Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Институт Золотого сечения - Философия Гармонии

Сергиенко П.Я.
Сакральные треугольники, окружность, многоугольники их построение и отношения между их параметрами
Oб авторе
Геометрия есть познание всего сущего.
Платон


Я полностью разделяю конструктивные «уточнения» О.Н.Гринбаума [1] к проекту образовательной программы «Математика Гармонии и Золотое Сечение» А.П.Стахова. По опыту знаю, что не только гуманитарии, но так же большинство технарей мыслят «преимущественно не логически, а образно». Особенно это свойственно детскому и юношескому возрасту. Известно также, дети и юноши более увлеченно занимаются геометрическим моделированием и арифметическими расчетами, нежели логикой алгебраического моделирования и расчетов. Это увлечение усиливается по мере внедрения в образование компьютерных технологий. Данное большинству людей природное свойство образного мышления и усиление его компьютерной техникой является самой важной предпосылкой для переосмысления и разработки НАЧАЛ элементарной геометрии, включающую в себя древнюю, «сакральную» (инженерную) геометрию гармонии Природы, как составную часть Математики Гармонии.

Обсуждение программы А.П.Стахова демонстрирует, что «сакральная» геометрия Природы не ограничивается интерпретируемыми А.П.Стаховым [2] известными шестью числовыми отношениями:

«p= 3,141 ….; число «золотого сечения» представление в радикалах
Их значительно больше. В этой связи, перед изложением заявленной темы, хочу еще раз уточнить свое понимание исследуемого и развиваемого нами предмета.

Математические начала гармонии – это знания о том, как, посредством мер геометрии и числа, Единое (континуум пространства-времени Вселенной) обретает континуумно-дискретное 1 множество объектов и как эти множества сохраняют содержание и форму целостности континуума [3].

Гармоничность бытия континуума пространства-времени Вселенной проявляется в единстве (всеобщей связи) гармонии симметрии (косной материи) и гармонииасимметрии (живой материи).

Математика гармонии (начала которой мы закладываем) – это математика, изучающая и моделирующая гармонию бытия пространственно-временных форм Жизни и их количественные отношения, проявляющиеся в эволюции природы, общества и мышления [4]. Из данного определения и ноосферных задач, стоящих перед обществом, следует, что приоритетной задачей «математики гармонии» на современном этапе развития НТП является исследование, познание, развитие и включение в программы обучения таких геометрических и других математических знаний, которые моделируют жизненные процессы, то есть – гармонию асимметрии. При этом следует заметить, что, будучи приоритетной задачей естествознания, до средины прошлого века, гармония симметрии уже достаточно познана.

Проблема создания Математики Гармонии возникла с открытием многочисленных фактов асиммеирии Природы и того, что жизненными процессами управляют законы симметрии и асимметрии. Установлено, что именно в «золотой» пропорции количественных отношений и в геометрических формах «золотого сечения» проявляется суть гармонии Природы, как гармонии единства симметрии и асимметрии. «Золотое сечение» – оптимальный вариант конструктивных мер целого и двух его частей, обеспечивающий принцип «наименьшего (оптимального) действия» для сохранения единства симметрии и асимметрии и целостности континуума при постоянном его внутреннем изменении (развитии).

Элементарные начала «сакральной геометрии» значительно расширяют начала геометрии Евклида, привносят в нее существенные добавления и коррективы, например, в алгоритмы расчета, построения сторон правильных многоугольников и их удвоения. В «сакральной геометрии» с помощью циркуля и линейки строится сторона правильного семиугольника, построение которой в геометрии Евклида считается невыполнимой задачей. А между тем, как полагает Родни Коллин [5] — это одна из актуальнейших задач в математическом познании Вселенной.

