Философские и математические познания начал, метафизические и диалектические знания о гармонии Жизни уходят своими корнями к открытию всеобщей двойственности противоположностей, присущей всем явлениям действительности бытия, в том числе и самому бытию. Понимание двойственности бытия было заложено древними мыслителями Запада и Востока задолго до новой эры летоисчисления. Развитие понимания двойственности бытия шло в разных направлениях и, всегда было обусловлено задачей постижения истинного, гармоничного отношения противоположностей. Например, знание о масштабной гармонии мироустройства содержится в постулате мифического Тота Гермеса: «Что наверху, то и внизу». В постулате Парменида, «Мысль и то о чем мысль существует, есть одно и то же», отражена гармония законов идеального и материального. То есть законы, управляющие нашими мыслями, жизнью нашего тела и окружающим нас миром – одни и те же. Это законы гармонии. Их познание исчисляется тысячелетиями, а накопленные знания – библиотеками энциклопедической литературы. Обобщить их, отобрать из них самое-самое, жизненно необходимое, и развить дальше – вот главная проблема современной философии и математики.

В согласии с пониманием принципа единства сохранения и изменения (развития) бытия, всеобщая гармония пространственно-временных форм Жизни Вселенной – это триалектический синтез метафизического и диалектического пониманий гармонии.

В метафизическом понимании бытия, гармония – такой процесс изменения (развития), когда один из его параметров (форма или содержание) остается количественно неизменным (сохраняется).

В диалектическом понимании бытия, гармония – такой процесс изменения (развития), когда происходит гармоничное изменение его параметров, как формы, так и содержания.

Параметры формы и содержания бытия гармонично изменяются. и проявляется в двух относительных состояниях: в состоянии статики (неизменного состояния) и в состоянии динамики (изменения). Примером статической гармонии является геометрия форм прекративших свой рост минеральных кристаллов, пустых ракушек улиток, форм многих косных предметов сотворенных живой Природой и человеком. Примером динамической гармонии форм являются траектории циклического движения пространственно-временных систем от электрона до Вселенной включительно, а так же формы рождения и роста всех живых существ. То и другое состояние гармонии, в системной иерархии (вхождение меньшей части в большую часть) целостного мироустройства проявляется масштабно, как масштабная гармония, или как гармония фрактальной геометрии.

Математика гармонии – это математика, изучающая и моделирующая гармонию бытияпространственно-временных форм Жизни и их количественные отношения, проявляющиеся в эволюции природы, общества и мышления.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА ПИФАГОРЕЙЦЕВ

Древние учения Востока и Запада о гармонии неразрывно связаны с пониманием ЧИСЛА. Эзотерические и оккультные учения древности гармонические отношения целого и его частей выражались посредством чисел. Наиболее ярким из всех учений о числовой гармонии является учение Пифагора. Пифагор и пифагорейцы называли свое учение «математа», что означает «науки». Их учение включало в себя: арифметику, геометрию, астрономию и гармонию (учение о музыке).

Числа, в представлении пифагорейцев – совокупность точек, образующих геометрические конфигурации. Пифагорейцы признавали только целые, положительные (т.е. натуральные) числа, разделяя их на четные и нечетные. Единица считалась неделимой, у неё не было «долей». Геометрически «единица» выражает точку. Пифагорейцы называли единицу «Монадой» и считали ее матерью всех чисел. Гераклит так же утверждал: «Из одного – все, из всего – одно». Синтезируя идеи Пифагора и Гераклита, Аристотель, в свою очередь, утверждал, что «точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Именно поэтому последователи пифагореизма определяли единицу как «границу между числом и частями» то есть между целыми числами и дробями, хотя и видели в единице потенциально неделимый, «вечный корень» бытия, некий числовой атом.

Наука, изучающая сущность числа, называлась пифагорейцами арифметикой и считалась главной среди основных разделов, составляющих данную систему знания, — геометрии (как учения о фигурах и способах их измерения), музыки (как учения о гармонии и ритме) и астрономии (как учения о строении Вселенной). Пифагорейская теория исходит из того, что арифметика, будучи изначально первичнее других дисциплин, подразделяется на два больших направления. Направление, связанное с множественностью или же составляющими частями вещи. Направление, сосредоточенное на величине или же на относительной величине, так называемой «плотности» вещественной монады, которое в последующим связано с введением и пониманием иррациональных чисел.

Говоря современным языком, пифагорейцы построили теорию рациональных чисел как теорию пар. Числа подразделялись пифагорейцами на два вида: четные и нечетные. Четность и нечетность понимались как признаки, относящиеся к делимости, женскому и мужскому началам. Любое четное число всегда можно разделить на две четные или нечетные части, которые будут равными. Любое нечетное никогда нельзя разделить на две равные части — при любом делении одна часть всегда будет четной, а другая нечетной.

Нечетные числа начинаются с числа три. Что касается единицы, то пифагорейцы считали ее андрогинным числом, то есть совмещающим мужские и женские атрибуты. При добавлении единицы к четному числу получается нечетное число, а при добавлении единицы к нечетному, оно превращается в четное, и таким образом, мужское число становится женским. Четность и нечетность были для пифагорейцев столь важными понятиями, что они включали эту бинарную (двойственную) оппозицию наряду с другими парами (такими как мужское-женское, светлое-темное, предельное-беспредельное, доброе-злое) в список из десяти пар противоположностей, которые они считали началом всего сущего. Говоря об этом, следует выразить сомнение в приписываемом пифагорейцам, негативном отношении к четным числам и двоичности. Якобынечетные числа пифагорейцы считали божественными, а четные – земными, дьявольскими и несчастливыми. Что они якобы ненавидели двойку за то, что она являлась началом дифференциации, следовательно – противоположений, дисгармонии и началом зла. Такие легенды не согласуются с клятвой пифагорейцев: «Клянусь Тетрадой!» поскольку тетрада (четвёрка) – число четное.

Геометрия пифагорейцев – это планиметрия прямолинейных фигур. Венцом системы их геометрических начал является доказательство «теоремы Пифагора» в отношениях рациональных чисел (3² + 4² = 5²). Пифагорейцы, как и Парменид, полагали, что Земля имеет сферическую форму и является центром Вселенной. А вокруг нее вращаются остальные планеты.

Вначале пифагорейцы полагали, что все отрезки соизмеримы в целых числах и, следовательно, геометрию можно свести к арифметике. Но однажды они сделали открытие: они доказали, что отношение диагонали к стороне квадрата нельзя выразить отношением целых чисел. Так была открыта иррациональность. Пифагорейцы из данного открытия сделали три заключения:

- арифметика не может служить основой для геометрии;

- геометрические величины имеют более общую природу, чем числа и их отношения;

- в основу математики следует положить геометрию. Так родилась в античные времена геометрическая алгебра, посредством которой исчислялись длины, площади и объемы.

Вместе с открытием несоизмеримых величин в греческой математике появилось понятие бесконечности, особо ярко выразившееся в апориях Зенона, которые были в основном направлены против идеи вечного движения (изменения) Гераклита. В обсуждения и горячие споры по решению апорий Зенона «Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Стрела» и других включились философы всех античных школ и направлений. Основатель знаменитой Академии – Платон, на дверях которой была высечена надпись: «Да не войдет сюда не знающий геометрии», впоследствии окрестил этих спорщиков мелкими торговцами истиной. Платон был искусным геометром, особенно в области построений с помощью циркуля и линейки. Споры по апориям Зенона имеют место и в наши дни. Особо сильное влияние они оказали на возникновение начал и бурное развитие в 17 веке математического анализа.

ПИФАГОР И ЧИСЛОВАЯ МУЗЫКАЛЬНАЯ ГАРМОНИЯ

Согласно древней легенде, гармонические числа, соотношение которых рождает музыку сфер, были найдены Пифагором. Легенда повествует о том, что, проходя мимо одной кузницы, Пифагор услыхал стук молотов, которые с точностью передавали музыкальные созвучия. Он велел взвесить молоты. Оказалось, что из двух молотов, находившихся в расстоянии октавы, один весил вдвое больше другого; что из двух, находившихся в расстоянии квинты, один весил в три раза больше другого. А для расстояния кварты — один весил вчетверо больше другого. Легко было сделать подобные вычисления относительно терций, тонов и полутонов. После опытов над молотами, Пифагор и его ученики произвели опыт над струной, натянутой гирями. Оказалось, что когда струна издавала какой-то звук при определенном весе гири, то для повышения этого звука на октаву, вес гири потребовался вдвое больше; для квинты — только на треть больше, для кварты — на четверть, для тона — на одну восьмую, для полутона — на одну восемнадцатую, или около этого. Потом пифагорейцы провели еще один эксперимент. Они натянули струну, которая при всей своей длине издавала какой-то звук. Прижатая струна по середине, давала октаву от первоначального звука. Прижатая на одной трети длины — квинту, на четверти — кварту, на восьмой доле длины — тон, на восемнадцатой — полутон. Так как древние определяли по движению числа Душу, то количество движения должно было служить для них мерою количества Души. Они видели это количество, выражаемое цифрой 114695 при 36 тонах — гармонических ступеней Мировой Души.

Под музыкой последователи великого мудреца понимали не только звуки, извлекаемые из однострунного музыкального инструмента древних греков монохорда, но и звучание космических тел, пение светил, которое они воспринимали не метафорически, но реально. Пифагорейцы были убеждены, что вселенная устроена гармонически упорядоченным и симметричным образом. Вот что пишет Е.Блаватская о космической октаве пифагорейской музыки сфер: «Именно на числе семь Пифагор oсновал свою доктрину Гармонии и Музыки Сфер, назвав «тоном» расстояние Луны от Земли; от Луны до Меркурия — полутоном, так же как и от Меркурия до Венеры; от Венеры до Солнца — полтора тона; от Солнца до Марса — тон; от Марса до Юпитера — пол-тона; от Юпитера до Сатурна — пол-тона и от Сатурна до зодиака — один тон; что составляет семь тонов — диапазон гармонии (выделено – П.С.). Вся мелодия Природы заключается в этих тонах и потому называется «Голосом Природы»».

ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОЗЗРЕНИЯ ПЛАТОНА

Платон в своих трудах сумел обобщить многие, существующие в его эпоху, разрозненные философские и математические знания Востока и Запада об элементарных началах бытия и творения Жизни. Следует отметить, что Платон значительно шире и глубже своих предшественников и современников понимал геометродинамику окружающего мира (космоса). Он понимал его живым (движущимся), триединым, целостным и вечным. По логике Платона, «Порождающая модель», как и порождаемое ею, тело космоса, рождается и живёт в согласии с законами кругового (циклического) движения.

«[Тело космоса] было искусно устроено так, чтобы получать пищу от собственного тления, осуществляя все свои действия и состояния в себе самом и само через себя… Ибо такому телу из семи родов движения он уделил соответствующий род, а именно тот, который ближе всего к уму и разумению. Поэтому он заставил его единообразно вращаться в одном и том же месте, в самом себе, совершая круг за кругом, а остальные шесть родов движения (вперед, назад, влево, вправо, вверх, вниз – прим. П.С.) были устранены» ¹.

Согласно Платону, числа обладают геометрическими, структурными свойствами. Если в пифагорейском понимании единица – символ неделимого начала, двойка – символ неопределенной бесконечности, тройка – символ определенности, то для Платона это видится слишком просто. В качестве символа беспредельного он берет куб со стороной 2, площадью грани 4 и объемом 8. А в качестве символа определенности он берет куб со стороной 3 и соответствующими параметрами 3, 9, 27. Тогда взаимное переплетение этих двух триад чисел, плюс начало всего – единица, дают гармоническое единство беспредельного и предельного, и проявляются в символической сферекругового движения. Оставим в стороне эзотерическую символику чисел, мистическое учение, в тонкости которого, надо полагать, Платон был посвящен основательно. Знал ли он все тонкости эзотеризма и передал их потомкам в экзотерическом (научном) виде, или что-то скрыл от потомков, мы уже никогда не узнаем. Мы в состоянии комментировать и опираться только на те знания Платона, которые он опубликовал. Остальное всё, добытые нами знания – результат проявляющейся в нас, интуиции и научной фантазии, подкрепленной разными методами и логикой доказательств.

В идее кругового движения «порождающей модели» Платона, апории Зенона, как бы лишаются логического смысла. Вместе с тем, абсолютизировав геометрию кругового движения, Платон не соединил ее со статической геометрической алгеброй прямолинейных фигур пифагорейцев и, в частности, с теоремой Пифагора. Можно предположить, что для этого ему, как и Пифагору, не хватало гелиоцентрического воображения об иерархии космического мироустройства. Следует заметить, увлеченные математическим решением «противоречивых» апорий Зенона, последующие многие поколения математиков, вплоть до наших дней как-то не заметили существование этой элементарной проблемы. А суть проблемы в поиске ответа на вопрос. Какая изначальная, всеобщая и элементарная МЕРА бытия и самотворения заложена в гармонию кругового (циклического) движения всей Природы? Это главный вопрос, на который необходимо было найти ответ и заложить эту меру в математическое моделирование, создаваемых Человеком современных отраслей НООСФЕРЫ, гармонично вписывающихся в живую и разумную Природу.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА И КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Во времена Платона, в результате систематических наблюдений выяснилось, что представление о гармонии мира, как о строго симметричном, круговом и равномерном движении небесных тел, не согласуется с наблюдениями. Платон в этой связи сформулировал в качестве центральной задачи астрономии – дать объяснение (в том числе и математическое) наблюдаемым несовершенным движениям и заложил некоторые начала для решения указанной проблемы. Как известно, объяснение этому дал только И.Кеплер, спустя более двух тысяч лет.

Более 10 лет назад, исследуя проблему триалектического взаимодействия пространства-времени и гравитации, я пришел к следующему выводу: «Таким образом, электромагнитное и гравитационное взаимодействия имеют единую природу – они суть разновидности геометрии движения линейного пространства-времени. В этой связи необходимо обмолвиться в двух фразах о системе координат: время (движение числа), электромагнетизм и гравитация (движение геометрии пространства-времени) являют собой естественную систему координат эволюционирующей Природы. И если мы хотим перейти от физики существующего к физике возникающего (к физике жизни), нам необходимо перейти от условной системы к естественной системе координат. Это уже проблемы математики» ². И вот, теперь эта проблема в моих публикациях последних пяти лет получила продолжение для своего разрешения через решение, в свою очередь, других, не полностью решенных наукой проблем, относящихся к началам математики, связанных с теоремой Пифагора и круговым движением «порождающей модели» Платона.

Теорема Пифагора множеством способов доказывает: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Спрашивается, какое отношение имеет данная теорема к гармонии. Непосредственное. Она численно подтверждает основополагающий закон гармонии – единство изменения и сохранения, который проявляется в круговом движении.

Известно, что, соединив любую точку окружности с концами ее диаметра, мы всегда получим прямоугольный треугольник. (Рис.1). То есть мы можем утверждать, что вершина прямого угла треугольника перемещается по окружности, или описывает окружность в согласии с теоремой Пифагора. Длина катетов прямоугольного треугольника при этом изменяется, а длина гипотенузы сохраняется, то есть остается равной двум радиусам. Очевидно, что здесь мы имеем дело с описывающей окружность прямоугольной системой координат, т.е. с гелиоцентрической системой отсчета. Нам известно, что относительно отсчета геоцентрической системы прямоугольных координат, при условии, что радиус окружности r = 1, окружность (расстояние точки М (x,y) до её центра) описывается уравнением:

X2 + y2 = 1

(1)

Движение этой же точки и по той же траектории в гелиоцентрической системе координат относительно геоцентрической системы описывается уравнением:

X2 + y2 = 4

(2)

Таким образом, истинное круговое движение точки М осуществляется совместно в двух ортогональных плоскостях кругового движения. В согласии с решением системы уравнений (1) и (2):

(3)

сумма этих уравнений дает нам новое уравнение кругового, движения точкиМ, как единой траектории ее геоцентрического и гелиоцентрического движения:

2x2 +2 y2 = 5

(4),

которое осуществляется уже по какой-то другой траектории. Вычитание уравнений дает нам загадочное тождество 0 = 3. В свою очередь следующие циклы движения точки М, согласно принятому методу решения системы уравнений (3) и уравнения (1), описываются уже новыми уравнениями, которые изменяются с каждым новым циклом движения, приближаясь как бы к изначально установленной симметрии противоположностей единого целого.

Целостная, единая природа в действительности по этому пути не идет. В любом гармоничном усреднении сохранения и изменения (развития) ей изначально присущ принцип наименьшего действия. Математически он адекватен не среднему арифметическому и не среднему геометрическому значениям при решении системы уравнений (1) и (2), а адекватен среднему «синтетическому» значению. Мера наименьшего действия, или гармоничного кругового движения, в конечном итоге, описывается «синтетическим» уравнением:

или

(5),

где — значение синтетической гармонии, состоящего из среднего арифметического значения уравнения (1) — и среднего геометрического значения уравнения (4) -≈ 2,2360678.

Что же измеряется, неведомой ранее мерой иррационального числа ≈ 1,1180339…r (r – радиус данного круга), которая больше радиуса круга на ≈ 0,1180339…r ? Мера 1,1180339…r – мера синтетическая. Она включает в себя среднеарифметическую меру деления радиуса данного круга на две части, т.е. вещественное число – 0,5r, и — среднегеометрическую меру удвоения половинной части радиуса – число ≈ 1,1180339…r. (Примечание: посколькуr = 1, далее употребление символаr из письма исключается). На основании изложенного выше, можно предположить, что «порождающей моделью» фундамента «первоструктуры» линейной числовой гармонии является пара рационально-иррациональных чисел: 0,5 и1,1180339…, которые в свою очередь «рождают» троицу рационально-иррациональных чисел «первоструктуры» уже пространственной гармонии:

1,1180339 – 0,5 ≈ 0,6180339; 1,1180339 + 0,5 ≈ 1,6180339; 0,6180339 – 0,5 ≈0,1180339.

(6).

Какова между ними взаимосвязь? Например, в множестве рационально-иррациональных чисел «уравнения первоструктуры» , где N – целое число натурального ряда, при четном N, иррациональная часть числа всегда будет равна 0,6180339…, а при нечётном N — 0,1180339…

Таким образом, суть первоначала «сакральной геометрии» скрыта и проявляется в геометрическом построении рационально-ирациональных чисел 0,5, 1,1180339…, 0,6180339…, 1,6180339…, 0,1180339… на отрезке числовой прямой. Существующая математика таким проявлением (построением) указанных чисел фактически не владеет. Геометрическое построение указанных и других рационально-иррациональных чисел впервые осуществлено автором ³. Думается, что это стало возможным в связи с более глубоким проникновением автора в суть эзотерического учения Пифагора, а так же его последователей. Известно, что в отличие от ионийской школы или школы элеатов пифагорейское сообщество являлось религиозным орденом с характерным способом жизни и с тайной доктриной. Платон так же был посвященным, но во все ли тайны пифагорейского ордена?

В заключение хочу сказать о том, что для развития дальнейшего познания действительности важно работать не только с теми знаниями, которые достались нам в наследство от Пифагора и Платона, но и с сомнениями великих и посвященных мудрецов в тайны мироздания. Например, Платон сомневался в совершенстве нашего восприятия окружающей действительности. Он утверждал, что мы познаем только «тени» бытия действительности. По существу – это была первая идея о будущей проективной геометрии, которая проективно синтезирует в своих теоремах множество известных геометрий. Утверждая о том, что Бог «… путем вращения округлил космос до состояния сферы, поверхность которой повсюду равно отстоит от центра…» ⁴, Платон стремится понять, почему мы наблюдаем движения планет не строго круговыми. Как известно, объяснения этому он не дал. Но данное сомнение в конечном итоге привело к открытию эллиптического движения планет.

КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФОРМЫ

Как они между собой соотносятся? Какая из данных форм является всеобщей формой движения, а какая является частным случаем проявления другой формы движения? Наблюдая круг под разными углами, мы видим разные эллипсы. Наблюдаемые под определенными углами действительные эллипсы, мы можем видеть их в форме круга. Уже доказано, что окружность является частным случаем проявления эллипса. Окружность – эллипс, периметр которого очерчивает наибольшую площадь. Это определение аналогично тому, что квадрат – прямоугольник, периметр которого очерчивает наибольшую площадь. По аналогии можно утверждать, что круг – квадрат, периметр которого очерчивает наибольшую площадь.

Известно, что фигуры прямоугольника, квадрата и круга, имеющие одинаковый периметр, различны по площади. То есть один и тот же периметр (замкнутая линия), имеющий разные пространственные формы, формирует внутри себя разную плотность (содержание) пространственной субстанции. Это математическое начало философии соответствия формы и содержания. Своими корнями оно уходит в глубокую древность и проявляется в формулировке «Задачи квадратуры круга»: с помощью циркуля и линейки построить квадрат равновеликий данному кругу. То есть построить форму квадрата тождественную содержанию круга. В эзотерическом смысле это означало – привести в гармоничное отношение меру земную (квадрат) с мерой небесной (кругом). Наличие данной задачи стимулировало многовековое развитие математики подобно наличию катализатора в процессе химической реакции.

Решена ли окончательно «задача квадратуры круга»? Утверждение «решена» господствует с 1882 года. А сомнения остались и – не безосновательные. И вот, уже в дверь математики стучится новая, аналогичная задача – построить эллипс равновеликий данному кругу. Здесь следует заметить, что задача геометрического построения эллипса равновеликого данному кругу, судя по энциклопедическим справочникам, никогда ранее никем не ставилась и никем не решалась. Хотя интуитивно, как-то о ней догадывался уже Платон. Думается, катализатором для будущего развития математики, как математики гармонии, станет именно эта задача.

Рис.1. Гармоничный эллипс, равновеликий данному кругу

Мной, для «затравки» построен (Рис.1) «гармоничный эллипс» приближённо равновеликий данному кругу. Параметры его построения: F₁F₂ ≈ 1,2360678r; F₁М + F₂М ≈ 2,2360678r (r – радиус данного круга) и эксцентриситет ≈1,1055728r. Требуется доказать, что построенный эллипс равновелик по площади данному кругу. Любой желающий может попробовать это сделать.

•  ¹⁾  Платон. Собр. соч. в 4-х т. «Мысль», М., 1994. Т.3, с.436-437.
•  ²⁾ Сергиенко П.Я. Триалектика. Новое понимание мира. Пущино — 1995. С. 68-69.
•  ³⁾ Сергиенко П.Я. Начала. Триалектика сакральной геометрии. Пущино — 2005. 32 с.
•  ⁴⁾ Платон. Собр. соч. в 4-х т. «Мысль», М., 1994. Т.3, с.436.