично устроенный космос, определяемый по Платону геометрической пропорцией

Для Платона было важно найти принцип устройства мира, и он обнаружил его в геометрической пропорции, из которой следовала возможность любому фрагменту реального мира «общаться» с любым другим фрагментом.

Золотая пропорция — это пропорция двух величин. Платон же говорит о четырех величинах, «построяя из них небо». Они, сопрягаясь, образуют пропорцию и не подвержены ни делению, ни объединению. Поэтому они никак не могут образовать золотую пропорцию. Чтобы закрепить эту мысль, читаем Платона еще раз: «…из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса», «…каждая из четырех частей вошла в состав космоса целиком», «…составил его из всего огня, из всей воды, и воздуха, и земли».

Использование Платоном в своих рассуждениях только геометрической пропорции подтверждается дальнейшим прочтением диалога, где рассматриваются непрерывные геометрические пропорции 1:2:4:8 и 1:3:9:27. К сожалению, за неимением места оставлю эти пропорции без детализации и комментариев. Замечу только, что учение о гармонии космоса было настолько хорошо развито Платоном, что оно навсегда вошло в сокровищницу мировой мысли.

Самым важным для нас итогом проведенного рассмотрения является обнаружение того факта, что отчетливой и сознательно проводимой теории золотой пропорции у Платона нет. Да она и никак не вписывается в одушевленный платоновский космос с его гармонией и красотой.

Литература:

1. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. — М.: Радио и связь, 1984.
2. Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды Фибоначчи. — СПб.: Питер, 2006.
3. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
4. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990.
5. Шевелёв И.Ш. Принцип пропорции. — М.: Стройиздат, 1986.
6. Шевелёв И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение. — М.: Стройиздат, 1990.
7. Платон Собр. сочинений в 4 т. Т. 3. — М.: Мысль, 1994.
8. Начала Евклида. Книги VII-X. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.
9. Лосев А.Ф. История античной эстетики. Ранняя классика. Т. 1. — М.: Ладомир, 1994.
10. Волошинов А.В. Математика и искусство. — М.: Просвещение, 2000.