«Если соединить на сфере две самых ярких точки, представляющих Луну и Юпитер, и две самых слабых точки, представляющих Сатурн и Меркурий, и отметить точку пересечения, соответствующую на одной линии максимальному сиянию, т.е. сиянию Солнца (-27,6), а на другой – невидимости (+6), то окажется, что вся фигура (142857) представляет собой законченную, скользящую шкалу яркости…

На самом деле эта странная фигура – 142857 – может объяснить нам невероятно много, потому что в ней мы столкнулись с математической загадкой, скрывающей один из фундаментальных законов Вселенной. Если единство разделить на семь, то в результате получится периодическая десятичная дробь 0,142857… Если цельный мир разделить на его жизненный принцип и шесть функций, то отношение между ними будет представлять именно эта последовательность». От себя добавлю. Если разделить «сакральную» периодическую десятичную дробь 0,9999999999999… на дробь 0,142857…, то получим «сакральное» число 7,0000070000070…, которое геометрически строится в форме правильного семиугольника.


К началу критического переосмысления элементарной геометрии

Полистаем учебники геометрии 7-11 классов общеобразовательных учреждений издания М. «Просвещение» 1995. Оказывается, что фундаментальная теорема начал геометрии, базовая теорема всевозможных геометрических построений, доказательств и вычислений, теорема Пифагора (доказательство, историческая справка и обратная теорема) дается только в главе VI (на 2,5 страницах!). Глава V «Четырехугольники», в которой изучаются и многоугольники, дает знания без опоры на теорему Пифагора. Глава VIII, «Окружность» ни коим образом не связана с теоремой Пифагора. Думается эти главы необходимо объединить в одну главу «Треугольники, окружность и многоугольники». Глава II должна включать теорему Пифагора и ее связь с окружностью посредством рассмотрения известных фундаментальных аксиом (Рис.1):

1). Диаметр окружности и две хорды, соединяющие любую точку окружности с концами диаметра, всегда образуют прямоугольный треугольник:

2). Гипотенуза, любого, вписанного в окружность прямоугольного треугольника, является диаметром окружности.

Рис. 1. Вписанные в окружность
прямоугольные треугольники

Данные аксиомы в учебниках отсутствуют и не находят своего применения при доказательствах и вычислениях.

В общеобразовательных учебниках «Геометрия» отсутствуют так же какие-либо сведения о делении отрезка прямой линии в отношениях «золотого сечения». Коротко говоря, в учебнике отсутствует много фундаментальных (мировоззренческих) изначальных знаний, которые необходимы человеку в его познавательной и творческой деятельности.

Вместе с тем, в учебнике содержится большее количество утилитарных знаний, имеющих ограниченное применение в практической деятельности. Цитируемое ниже предисловие требует основательной корректировки.

«Дорогие семиклассники!

Вы начинаете изучать новый предмет—геометрию и будете заниматься ею пять лет. Что это такое — геометрия?

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» — по-гречески земля, а «метрео» — мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами, которые приходилось выполнять при разметке земельных участков, проведении дорог, строительстве зданий и других сооружений. В результате этой деятельности появились и постепенно накапливались различные правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями. Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

На уроках математики вы познакомились с некоторыми геометрическими фигурами и представляете себе, что такое точка, прямая, отрезок, луч, угол, как они могут быть расположены относительно друг друга. Вы знакомы с такими фигурами, как треугольник, прямоугольник, круг и др., знаете, как измеряются отрезки с помощью линейки с миллиметровыми делениями и как измеряются углы с помощью транспортира. Но все это — лишь самые первые геометрические сведения. Теперь вам предстоит расширить и углубить ваши знания о геометрических фигурах. Вы познакомитесь с новыми фигурами и со многими важными и интересными свойствами уже известных вам фигур. Вы узнаете о том, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности. Во всем этом вам поможет учебник и, конечно, учитель».

Уже на странице 6 читаем противоречивый по определению «геометрической точки» вывод: «две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек», то есть речь идет о не пересекающихся прямых. В Справочнике по элементарной математике М.Я.Выгодского читаем: «Линию мы лишаем толщины и ширины, а точку вовсе лишаем измерений» (с.263). Из приведенных выше определений возникает вопрос. Как, например, точно определить только одну общую точку пересечения двух прямых линий, которые при пересечении образуют длинный промежуток сливающихся двух линий в одну (Рис.2)?



Рис.2. Вариант пересечения двух линий, сливающихся в одну.

