Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Дискуссии - Наука

Сокол-Кутыловский О.Л.
О силах гравитационного взаимодействия
Oб авторе

Если спросить любого студента или профессора физического или механико-математического факультетов любого университета о силах гравитационного взаимодействия, казалось бы, самого изученного из всех известных силовых взаимодействий, то все, что они смогут, – это написать формулы для силы Ньютона и для центробежной силы, что-то припомнят о непонятной силе Кориолиса и о существовании неких таинственных гироскопических сил. И все это притом, что все гравитационные силы можно получить из общих принципов классической физики.


1. Что известно о гравитационных силах

1.1. Известно, что сила, возникающая между телами в гравитационном взаимодействии, прямо пропорционально массе этих тел и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (закон всемирного тяготения или закон Ньютона):
, (1)

где G» 6.6720Ч 10-11 НЧ м2Ч кг-2 - гравитационная постоянная, m, M - массы взаимодействующих тел и r - кратчайшее расстояние между центрами масс взаимодействующих тел. Полагая, что тело массой М на расстоянии r создает гравитационное поле ускорений, направленное к его центру масс,

,

силу (1), действующую на тело массой m, представляют также в виде:
. (2)

1.2. Сила Ньютона (2) действует всегда (и в статике, и в динамике). При изменении состояния движения материальных тел возникают силы динамического гравитационного взаимодействия, осуществляемые посредством линейного и углового ускорений тела. Согласно современной теоретической физике, полная сила, действующая на центр масс материального тела, имеет вид [1, 2]:
(3)

где w – угловая скорость вращения тела вокруг оси, не проходящей через центр масс тела, v – скорость прямолинейного движения тела и r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения с частицей или с центром масс вращающегося тела. Первое слагаемое соответствует гравитационной силе тяготения (1), второе слагаемое в формуле (3) называют силой Кориолиса, а третье слагаемое – центробежной силой. Сила Кориолиса и центробежная сила считаются фиктивными, зависящими от системы отсчета [1, 2], что абсолютно не соответствует опыту и элементарному здравому смыслу. Как можно считать силу фиктивной, если она может совершать реальную работу? Очевидно, что фиктивными являются не эти физические силы, а имеющиеся в настоящее время знания и представления об этих силах.

Происхождение численного коэффициента «2» в силе Кориолиса сомнительно, так как этот коэффициент получен для случая, когда мгновенная скорость точек тела во вращающейся системе отсчета совпадает со скоростью движущегося тела или направлена против нее, то есть при радиальном направлении силы Кориолиса [2]. Второй случай, когда скорость тела ортогональна мгновенной скорости точек вращающейся системы отсчета, в [2] не рассмотрен. По методу, изложенному в [2], величина силы Кориолиса во втором случае оказывается равной нулю, в то время как при заданных угловой и линейной скоростях она должна быть одинакова.

1.3. Угловая скорость является аксиальным вектором, то есть характеризуется некоторой величиной и направлена вдоль единственной выделенной оси. Знак направления угловой скорости определяется по правилу правого винта. Угловую скорость вращения определяют, как изменение угла поворота в единицу времени, ω(t)= φ/ t. В этом определении φ(t) – периодическая функция времени с периодом 2π радиан. В то же время угловая скорость является обратной функцией времени. Это следует, в частности, из ее размерности. По этим причинам производная угловой скорости по времени: ω/ t=-ω2. Производная угловой скорости по времени соответствует аксиальному вектору углового ускорения. Согласно условному определению, данному в физическом энциклопедическом словаре, аксиальный вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения, причем в ту же сторону, что и угловая скорость, если вращение ускоренное, и против угловой скорости, если вращение замедленное.


2. Гравитационные силы, действующие на центр масс тела

Гравитационные и механические силы различаются между собой по характеру взаимодействия: при «контактном» взаимодействии тел возникают механические силы, а при дистанционном гравитационном взаимодействии тел - гравитационные силы.

2.1. Определим все гравитационные силы, действующие на центр масс материального тела. Вращение тела вокруг собственной оси, проходящей через его центр масс, рассматривать пока не будем. Из общих принципов механики известно, что сила возникает при изменении мгновенного импульса тела. Поступим подобным образом как при определении сил, связанных с прямолинейным движением тела, так и при определении сил, связанных с его вращением относительно внешней оси:
, (4)

где v – мгновенная скорость прямолинейного движения тела, vω – мгновенная скорость вращающегося тела. Так как vω=-r ґ ω (Рис. 1), уравнение (4) можно представить в следующем виде:
(5)

или в развернутом виде:
. (6)

В третьем слагаемом уравнения (6) аксиальный вектор угловой скорости, ω, может быть направлен лишь вдоль оси вращения и изменяется только по величине, поэтому dω/dt= ω/ t, а во втором слагаемом радиальный вектор r может изменяться как по величине, так и по направлению:
, (7)

где r=r·[cos(ωt)· x + sin(ωt)·y], x и y – единичные векторы в направлении соответствующих осей координат, r – модуль радиального вектора r, r1=r/r – единичный вектор в направлении радиального вектора r, t – время, а ось координат z совпадает с осью вращения. Величина производной единичного вектора r1 по времени, r1/ t=ω·r1^, где r1^ – единичный вектор, лежащий в плоскости вращения и ортогональный радиальному вектору r (Рис. 1).

Принимая во внимание возможные изменения радиального вектора, в соответствии с уравнением (7), формула (6) приобретает вид [3]:
. (8)



Рис. 1. Взаимное расположение радиального вектора r, угловой скоростиω и мгновенной скоростиvm тела массой m, в системе координат (x, y, z) с осью вращения, направленной по оси z. Единичный вектор r1=r/r ортогонален единичному вектору r1^.


2.2. Все силы, входящие в уравнение (8), равноправны и складываются по правилу сложения векторов. Сумму сил (8) можно представить в виде четырех слагаемых:

FG=Fa+ Fω1+ Fω2+F ω3.

Сила Fа возникает при прямолинейном ускоренном движении тела или при гравитационном статическом взаимодействии тела с другим телом. Сила Fω1 соответствует силе Кориолиса для случая, когда материальное тело движется во вращающейся системе в радиальном направлении (по радиусу вращения). Эта сила направлена в сторону мгновенной скорости тела или против нее. Сила Fω2 – это сила, действующая на любую точку вращающегося тела. Ее называют центробежной силой, но эту же силу называют силой Кориолиса, если тело во вращающейся системе перемещается по направлению мгновенной скорости, не изменяя величину радиуса вращения. Сила Fω2 всегда направлена радиально. Учитывая равенство r1/ t=ω·r1^, и направление результирующего вектора в векторном произведении, получаем, что при вращении каждой точки тела с угловой скоростью ω на нее действует сила Fω2=m·ω 2·r, что совпадает с центробежной силой в формуле (3).

Сила Fω3 – это сила инерции вращательного движения [3]. Сила инерции вращательного движения возникает при изменении угловой скорости вращающейся системы и связанных с нею тел и направлена по вектору мгновенной скорости тела при dw /dt<0 и против вектора мгновенной скорости тела при dw /dt>0. Она возникает только при переходных процессах, а при равномерном вращении тела эта сила отсутствует. Направление гравитационной силы инерции вращательного движения
(9)

показано на Рис. 2. Здесь r – радиальный вектор, соединяющий по кратчайшему пути ось вращения с центром масс вращающегося тела, ω – аксиальный вектор угловой скорости.


Рис. 2. Направление гравитационной силы инерции вращательного движения, Fω3, при перемещении тела из точки 1 к точке 2 при dw /dt<0; r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения с центром масс движущегося тела; FT – сила притяжения или сила натяжения каната. Центробежная сила не показана.


Векторная сумма сил Fω1 и Fω2 создает результирующую силу (силу Кориолиса FK) при движении тела в произвольном направлении во вращающейся системе:
, (10)

где v – вектор скорости тела, движущегося во вращающейся системе. Из уравнения (10) следует, что числового коэффициента «2» в силе Кориолиса нет и быть не может.

Сумма гравитационных сил, действующих на центр масс твердого тела, принимает следующий вид [3]:
. (11)

3. Гравитационные и механические силы, возникающие при повороте оси вращения тела

Чтобы определить все гравитационные силы, действующие не только на центр масс, но и на любую другую точку материального тела, в том числе возникающие при повороте оси вращения этого тела вокруг другой оси, необходимо вернуться к формуле (5).

Общая формула для всех гравитационных и механических сил, полученная ранее, остается в силе, но до сих пор все полученные силы считались приложенными к центру масс тела. Влияние поворота собственной оси вращения на отдельные точки тела, не совпадающие с центром масс, не принималось во внимание. Тем не менее, полученная ранее из общих принципов механики формула (5) содержит в себе все силы, действующие на любую точку вращающегося тела, в том числе силы, возникающие при пространственном повороте собственной оси вращения этого тела. Поэтому из формулы (5) можно вывести в явном виде уравнение для силы, действующей на произвольную точку вращающегося материального тела при повороте его собственной оси вращения на некоторый угол в пространстве. Для этого представим уравнение (5) в следующем виде:
(12)
,

где Ѕ rґ w Ѕ – модуль вектора rґ w, а (rґ w)1 – единичный вектор, направленный по вектору rґ w. Как было показано, производная по времени от вектора rґ w при изменении величины этого вектора дает гравитационные и механические силы вращения, из которых получаются центробежная сила, сила Кориолиса и сила инерции вращательного движения:
, (13)

где m – масса тела, r1 – единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором r, а кратко – в виде равенства Fω=F ω1+ Fω2+ Fω3.

Из формулы (12), с учетом формулы (13), следует, что полная сумма всех гравитационных сил состоит из пяти составляющих [3]:
, (14)

где пятое слагаемое – это и есть сила, а точнее, – это множество сил, возникающих при пространственном повороте оси вращения тела во всех точках этого тела, причем сила, возникающая в каждой точке, зависит от расположения этой точки. В краткой записи полную сумму всех гравитационных сил удобно представить в виде:
, (15)

где Fa – сила Ньютона с гравитационным вектором ускорения a, Fw 1Fw 3 – силы вращательного движения с гравитационным вектором угловой скорости w и е Fw W i – множество сил, возникающих при повороте оси вращения тела во всех n точках, на которые равномерно разбито тело.

Представим пятое слагаемое в развернутом виде. По определению радиальный вектор r ортогонален вектору угловой скорости w, поэтому модуль вектора rґ w равен произведению модулей составляющих его векторов:

.

Производная по времени от единичного вектора (rґ w)1 при изменении его по направлению на угол j дает другой единичный вектор, r 1, расположенный параллельно плоскости поворота S (x, z) и ортогональный вектору rґ w (Рис. 3). Причем у него в качестве сомножителя появляется коэффициент, численно равный производной по времени от угла поворота, W = j / t:
. (16)

Поскольку при повороте оси вращения движение точек материального тела является трехмерным, а поворот оси происходит в некоторой плоскости S (x, z), то модуль единичного вектора относительно плоскости поворота не постоянен, и при вращении изменяется в пределах от нуля до единицы. Поэтому при дифференцировании такого единичного вектора должна учитываться его величина относительно плоскости, в которой происходит поворот этого единичного вектора. Длиной единичного вектора (rґ w)1 относительно плоскости поворота S (x, z) является проекция этого единичного вектора на плоскость поворота. Производная единичного вектора (rґ w)1 в плоскости поворота S (x, z) может быть представлена следующим образом:
, (17)

где a – угол между векторомrґ w и плоскостью поворота S (x, z).

Сила, действующая на любую точку вращающегося тела при повороте его оси вращения, приложена не к центру масс этого тела, а непосредственно к каждой данной точке. Поэтому тело необходимо разбить на множество точек, и считать, что каждая такая точка имеет массу mi. Под массой данной точки тела, mi, подразумевается масса, сосредоточенная в малом по отношению ко всему телу объеме Vi так, что:

.

При равномерной плотности тела r масса , а точкой приложения силы является центр масс данного объема Vi, занимаемого частью материального тела массой mi. Сила, действующая на i-тую точку вращающегося тела при повороте его оси вращения, приобретает следующий вид:
, (18)

где mi – масса данной точки тела, ri – кратчайшее расстояние от данной точки (в которой определяется сила) до оси вращения тела, w – угловая скорость вращения тела, W – модуль угловой скорости поворота оси вращения, a – угол между векторомrґ w и плоскостью поворота S (x, z), а r 1 – единичный вектор, направленный параллельно плоскости поворота и ортогональный вектору мгновенной скорости rґ w.


Рис. 3. Направление силы Fw W, возникающей при повороте оси вращения тела в плоскости S (x, z) с угловой скоростью поворота W. В точке а с радиус-вектором, исходящим из точки с оси вращения, сила Fw W =0; в точке b с радиус-вектором, исходящим из центра тела, сила Fw W имеет максимальную величину.


Сумма всех сил (18), действующих на все n точек, на которые равномерно разбито тело,
(19)

создает момент сил, поворачивающих тело в плоскости Y (y, z), ортогональной плоскости поворота S (x, z) (Рис. 4).

Из опытов с вращающимися телами само наличие сил (19) известно, но они не была четко определены. В частности, в теории гироскопа силы, действующие на опоры подшипников гироскопа, названы «гироскопическими» силами, но происхождение этих физических сил не раскрывается. В гироскопе при повороте его оси вращения на каждую его точку тела действует сила (18), полученная здесь из общих принципов классической физики и выраженная количественно в виде конкретного уравнения.

Из свойства симметрии следует, что каждой точке тела соответствует другая точка, расположенная симметрично относительно оси вращения, в которой действует такая же по величине, но имеющая противоположное направление, сила (18). Совместное действие таких симметричных пар сил при повороте оси вращающегося тела создает момент сил, поворачивающий это тело в третьей плоскости Y (y, z), которая ортогональна плоскости поворота S (x, z) и плоскостям L (x, y), в которых происходит вращение точек тела:
. (20)


Рис. 4. Возникновение момента сил под действием пар сил в точках тела, расположенных симметрично относительно центра масс. 1 и 2 – две симметричные точки вращающегося с угловой скоростью w тела, в которых, при повороте оси вращения тела с угловой скоростью W, возникают равные по величине силы Fw W 1 и Fw W 2, соответственно.


При этом для единичных векторов угловых скоростей, характеризующих их направление, в любой из точек тела, не совпадающих с центром симметрии (центром масс), выполняется векторное тождество:
, (21)

где Q 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости, возникающей в момент действия силы (18), w 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости вращения тела и W 1 – единичный аксиальный вектор угловой скорости поворота оси вращения (Рис. 2). Так как ось поворота, совпадающая с вектором угловой скорости поворота W, всегда ортогональна оси вращения, совпадающей с вектором угловой скорости вращения тела, w, то вектор угловой скорости Q всегда ортогонален векторам w и W: .

При помощи поворота системы координат в пространстве задачу нахождения силы (18) всегда можно свести к случаю, аналогичному рассмотренному на Рис. 3. Могут измениться только направление аксиального вектора угловой скорости w и направление аксиального вектора скорости поворота оси вращения, W,и, как следствие их изменения, может измениться на противоположное направление силы Fw W.

Взаимосвязь абсолютных величин угловых скоростей при свободном вращении тела по трем взаимно ортогональным осям можно найти, применив закон сохранения энергии вращательного движения. В простейшем случае для однородного тела массой m в форме шара с радиусом r имеем:

,

откуда получаем:

.

4. Полная сумма первичных гравитационных и механических сил, действующих на тело

4.1. Принимая во внимание силы (19), возникающие при повороте оси вращения тела, полное уравнение для суммы всех гравитационных сил, действующих на любую точку материального тела, участвующего в прямолинейном и вращательном движении, в том числе с пространственным поворотом собственной оси вращения, имеет следующий вид [3]:
(22)

где a – вектор прямолинейного ускорения тела массой m, r – радиальный вектор, соединяющий ось вращения тела с точкой приложения силы, r – модуль радиального вектораr,r1 – единичный вектор, совпадающий по направлению с радиус-вектором r, w – угловая скорость вращения тела, Ѕ rґ w Ѕ – модуль вектора мгновенной скорости rґ w, (rґ w)1 – единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором rґ w, r1^ – единичный вектор, расположенный в плоскости вращения и ортогональный вектору r1, W – модуль угловой скорости поворота оси вращения, r 1 – единичный вектор, направленный параллельно плоскости поворота и ортогональный вектору мгновенной скорости rґ w, a – угол между вектором rґ w и плоскостью поворота, mi – масса i-той точки тела, сосредоточенная в малом объеме тела Vi, центр которого является точкой приложения силы, и n – число точек, на которые разбито тело. В формуле (22) для второй, третьей и четвертой сил знак может быть взят положительным, так как эти силы в общей формуле находятся под знаком абсолютной величины. Знаки сил определяются с учетом направления каждой конкретной силы. С помощью сил, входящих в формулу (22), можно описать механическое движение любой точки материального тела при его движении по произвольной траектории, включая пространственный поворот его оси вращения.

4.2. Итак, в гравитационном взаимодействии имеется всего пять различных физических сил, действующих на центр масс и на каждую из точек материального тела при поступательном и вращательном движении этого тела, и только одна из этих сил (сила Ньютона) может действовать на неподвижное тело со стороны другого тела. Знание всех сил гравитационного взаимодействия позволяет понять причину устойчивости динамических механических систем (например, планетарных), а с учетом электромагнитных сил – объяснить устойчивость атома.


Литература:

1. Ландау Л. Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е. М. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. — М.: Наука, 1969.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. 3-е изд., испр. — М.: Наука, 1987.

3. Сокол-Кутыловский О.Л. Гравитационные и электромагнитные силы. Екатеринбург, 2005 г.


Сокол-Кутыловский О.Л., О силах гравитационного взаимодействия // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13569, 18.07.2006

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru