В своих публикациях А.П.Стахов часто повторяет: «Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному – «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом», «золотой серединой» [1]. Но он открыл [2] множество «золотых p-пропорций» и условно вычислил на отрезке АВ множество соответствующих «золотых p-сечений» и тем самим, как бы отрекся от выше приведенного своего же утверждения. Какие же новые идеи и знания привнес в науку мой оппонент, А.П.Стахов? Делая обзор, привнесенных мной в науку новых знаний, мне необходимо сравнивать их с новыми знаниями оппонента.

НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ» В СОЧИНЕНИЯХ А.П.СТАХОВА

1. Я полностью разделяю предположение А.П.Стахова [3]: «..., что Золотое Сечение является некоторым «метафизическим знанием», «проточислом», «универсальным кодом Природы», который может стать основой для дальнейшего развития науки, в частности, математики, теоретической физики, генетики, компьютерной науки».

2. В текстах моих оппонентов и в Математической энциклопедии, не проводится четкое различие между понятиями «золотое сечение» и «золотая пропорция». Не учитывается, что разные названия, исследуемых математических объектов, всегда свидетельствуют об их разной метрической сущности. В этой связи я формулирую следующие понятия.

«Золотая пропорция» есть числовая мера количественных отношений между целым и его частями. То есть «золотая пропорция» – арифметическая сущность.

«Золотое сечение» есть геометрическая мера деления пространственной структуры (отрезка линии, площади, поверхности, объема), как единого целого, на две, гармонично соотносящиеся между собой и целым, асимметричные части. То есть «золотое сечение» – геометрическая сущность. При этом, если целое арифметически принимается за «1» (в геоцентрической системе отсчета), то «золотое сечение» имеет вид арифметического тождества: 1 = 0,6180339... + 0,3819661...

Если за целое арифметически принимается изначально единство (сумма)пары тождественных противоположностей 1 + 1 = 2 (в гелиоцентрической системе отсчета и в числовом ряде Фибоначчи), то мера «золотого сечения» имеет вид арифметического тождества: 2 = 1,6180339... + 0,3819661...

3. Еще раз повторюсь. Проделав определенные алгебраические преобразования отношений между соседними числами ряда Фибоначчи, А.П.Стахов алгебраически вывел уравнение

xp+1 = xp + 1

(3)

бесконечного множества «золотых p-пропорций» для чисел Фибоначчи. Он условно «построил» отрезки «золотых p-сечений» (p = 0, 1, 2, 3,...):

Алгебраическое выражение (3) принимает вид тождества, в форме записи:

t р+1 = t р + 1.

(4)

для приведенных ниже числовых значений t.

А t из какого уравнения вычисляются?

4. А.П.Стахов описывает геометрическое построение «золотого сечения» с использованием линейки и циркуля, заимствуя его из «Начал Евклида» (Рис.3). Процитируем фрагмент из его сочинения [4]:

«Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами AB = 1 и AC = . Тогда в соответствии с «Теоремой Пифагора» сторона CB = . Проведя дугу AD с центром в точке C до пересечения с отрезком CB в точке D, мы получим отрезок BD = CB — CD = .

Рис.3 геометрическое построение золотого сечения

Проведя дугу DB с центром в точке B до ее пересечения с отрезком AB в точке E, мы получим деление отрезка AB в точке E «золотым сечением», поскольку

или AB = 1 = EB + AE = τ^-1 + τ^-2.

Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2 мог послужить основой для открытия «теоремы квадратов», золотой пропорции и, наконец, «несоизмеримых отрезков» — трех великих математических открытий, приписываемых Пифагору».

Заметим, данное геометрическое построение «золотого сечения», традиционно полагаемое как классическое, не подвергалось научному сомнению тысячи лет. Почему? До конца ХХ века не осуществлялся достаточно глубокий триалектический синтез религиозных, философских, научных и эзотерических (сакральных) знаний онтологических НАЧАЛ бытия. Чтобы не отвлекать читателя на философские размышления, скажу коротко. С точки зрения триалектических принципов НАЧАЛ Жизни, возникающей и развивающейся в гелиоцентрической системе бытия космоса, по Платону, данный вариант геометрического построения «золотого сечения» (Рис.3) некорректен.

Почему?

В данном построении мы вновь не находим геометрического отрезка, выражаемого положительным числом гармонии t ≈ 1,6180339... То есть геометрическое построение данного числа отсутствует. Данное утверждение доказывается простой проверкой.

В начальных условиях построения прямоугольного треугольника, указано: АВ =1; АС = 0,5. Следовательно, его гипотенуза

Это число являет собой меру радиуса окружности.

НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ» В СОЧИНЕНИЯХ П.Я.СЕРГИЕНКО

Корректное, подробное и доказательное геометрическое построение чисел «золотого сечения», с помощью циркуля и линейки, я представлю в одном из последующих моих «Обзоров». Ниже я представляю аналогичный прямоугольный треугольник АВС (Рис.4) треугольнику (Рис.3) и «золотое сечение» его площади и гипотенузы в общих чертах. Данный рисунок позволяет провести сравнительный анализ моих знаний и знаний А.П.Стахова об онтологической сущности «золотого сечения» и бесконечного множества не «золотых p-пропорций» для чисел Фибоначчи.

Увеличить >>>

Рассмотрим Рис.4.

8 – точка «золотого сечения» гипотенузы (диаметра) ВС;

5, 0, 6, 7,... – точки не «золотых сечений» гипотенузы (диаметра) ВС.

Внимательный читатель заметил на глаз, что АС ≈ 0,5АВ, а ВС = 2, при условии, что В0 = С0 = R = 1. Почему я написал АС ≈ 0,5АВ, а не написал АС = 0,5АВ? Потому, что в действительности так и есть. Это выявила в своих исследованиях и Марияна Булева [5]. На Рис.4 А8 – высота треугольника АВС (проекция точки А), которая рассекает гипотенузу на части:

1,6180339... + 0,3819661... = 2 и рассекает радиус круга на части: 0,6180339... + 0,3819661... = 1. В согласии с данными вычислениями, катет АС ≈ 0,874032, а катет АВ ≈ 1,7989074.

1,7989074 : 2 ≈ 0,8994537; 0,874032 х 2 ≈ 1,748064; АВ – АС ≈ 1,7989074 — 1,748064 ≈ 0,0508434.

Численная разница, как видим, очень малая, но она реально существует и свидетельствует о не достаточной точности НАЧАЛ геометрии Евклида в геометрическом построении «золотого сечения».

Рис.4 убеждает нас, что «сечений» отрезков равных 1 и 2 можно осуществить бесконечное множество и только единственное сечение из бесконечного их множества – «золотое». Остальные все «сечения», в том числе и «золотые p-сечения» А.П.Стахова – не «золотые».

Что являют собой, демонстрируемые выше, построенные отрезки «золотых p-сечений» (p = 0, 1, 2, 3,...) А.П.Стаховым?

Из построения «а)» очевидно, что построение «не «золотых p-сечений» осуществлено на отрезке равном «2». Это очевидно из Рис.4. Когда секущая гипотенузу высота прямоугольного треугольника АВС равна «0», то «сечение» гипотенузы проходит через «нулевую» точку В или С и являет собой предельное число «t = 2». Остальные все значения t < 2.

Когда t = 1, то прямоугольный треугольник является равнобедренным. Каждый его катет равен 1,4142135...

Я могу произвольно взятые, или вычисленные значения t построить геометрически и, базируясь на их значениях вычислить все параметры рассекаемого треугольника и построить его сечение с помощью циркуля и линейки. Вот каким НАЧАЛАМ математики гармонии необходимо учить школьников! Чтобы не быть голословным, привожу вычисленные мной параметры прямоугольных треугольников:

р =3, t ₃ = 1,380. Катеты будут равны 1,6614451 и 1,1137324, а гипотенуза равна 2;

р =4, t ₄ = 1,324. Катеты будут равны 1,6272676 и 1,1627553, а гипотенуза равна 2.

По-моему мнению, истинное знание о «золотом сечении» еще не заканчивается открытиями сакральных знаний, упомянутых в двух моих «Обзорах». «Золотое сечение» имеет прямую связь с «порождающей моделью Жизни», по Платону и с его сакральным предупреждением, о котором упоминает Марияна Булева [5].

«У Платона есть презумпция, что гармония не всегда совершенная. В «Государстве» /VІІІ, «Тимокрация»/ он пишет о «квадратной» и «прямоугольной» /равносторонная и продолговатая/ гармонии, вторая из которых делает не добрые дела...»

О Фибоначчи, его числовом ряде и «задаче» размножения кроликов.

Об этой задаче А.П.Стахов рассказывал своим читателям и студентам много раз. Я повторяться не буду. Хочу только кое-что существенное добавить к сказанному им, и кое в чем высказать свое несогласие.

Действительно, Фибоначчи был выдающимся исследователем конца 12 и начала 13 веков. Следуя, установившейся со времен Пифагора традиции, что ищущий Истину, обязательно должен совершить путешествие и встретиться с философами стран ближнего и среднего Востока, он совершил такое путешествие. В 1202 году, в одной из своих статей, Фибоначчи опубликовал, заимствованный у восточных мудрецов, числовой ряд, который вошел в историю под его именем. Спустя четыре века И.Кеплер обнаружил в отношениях смежных чисел ряда Фибоначчи, числа, присущие числам в отношениях «золотой пропорции».

Онтологическая сущность числового ряда Фибоначчи заключается в том, что он выражает собой количественную гармонию целостности иерархического устройства Вселенной.

В «Триалектике» (1995) данное утверждение сформулировано в форме количественного иерархического принципа мироустройства: «В мире нет такого целого (Ц), которое не являлось бы частью (Ч) другого (большего) Целого»:

Его числовая интерпретация выражена законом сохранения движения «вещественного числа» для целостной замкнутой системы:

где р – любое целое число, а «0,5» — вещественное число (половинная часть любого целого).

В работе 1997 года («Триалектика. Цифровой универсум Творца»), на числах Фибоначчи я построил матрицы, которые аналогичны матрицам Пифагора, построенные им для чисел натурального ряда. Исследовав матрицы, я высказал гипотезу о том, что масштабно структурная иерархия мироустройства космоса проявляется по принципу «золотого сечения».

Знал ли онтологическую сущность числового ряда, заимствованного на Востоке, сам Фибоначчи? Мы не знаем. Но то, что числовой ряд как-то отражает бытие космоса ему, видимо, стало известно.

Объяснение числовой закономерности ряда Фибоначчи, как некого «закона размножения кроликов», думается – какое-то недоразумение. Возможно, что задачу составил сам Фибоначчи, пытаясь как-то популярно объяснить закономерность числовой последовательности, начинающейся из пары равных чисел. Но, ее автор, в начале формулировки «задачи о размножении кроликов» забыл написать: «Предположим, что пара кроликов размножается...».

По-моему, нельзя данную задачу преподносить как истинный закон действительного размножения кроликов, тем самым выставляя себя перед сведущими читателями дилетантом.

Замечу, я лично содержал девять лет приусадебную ферму кроликов, занимался их селекцией и хорошо знаком с их реальным размножением. Их размножение – пример хаоса, нежели какой-то закономерности. Уж если и есть необходимость обращаться к примерам проявления и использования «золотого сечения» в мире бытия живых существ, то необходимо обратить внимание на жизнь пчёл. Это истинно чудесные геометры, использующие меру «золотого сечения» в строительстве своего жилья, в информации о медоносах и ориентации в пространстве. Пчелы отдельные соты и все свое жилище выстраивают, пользуясь единственной строительной формой. Эта форма являет собой строго пятиугольные маленькие, тонюсенькие вощинки. Они выделяются организмом пчел. Пчелы не только носят с собой пластинки, но запасают их, при возможности, впрок, если не занимаются строительством, складируя их в разных свободных местах улья.

Литература:

1. Стахов А.П., Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 3. Что такое «золотое сечение»? 3.1. Понятие гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13116, 21.03.2006.
2. Стахов А.П., Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 3. Что такое «золотое сечение»? 3.10. Обобщение задачи о золотом сечении // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13307, 12.05.2006.
3. Метафизика. Москва, Бином, 2006.
4. Стахов А.П., Под знаком «Золотого Сечения»: Исповедь сына студбатовца. Глава 3. Что такое «золотое сечение»? 3.2. Геометрическое определение «золотого сечения» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13134, 24.03.2006
5. Марияна Булева, Письма-размышления о Гармонии (Письмо 2) // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13383, 02.06.2006