Коротко говоря, содержание и компоновка разделов, тем и параграфов существующих учебников геометрии общеобразовательных учреждений требуют принципиального переосмысления и перестройки.

Разумеется, я не ставлю своей целью пересматривать детально содержание учебников геометрии, рассчитанное на пятилетнее обучение, как базовое содержание для освоения аналитической геометрии. Я ставлю своей задачей представить для включения в новые учебники геометрии элементарных фундаментальных знаний, которые формируют целостное научное мировоззрение человека о Вселенной, о геометрических формах жизненных процессов и их количественных отношениях.

Начала геометрических построений сакральных мер, форм и чисел

Полагаю, что, после описания назначения линейки и циркуля, построения и объяснения сущности точки, прямой и круговой линий, вначале данной главы учебника необходимо поместить Рис.3 и короткий к нему комментарий.

Комментарий. На Рис.3 изображен метод построения с помощью циркуля и линейки равностороннего треугольника («тетрактиса») 1-2-3 и построение мерой его стороны окружности, вписанных прямоугольных треугольников, правильных, вписанных в неё: треугольника (7-11), четырехугольника (4-10), пятиугольника (4-5, 6-10), шестиугольника (7-10), семиугольника (8-10) и десятиугольника (9-10).

ПРИМЕЧАНИЕ: Алгоритм вычисления сторон многоугольников (Рис.3) в геометрии Евклида осуществляется по нижеприведенным формулам(где аn – сторона вписанного в круг многоугольника, а R – радиус круга):

Вычисление правильного вписанного многоугольника с удвоенным числом сторон а2nвычисляется формуле:

Алгоритм вычисления сторон многоугольников (Рис.3) в «сакральной геометрии» иной.

Увеличить >>>

Рис.3. Начала единства симметрии и асимметрии в геометрических построениях


После комментария Рис.3 в учебнике должно быть помещено детальное изложение элементарных НАЧАЛ «сакральной геометрии».

а). Построение «вещественного» числа «0,5» и отрезка равного «1» (Рис.а)

Вещественное число «0,5» есть половина чего-либо целого.

Перед построением меры «вещественного» числа учитель должен указать на то, что число, как мера пространственного расстояния между концами ножек произвольного раствора циркуля, не имеет вещественного смысла. Вещественный смысл число, как мера, приобретает только тогда, когда мы поставим ножки циркуля на какую-то материальную («вещественную») поверхность, например, на поверхность листа бумаги.

а)

С помощью линейки чертим на поверхности прямую линию. Ставим одну ножку произвольного раствора циркуля на прочерченную линию и тем самим обозначаем «нулевую» точку 0. Круговым движением циркуля вокруг игольчатой ножки «0», другой ножкой раствора циркуля отмечаем на линии крайние точки 1 и 2 отрезка 1-2, длина которого равна суммарной длине двух «вещественных» отрезков:

0,5 + 0,5 = 1.

Таким образом, данным приемом мы построили «единичный» отрезок равный «1», его срединную точку, разделяющую данный отрезок еще на два равных отрезка. Построенный отрезок является основанием и мерой для построения равностороннего треугольника и деления его на два симметричных прямоугольных треугольника.

б). Построение на отрезке 0,5 + 0,5 = 1 равностороннего треугольника (Рис.б)


б)

Ножки циркуля раздвигаем на длину отрезка 1-2. Поочередно, ставя игольчатую ножку циркуля в точки 1 и 2, чертим круговые линии мерой длины отрезка 1-2 до пересечения их друг с другом в точке 3. С помощью линейки соединяем точки прямыми линиями и в результате получаем три треугольника: 1-2-3 – равносторонний, 0-1-3 и 0-2-3 – прямоугольные. В согласии с теоремой Пифагора, вычисляем отрезок 0-3 (высоту, медиану и биссектрису треугольника) и его отношения со сторонами треугольников:

(1).
0,5/0,8660254 ≈ 0,5773502 (2).
Периметр равностороннего ∆1-2-3 = 1+1+1 = 3 (3).
Площадь равностороннего ∆1-2-3 = 0,5х1х0,8660254 ≈ 0,4330127 (4).
Периметр прямоугольного ∆0-1-3 = 1+0,5+0,8660254 ≈ 2,3660254 (5).
Площадь прямоугольного ∆0-1-3 = 0,4330127/2 ≈ 0,2165063 (6).


в). Построение круга и вписанного в круг правильного треугольника мерами равностороннего треугольника (Рис.в)

в)

Ставим игольчатую ножку циркуля в точку 2 и мерой отрезка 1-2 = 1 чертим окружность с центром в точке 2. Высоту треугольника 0-3 продолжим до пересечения ее с окружностью в точке 4. Вершину треугольника 3 соединяем прямой линией с точкой 5. Таким образом, мы построили вписанный в окружность равносторонний треугольник.

Доказательство:

Согласно (1) 0-3 ≈ 0,8660254, сторона треугольника 3-4 ≈ 2х0,8660254 ≈ 1,7320508.

Сторона треугольника 3-5 является гипотенузой прямоугольного треугольника 0-2-5 и катетом прямоугольного треугольника 1-3-5. В согласии с теоремой Пифагора вычисляем сторону 3-5 ∆3-4-5:

Сторона треугольника 4-5 вычисляется аналогично и так же равна 1,7320508.

Таким образом, посредством вычислений длины сторон вписанного в окружность ∆3-4-5, доказано, что он является равносторонним.


Теоремы:

1). Высота вписанного в окружность прямоугольного треугольника, опущенная с вершины прямого угла на гипотенузу, численно равна его площади.

Доказательство:

Нами вычислено, что высота 0-3 ≈ 0,8660254. Нам известно, что площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту, а площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В согласии с этими данными вычисляем площадь ∆1-3-5:

S = 0,5х1х1,7320508 ≈ 0,8660254;
S = 0,5х2х0,8660254 ≈ 0,8660254.

2). Радиус окружности, соединяющий вершину прямого угла вписанного в нее прямоугольного треугольника, делит его на два равнобедренных и равновеликих по площади треугольника.

Доказательство:

Площадь ∆1-3-5 радиусом 2-3 делится на два равнобедренных треугольника: 1-2-3 и 3-2-5. Боковые стороны у них равны: 1-2 = 2-3 = 2-5 = 1. Площадь ∆1-2-3 равна 0,5х1х0,8660254 ≈ 0,4330127. Площадь ∆3-2-5 равна разности площадей ∆1-3-5 и ∆1-2-3:

0,8660254 — 0,4330127 ≈ 0,4330127.

ПРИМЕЧАНИЕ: Теоремы как бы доказывались на примере частного случая вписанного в окружность прямоугольного треугольника. В действительности

г)
они верны для любого из бесконечного многообразия вписанных в окружность прямоугольных треугольников и в «сакральной геометрии», как и теорема Пифагора, фактически являются аксиомами.

Рис.г) демонстрирует гармонию абсолютной симметрии «сечения» площадей вписанных в окружность прямоугольного треугольника,ромба, равносторонних треугольника и шестиугольника, а так же их сторон.

В последующем нам предстоит рассмотреть принцип и различные построения гармонии асимметрии, которые проявляются в бесконечном многообразии форм Жизни.


Примечание:

  •  1)  Континуум (лат. continuum - непрерывное) - непрерывная совокупность. Дискретность (от лат. discretus - разделённый, прерывистый) - прерывность.

Литература:

  1. Гринбаум О.Н. Гармония, математика, образование // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12563, 07.11.2005.
  2. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11176, 26.04.2004
  3. Сергиенко П.Я. Триалектический синтез начал познания // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11823, 14.02.2005.
  4. Сергиенко П.Я. О математике гармонии и порождающей ее модели // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12463, 28.09.2005.
  5. Родни Коллин. Теория небесных влияний. Изд-во Чернышева, С-Пб, 1997. С.118-120.

Продолжение следует


Сергиенко П.Я. Сакральные треугольники, окружность, многоугольники их построение и отношения между их параметрами // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12746, 23.12.2005

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru