Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Кешнер М.С.
Шум типа 1/f

Oб авторе
1/F NOISE
Marvin S. Keshner
Получена 7 апреля 1981 г., в исправленном виде —- 22 декабря 1981 г.
Proceedings of the IEEE, 1982, vol. 70, № 3, p. 212—218.
Manuscript received April 7. 1981; revised December 22, 1981. This work is based entirely on the Doctoral Dissertation of M. S. Keshner, supervised by W. M. Siebert and R. B. Adler and submitted (1979) to the Electrical Engineering and Computer Science Depsrtment of the Massachusetts Institute of Technology.
The author is with Hewlett Packard Laboratories, Palo Alto, CA 94303.


Шум типа 1/f представляет собой нестационарный случайный процесс, который может служить моделью поведения эволюционирующих, или развивающихся, систем. В нем находит отражение сильное влияние прошлых событий на будущее и, следовательно, до некоторой степени предсказуемое поведение системы, а также влияние случайных событий. Выведены нестационарные автокорреляционные функции для шума типа 1/f, которые показывают, что текущее поведение системы в равной степени коррелирует с событиями недавнего и отдаленного прошлого. Показано, что минимальное количество памяти системы, вырабатывающей шум типа 1/f, представляет собой одну переменную состояния на декаду изменения частоты. Прошлая история систем конденсируется в текущие величины переменных состояния, одна из которых представляет собой усреднение за одну (самую последнюю) единицу времени, другая — за 10 последних единиц времени, 100 единиц, 1000, 10 000 и т. д. Каждая такая переменная состояния равно влияет на поведение системы.

I. ВВЕДЕНИЕ

Шум типа 1/f представляет собой случайный процесс [1], который описывается кривой спектральной плотности мощности шума S(f). Мощность шума (или квадрат некой переменной, связанной со случайным процессом), измеренная в узкой полосе частот, приблизительно обратно пропорциональна частоте (рис. 1):
где 0<g<2 и g обычно близко к 1.

Рис. 1. Спектральная плотность мощности шума типа 1/f. В отличие от белого шума, имеющего равномерную спектральную плотность на всех частотах, шум типа 1/f имеет повышенную плотность на низких частотах.
Шум типа 1/f впервые был обнаружен как избыточный низкочастотный шум в электровакуумных лампах, а затем, гораздо позже, — в полупроводниках. Математические модели шума типа 1/f, основанные на детальном рассмотрении физических процессов, были развиты Бернамоном [2] в 1937 г. для электровакуумных ламп и Макуортером [3] в 1955 г. для полупроводников. Начиная с середины 50-х годов шум типа 1/f наблюдался в виде флюктуации параметров различных систем. Многие из этих систем не имеют никакого отношения ни к электровакуумным лампам, ни к полупроводникам, и вырабатываемый ими шум типа 1/f нельзя объяснить ни одной из упомянутых выше моделей. Так, например, шум типа 1/f наблюдается в виде флюктуации [4, 5]
— напряжений и токов электровакуумных ламп, диодов, транзисторов;
— сопротивления угольных микрофонов, полупроводников, металлических тонких пленок, водных растворов ионов;
— частоты кварцевых генераторов;
— средних сезонных температур;
— годового количества осадков;
— интенсивности уличного движения;
— напряжения на нервных мембранах и синтетических мембранах;
— частоты приема инсулина диабетиками [61;
— экономических данных [7];
— громкости и высоты тона музыки [8].
Присутствие шума типа 1/f в такой разнородной по составу группе систем (а также во многих других, не упомянутых здесь системах) заставило исследователей предположить, что существует некий фундаментальный закон природы, приложимый ко всем неравновесным системам и проявляющийся в шуме типа 1/f. Были предложены многочисленные специфические модели, однако ни одна из них не может объяснить присутствие шума типа 1/f хотя бы в большинстве из перечисленных систем. Возможно, единственным сходством между этими системами является их математческое описание, приводящее к зависимости типа 1/f.
Тот факт, что шум типа 1/f может быть применен к описанию флюктуации высоты тона и громкости многих видов музыки, дает серьезные основания предположить, что этот шум является менее случайным, чем другие виды шума, и что существует какое-то соотношение или корреляция между событиями, которые отсутствуют в других видах шума. Однако характер этого соотношения до настоящего времени оставался весьма туманным. Каковы временные шкалы, в пределах которых коррелируют события? Если прошлая история системы влияет на текущие события в ней, то в такой системе должен существовать какой-то механизм хранения информации, т. е. память. Какого рода память требуется для шума типа 1/f? Какой объем информации и как долго «помнит» система? Эти вопросы рассматриваются в настоящей работе. Будет показано, что шум типа 1/f пригоден для описания флюктуации в системах, развивающихся во времени. В разд. II анализируется линейная система, вырабатывающая шум типа 1/f, и выводится точная нестационарная функция автокорреляции. Если время, в течение которого наблюдается процесс, мало по сравнению с временем, прошедшим с начала процесса, то точную нестационарную функцию автокорреляции можно представить в приближенном виде. Полученная таким образом функция автокорреляции является почти стационарной, и с ее помощью можно описать память систем, вырабатывающих шум типа 1/f. В разд. III рассчитывается спектральная плотность мощности, соответствующая приближенной функции автокорреляции. Результаты расчета согласуются с экспериментальными данными, полученными при наблюдении шума типа 1/f, в том отношении, что спектральная плотность мощности шума стационарна, за исключением того, что кажущееся стационарное значение логарифмически зависит от времени, прошедшего с момента начала процесса. В разд. IV рассматривается другая линейная система и определяются пределы памяти системы. Хотя расчеты проводятся для физических систем, те же представления применимы к чисто информационным системам. Этот вопрос обсуждается в разд. V.

II. ШУМ ТИПА 1/f КАК НЕСТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Интеграл спетральной плотности мощности для шума типа 1/f при 1<g<2 (наиболее общий случай) равен бесконечности. Если бы шум типа 1/f представлял собой стационарный случайный процесс, можно было бы заключить, что его дисперсия бесконечна и, следовательно, параметры процесса часто могут быть очень большими. Один из способов обойти эту трудность состоит в том, чтобы постулировать существование наинизшей частоты, ниже которой форма кривой спектральной плотности мощности изменяется таким образом, что интеграл становится сходящимся.
Экспериментаторы, изучавшие шум типа 1/f, усиленно пытались найти какие-либо признаки изменения формы кривой S(f) на очень низких частотах. Самая низкая частота, на которой они могут точно измерить спектральную плотность мощности, ограничивается долговременной стабильностью их аппаратуры и тем временем, в течение которого они могут наблюдать случайный процесс. Несмотря на эти ограничения, одна группа экспериментаторов проводила измерения шума типа 1/f в МОППТ на частотах вплоть до 10-6,3 Гц (период 3 недели) [91. Изменения формы спектральной кривой замечено не было. С помощью методики обработки результатов геологических исследований был проведен машинный расчет шума типа 1/f для погодных условий до частоты 10-10 Гц (период 300 лет) [10]. И здесь тоже не наблюдалось никаких изменений формы спектральной кривой. Среди опубликованных результатов экспериментальных наблюдений можно найти только два случая, когда изменение было замечено: при наблюдении флюктуации сопротивления тонких пленок олова при температуре перехода в сверхпроводящее состояние [11] и при наблюдении флюктуации напряжения на нервных мембранах [12].
Другое решение проблемы бесконечной дисперсии было предложено Мандельбротом [13]. Он высказал предположение, что шум типа 1/f при 1<g<2 следует рассматривать как нестационарный случайный процесс. В таком случае его дисперсия, а также его спектральная плотность мощности будут зависеть от времени. При наблюдении процесса в течение конечного промежутка времени всегда будет получаться конечная дисперсия. Но утверждать что-либо относительно текущего поведения исследуемой системы можно, лишь зная ее точное состояние в некоторый предшествовавший момент времени.
Рис. 2. Путь частицы, находящейся в состоянии броуновского движения.
Чтобы проиллюстрировать эту мысль, рассмотрим другой известный нестационарный случайный процесс: частицу, находящуюся в состоянии броуновского движения (рис. 2). Утверждать что-либо о текущем положении частицы можно лишь в том случае, если известно ее положение в некоторый предшествовавший момент времени. Пусть, например, в момент t=0 частица находилась в центре поля наблюдения. В некоторый более поздний момент t=T она, по-видимому, должна находиться в пределах сферы радиуса R с центром вблизи ее начального положения. В еще более поздний момент радиус будет больше. Среднее положение частицы является константой, равной ее начальной координате. Но дисперсия положения частицы, соответствующая квадрату радиуса сферы, в пределах которой частица, по всей вероятности, должна находиться, увеличивается линейно со временем. Если настаивать на том, чтобы описывать этот процесс как стационарный, и собирать данные во все моменты времени, то придется заключить, что дисперсия является бесконечной: частица может с равной вероятностью находиться в любом месте. Но если описывать этот процесс как нестационарный и знать, где находилась частица в некоторый предшествовавший момент времени, то можно определить ее положение в некоторый последующий момент как случайную величину с конечной дисперсией.
В очевидном противоречии с предположением Мандельброта находится тот факт, что экспериментаторы обычно без особых трудностей измеряют спектральную плотность мощности шума типа 1/f, не предполагая, что процесс является нестационарным, и ничего не зная о его начальном состоянии. Если бы процесс был нестационарным, то разве спектральная плотность мощности, не должна была бы меняться в зависимости
от времени и начальных условий? Экспериментаторы иногда обнаруживают изменения амплитуды спектральной плотности мощности при измерениях идентичных систем в различные моменты времени, но форма кривой и, в частности, величина показателя степени g остаются неизменными. (См., например, данные, представленные Xуджем [14].)
Рис. 3. Линия с сосредоточенными параметрами, являющаяся моделью непрерывной резистивно-емкостной линии передачи, которая возбуждается источником шумового тока с белым спектром.
Мы начнем с детального рассмотрения простой системы, вырабатывающей шум типа 1/f с g=1 и расчета ее нестационарной автокорреляционной функции. Эту процедуру можно обобщить на случай расчета нестационарной автокорреляционной функции любого шума типа 1/7 с 0< g <2 [15]. Рассматриваемая ниже простая система представлена на рис. 3.
Система состоит из источника шумового тока величиной I с белым спектром, подключенного к входу одномерной непрерывной резистивно-емкостной линии передачи (RC-линии) бесконечной длины. Импеданс RС-линии бесконечной длины равен
где R — погонное сопротивление линии, С — погонная емкость линии, j=Ц-1. Спектральная плотность мощности шума на входе линии равна
Если линия имеет бесконечную длину, то S(f) в точности пропорциональна 1/f вплоть до нулевой частоты. Однако если линия конечна и на ее выходе включено сопротивление конечной величины, то будет существовать некоторая наинизшая частота, ниже которой спектр S(f) будет белым. Значение этой наинизшей частоты определяется длиной линии (l):
Чтобы получить выражение для нестационарной функции автокорреляции, будем считать линию бесконечной, а также что в момент времени t=0 напряжение на линии везде равно нулю.
Выберем параметры источника белого шума таким образом, чтобы существенно облегчить вычисления. Собственно говоря, это будет известный дробовой шум со средним значением, равным нулю. Рассмотрим процесс, вырабатывающий один раз в течение интервала времени Т единичный импульс тока, который с равной вероятностью может быть положительным или отрицательным и с равной вероятностью может возникнуть в любой момент внутри этого интервала:
где u0(tt0) — импульс в момент времени t=t0;
pdf(t0)— функция плотности вероятности от t0. Суммирование большого числа (N) независимых идентичных процессов дает дробовой шум с белым спектром, определяемым выражением
В нашем расчете увеличение интервала T будет сопровождаться соответствующим увеличением числа независимых процессов, так что величина S(f) будет оставаться постоянной. Это условие в точности эквивалентно условию постоянной скорости поступления для одиночного пуассоновского процесса.
При воздействии в момент t=t0 импульса тока на RС-линию возникает отклик (по напряжению)

      где

Функция автокорреляции для напряжения, возникающего при воздействии одиночного импульса, равна

      где E{  } — ожидаемое значение



Учитывая, что оба члена отличны от нуля только при условии, что импульс возникает раньше, чем t1и t2. и приняв t2>t1 получим
Для N идентичных и независимых процессов конечный результат будет представлять собой просто приведенное выше выражение, умноженное на N, т. е.
рис. 4. Пример шума типа 1/f для случая, когда интервал времени наблюдения мал по сравнению с временем, прошедшим с момента начала процесса.




Представим, что RС-линия существует очень давно, т. е. t2 — большая величина, и что мы будем наблюдать процесс в течение сравнительно короткого времени Tobs<<t2 Времена t1 и t2 будут находиться в пределах интервала наблюдения, но начальный момент t=0 не войдет в этот интервал. В результате отношение t1 и t2 будет почти равно единице (см. рис. 4). Тогда мы можем представить полученное ранее выражение в приближенном виде



Эту процедуру легко обобщить на случай вывода функции автокорреляции для шума типа 1/f, когда g не равно единице, а лежит в интервале 0<g<2. Подробное рассмотрение дано в работе [15], а здесь представлены лишь окончательные результаты. Для сравнения нестационарной и стационарной автокорреляционных функций величина (t2t1) заменена на t.

III. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ШУМА,
СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ПРИБЛИЖЕННОЙ ФУНКЦИИ
АВТОКОРРЕЛЯЦИИ

Будем считать, что экспериментатор наблюдал систему в течение времени Tоbs, гораздо меньшего, чем время, прошедшее с момента создания системы и начала процесса. Допустим также, что экспериментатор полагал, что он наблюдает стационарный случайный процесс, и рассчитал S(f), исходя из этого предположения. Каков был бы результат такого расчета?
В предыдущем разделе мы рассчитали нестационарные автокорреляционные функции для шума типа 1/f. Затем эти функции были аппроксимированы для случая, когда время наблюдения (Tobs) много меньше суммарного времени (t2), прошедшего с момента начала процесса. Оказалось, что каждая приближенная автокорреляционная функция может быть записана в виде суммы двух членов — члена, зависящего только от t2 и члена, зависящего только от t:
Фактически эти нестационарные автокорреляционные функции являются приближенно стационарными. Нестационарное поведение полностью описывается дополнительным членом, зависящим только от t2. Выполнив преобразование Фурье относительно переменной t рассчитаем приближенно стационарную функцию S(f) и оценим влияние дополнительного члена. Поскольку нельзя наблюдать корреляцию в течение времени, превышающего суммарное время наблюдения Tobs, ограничим величину t пределами
Разделив аргументы обоих членов в выражении для шума типа 1/f при g =1 на Tobs, получим
Используя сопряженное выражение для (1) из работы Эрдейи [16] и нормирующие свойства преобразований Фурье, получим для второго члена
Результат преобразования первого члена относительно t представляет собой просто преобразование константы, которое дает импульс на нулевой частоте:
где u0(f) — единичный импульс на f=0. Окончательный результат имеет вид
Рис. 5. Спектральная плотность мощности, которая наблюдается при измерении шума на выходе моделирующей RC-линии.
Эту спектральную плотность мощности иллюстрирует рис. 5. S(f) пропорциональна 1/f вплоть до самой низкой частоты, ограничиваемой длительностью периода наблюдения. Как показатель степени, так и модуль S(f) на частотах, превышающих эту наинизшую частоту, не зависят ни от t2, ни от Tobs и, следовательно, стационарны. Кажущееся стационарное значение в интервале Tobs будет представлять собой интеграл от S(f) для интервала

      и будет равно

Нестационарная автокорреляционная функция, полученная в разд. II, соответствует спектральной плотности мощности, которая представляется стационарной. Измерения S(f), проведенные без знания начальных условий, будут непротиворечивыми в пределах диапазона частот, ограниченного временем проведения наблюдений. Дисперсия процесса возрастает со временем по логарифмическому закону, но проведение наблюдений в конечном интервале времени всегда дает конечную дисперсию.
В литературе принято нормировать функцию S(f) путем деления ее на квадрат стационарного значения параметра процесса. Когда независимый постоянный член не является преобладающим, величина S(f) будет логарифмически зависеть от t2. Это может объяснить результаты некоторых экспериментальных наблюдений, когда показатель степени меняется незначительно, но сама величина функции меняется очень сильно.

IV. ПАМЯТЬ ПРОЦЕССОВ, ВЫРАБАТЫВАЮЩИХ ШУМ ТИПА 1/f

Белый шум не имеет памяти о прошлых событиях: текущие значения параметров процесса не зависят от прошлых значений. Большинство процессов не вырабатывают белого шума вплоть до бесконечной частоты, но их память зачастую ограничена одной постоянной времени или переменной состояния. Шум типа 1/f —это процесс, имеющий память. Вопрос заключается в том, в какой степени и как долго эти процессы подвержены влиянию своего прошлого? В настоящем разделе мы попытаемся ответить на эти вопросы. С этой целью рассмотрим сначала приближенные функции автокорреляции, полученные в разд. II, чтобы показать, как долго процесс «помнит», а затем рассмотрим еще одну линейную систему, вырабатывающую шум типа 1/f, чтобы показать, сколько начальных условий «помнит» процесс.
Шум типа 1/f — это случайный процесс с очень длительной памятью. Полученные выше автокорреляционные функции (рис. 6) спадают во времени по показательному закону медленнее, чем по экспоненте; в случае когда g в точности равно 1, спад является логарифмическим и происходит медленнее, чем при какой-либо степенной зависимости. Чем ближе g к 1, тем сильнее влияние отдаленного прошлого по сравнению с влиянием недавнего прошлого. Когда g=1, текущие события примерно в одинаковой степени
Рис. 6. Автокорреляционные функции для шума типа (1/f)g
При g=1 недавнее и отдаленное прошлое почти в равной степени влияют на настоящее.
коррелируют с событиями недавнего и очень отдаленного прошлого. Когда g близко либо к 0, либо к 2, события недавнего прошлого влияют на процесс гораздо сильнее, чем события отдаленного прошлого.
Поскольку функции автокорреляции свидетельствуют о том, что процесс типа 1/f сильно зависит от прошлого, особенно при g~1, можно задать вопрос какое количество информации «помнит» процесс? Допустим, что процесс можно промоделировать с помощью линейной системы и что вся его прошлая история представлена текущими значениями переменных состояния системы. Сколько переменных состояния требуется для такой системы со спектром флюктуации типа 1/f? Иначе говоря, сколько требуется чисел, чтобы суммировать влияние прошлого на настоящее? В случае белого шума количество таких чисел равно нулю. В случае броуновского движения оно равно единице: требуется знать лишь начальное положение частицы. В случае шума типа 1/f требуются сотни таких чисел.
Моделирующая процесс непрерывная RС-линия, которая в точности дает спектральную плотность мощности типа 1/f, имеет бесконечное число переменных состояния. Это же справедливо для модели, представляющей собой сумму распределенных постоянных времени, которая была предложена Бернамоном [3] в 1937 г. для объяснения шума типа 1/f в электровакуумных лампах. Однако если рассматривать линейную систему с сосредоточенными параметрами, которая дает лишь приближение к спектральной плотности мощности типа 1/f, то требуются лишь сотни переменных состояния, причем с повышением нужной степени точности число переменных состояния возрастает медленно. Чтобы определить как верхний, так и нижний пределы для требуемого числа переменных состояния процесса типа 1/f, рассмотрим линейную систему с сосредоточенными параметрами, отличную от RС-линии, введенной в разд. II. Эта модель будет использована также для иллюстрации сходства между процессами типа 1/f, несколько отличающимися по параметру g.
Рис. 7. Еще одна линейная система, вырабатывающая шум, похожий на шум типа 1/f. Каждая секция имеет одну переменную состояния (напряжение на конденсаторе) и может «помнитьэ одно число.
Можно выбрать простую линейную систему, спектральная плотность мощности которой будет отличаться от закона (1/f) g на постоянную относительную величину, которая может быть сделана произвольно малой (рис. 7). Такая система имеет мало общего с предыдущей моделью, за исключением того, что она тоже представляет собой линейную систему, возбуждаемую источником белого шума, и что функция S(f) некоторой переменной V0 (f) представляет собой зависимость вида 1/f. Система состоит из резисторно-емкостных секций, разделенных и изолированных друг от друга буферными усилителями с единичным коэфффициентом усиления. Каждая секция вносит в суммарную частотную характеристику (отклик) системы один полюс и один нуль и имеет одну переменную состояния — напряжение на конденсаторе. Отклик одной секции приведен на рис. 8.
Рис. 8. Частотная характеристика одной секции линейной системы, показанной на рис. 7.
Требуемое число секций зависит, разумеется, от того, насколько точно должны совпадать приближенная и точная характеристики. Для точного совпадения потребовалось бы бесконечное число секций. Интересно, однако, определить, сколько секций требуется для аппроксимации с точностью ±5%, а затем на основе полученного значения обсудить вопрос о количестве переменных состояния и о количестве величин, необходимых для суммирования влияния прошлых событий на процесс типа 1/f. Результаты такого расчета представлены на рис. 9 в двойном логарифмическом масштабе. Сплошные линии соответствуют спектральной плотности мощности для различных значений g На каждую из этих линий наложена пунктирная линия, представляющая собой функцию S(f) аппроксимирующей линейной системы. Положения полюсов и нулей выбирались таким образом, чтобы максимальная ошибка лежала в пределах ±5%.
Рис. 9. Аппроксимация спектральной плотности мощности типа 1/f с различными значениями g с помощью линейных систем. Метки на осях абсцисс и ординат отстоят на 1 декаду.
Результаты представляются несколько неожиданными. Для аппроксимации спектральной плотности мощности типа 1/f требуется приблизительно одна секция (и также одна переменная состояния) на декаду изменения частоты. Несколько меньшее число секций нужно для аппроксимации зависимостей (1/f)1/2 и (1/f)3/2, а при приближении S(f) к белому шуму (g=0) или к броуновскому движению (g=2) требуемое число секций на декаду стремится к нулю. (Отметим, что для описания броуновского движения нужна всего одна переменная состояния.) Для аппроксимации спектральной плотности мощности 1/f в полосе частот от 10-50 до 1050 Гц с погрешностью менее 5% требуется всего 100 секций. При погрешности 1% число секций должно быть, вероятно, менее 500. Это означает, что система будет иметь лишь несколько сотен переменных состояния и будет суммировать прошлые события с помощью лишь нескольких сот чисел.
Даже если мы потребуем идеального совпадения, но будем наблюдать процесс в течение конечного интервала времени, число различимых переменных состояния, описывающих текущее поведение системы, не будет бесконечным. Эффект конечного времени наблюдения (Tobs) состоит в сглаживании частотной характеристики за счет усреднения в полосе (f0), приблизительно обратной времени наблюдения
Самое большее, что нам потребуется,— это полюс и нуль на каждое кратное f0 Таким образом, максимальное число различимых переменных состояния представляет собой отношение максимальной частоты измерения (fh)к величине, обратной времени наблюдения:
Чтобы сравнить этот результат с величиной, получающейся при 5%-ной точности аппроксимации, выберем низкочастотный предел измерения таким образом, чтобы он совпадал с наинизшей частотой, допускаемой временем наблюдения. (Влияние всех переменных состояния, постоянные времени которых намного превышают время наблюдения, может быть суммировано в одно текущее значение — кажущееся стационарное значение.) В результате получим пределы для числа переменных состояния (N):
Графики, приведенные на рис. 9, свидетельствуют о том, что шумы типа 1/f с несколько различающимися значениями у имеют фундаментальное сходство между собой. У всех этих шумов равномерное распределение полюсов на декаду частоты и в диапазоне значений 1/2<g<3/2 у них приблизительно одинаковое число полюсов на декаду. Главное различие систем с разными значениями g это различие в относительном влиянии каждой из переменных состояния на текущее значение выхода системы.
В рамках настоящей статьи будем считать число переменных состояния, требуемых для аппроксимации с точностью 5%, минимальным числом, необходимым для описания данного процесса. Небольшое увеличение или уменьшение точности лишь незначительно повлияет на это число. Совместное рассмотрение выражения для минимального числа требуемых переменных состояния и выведенных ранее функций автокорреляции приводит к следующему описанию памяти шума типа 1/f для значений g, очень близких к единице. Корреляция текущих событий с событиями, происшедшими время t назад, будет определяться напряжениями на всех конденсаторах, скорость разряда которых слишком мала, чтобы это напряжение могло существенно измениться за время t. В рассмотрение должны быть включены все конденсаторы, чьи полюсы находятся под напряжением достаточно низкой частоты, при условии что эта частота все же превышает наинизшую частоту f0:
Поскольку каждый из конденсаторов равно влияет на текущее поведение системы, степень корреляции для случая g=1 пропорциональна суммарному числу таких конденсаторов:
Как можно видеть, этот результат аналогичен полученному в разд. II.

V. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Шум типа 1/f представляет собой эволюционный случайный процесс. Его текущее поведение сильно зависит от всей его предыдущей истории. Кроме того, его память является динамической: влияние недавних событий накладывается на влияние более отдаленных событий и постепенно перекрывает его. Влияние событий отдаленного прошлого затухает очень медленно, либо по степенному закону с малым показателем степени, определяемым истекшим временем, либо логарифмически, т. е. гораздо медленнее, чем допускают экспоненциальные времена релаксации, связанные с дифференциальными уравнениями низкого порядка, которые обычно используются для моделирования системы. Чтобы проиллюстрировать эту мысль, рассмотрим шум типа 1/f сначала в МОППТ, а затем в информационных системах.
Большинство физических систем постепенно приближается к состоянию термодинамического равновесия, и влияние их начальных условий со временем уменьшается. Так, например, МОППТ состоит из таких материалов, которые через достаточно большой промежуток времени перейдут в дисперсное состояние. Обычное описание динамики этого прибора исходит из того, что он может быть разделен на две подсистемы, одна из которых с временем наблюдения меняется очень медленно, а другая — очень быстро.
Структуpa прибора меняется так медленно, что для практических целей ее можно считать статической С другой стороны, распределения электронов и дырок в транзисторе имеют очень малые времена релаксации и считаются находящимися в состоянии квазиравновесия.
Тот факт, что МОППТ вырабатывает шум типа 1/f вплоть до самых низких частот, допускаемых временем наблюдения [9], заставляет предположить, что разделение этого прибора только на две подсистемы неоправданно.Следовало бы представить его состоящим из подсистем с временами релаксации, сравнимыми со всеми представляющими интерес временными шкалами. Независимо от того, сколько времени продолжается наблюдение, некоторые процессы достигнут равновесия и их начальные условия будут забыты. Некоторые процессы будут явно меняться в интервале наблюдения, тогда как изменение других окажется слишком медленным, чтобы его можно было обнаружить, и их начальные условия сохранятся почти полностью. В зависимости от длительности наблюдения производится деление системы на подсистемы трех категорий: быстрые, сравнимые по скорости изменения с временем наблюдения и медленные. Изменение длительности наблюдения просто изменяет категорию, к которой относится данная подсистема, процесс же остается в принципе таким же. Чтобы охарактеризовать поведение транзистора, нужно знать текущие значения каждой из переменных состояния, постоянные времени которых сравнимы с временем наблюдения или меньше его. Кроме того, нужно знать суммарное воздействие всех переменных состояния, которые не меняются и воздействия которых нельзя различить за время наблюдения. Все эти медленно меняющиеся переменные представлены одним числом: кажущимся стационарным значением. Длительность интервала наблюдения определяет, какие переменные группируются вместе, а какие следует рассматривать индивидуально.
Информационные системы накапливают информацию. Со временем в них происходит общее увеличение объема и сложности структуры, а не уменьшение, как в случае транзистора. Хорошими примерами процессов, происходящих в таких системах, являются биологическая эволюция, культурное развитие, развитие органов управления государством, развитие экономических систем, рост и совершенствование личности. К числу таких систем можно отнести также произведения искусства, развивающие центральную тему, например романы и симфонии. Фосс и Кларк [8] показали, что если рассматривать музыку (которая отнюдь не является случайным сочетанием звуков) как случайный процесс, то спектральная плотность мощности флюктуации ее амплитуды и высоты тона (в функции времени) имеет вид 1/f. То же самое можег быть справедливым для многих накапливающих информацию и развивающихся систем; некоторые величины, если рассматривать их изменение как случайный процесс, могут иметь спектральную плотность мощности типа 1/f. Шум типа 1/f сочетает сильное влияние на систему прошлых событий с влиянием текущих событий. Результатом является до некоторой степени предсказуемое поведение системы, которое, однако, оставляет место для развития новых тенденций и возникновения неожиданных эффектов.
Процесс, вырабатывающий шум типа 1/f, по-видимому, суммирует тенденции развития системы и «конденсирует» данные, определяя таким образом значения переменных состояния системы и влияние прошлых событий на текущее поведение системы. Что касается минимального числа требуемых переменных состояния, то в это число входит одна переменная с постоянной времени, скажем 0,1 единицы времени, одна переменная с постоянной в 1 единицу, 10 единиц, 100 единиц и т. д. Величина переменной состояния, время релаксации (или усреднения) которой равно 1 с, описывает усредненное поведение или ход процесса за последнюю секунду или около того. Величина переменной состояния с временем релаксации 100 с представляет усреднение за последние 100 с. Каждая из этих переменных состояния в равной степени влияет на текущее поведение системы. Каждая представляет тенденцию изменения состояния, но для различных шкал времени. Последние события могут оказывать определяющее влияние на значения переменных состояния с наименьшей постоянной времени, но они будут оказывать все меньшее влияние на переменные состояния со все большими постоянными времени. Устойчивые новые тенденции будут приводить к тому, что процесс станет изменяться со временем по логарифмическому закону, по мере того как все большее число переменных состояния будет отражать новые тенденции процесса, а не старые.
Модели, предложенные для описания шума типа 1/f, могут быть полезны также для моделирования упомянутых выше информационных систем. Особенно привлекательной кажется идея, что информация, описывающая прошлое, суммируется и запоминается в виде тенденций развития для различных временных шкал. Примерно таким же образом человек запоминает (и запоминает неверно) информацию — скорее как части согласованных картин, а не как отдельные бессвязные элементы. Тот факт, что музыка имеет статистику типа 1/f и что при случайном выборе нот наиболее музыкально они звучат, если имеют спектральную плотность мощности типа 1/f, наводит на мысль о существовании связи между характером человеческого восприятия и памяти и структурой шума типа 1/f. Из-за существования такой связи и влияния памяти и поведения человека на развитие наших институтов развитие нас самих, нашей экономической системы, наших органов управления и нашей культуры могут представлять собой случайные статистические процессы с шумом типа 1/f.
В заключение рассмотрим задачу о наиболее точном предсказании будущего хода процесса типа 1/f. Поскольку настоящее и будущее поведение в высокой степени коррелируют с прошлым поведением, для наиболее точного предсказания будущего нужно понять влияние прошлого. В случае процесса типа 1/f прошлое поведение может быть суммировано текущими значениями переменных состояния системы. Минимальное требуемое число переменных состояния определяется из расчета приблизительно одной переменной на декаду в представляющем интерес интервале времени. При рассмотрении процесса типа 1/f с помощью каких-либо методов регрессионного анализа потребовалось бы оценить не только среднее значение параметра на всем протяжении существования системы, но также среднее за 1 единицу времени,
10 единиц, 100 единиц, 1000, 10000 и т. д., начиная от самых коротких до самых длинных из представляющих интерес интервалов времени. Каждое из этих средних значений будет определять величину одной переменной состояния, и каждая из этих переменных будет в равной степени влиять на будущее поведение системы. Чтобы предсказание было наиболее точным, следует не только знать текущие значения всех переменных состояния, но и понимать механизм влияния каждой из них на текущее поведение системы.

ОТ АВТОРА

Автор хотел бы отметить вклад в представленную статью соруководителей его диссертационной работы проф. М. Зиберта и Р. Б. Адлера. Проф. Зиберт познакомил автора с этой темой, высказав мысль, что шум типа 1/7 может быть использован для моделирования долговременного поведения сложных систем. Вклад проф. Адлера в диссертационную работу касался главным образом вопроса о моделировании шума типа 1/f с помощью процесса термодиффузии. Работа на эту тему, возможно, будет опубликована позднее.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Для ознакомления с теорией случайных процессов, в том числе с автокорреляционными функциями и спектральными плотностями мощности, см. A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. New York: McGraw-Hill, 1965
[2] J. Bernamont, Proc. Phys. Soc., 49 (extra part): 138, 1937.
[3] A. L. McWhorter, «1//noise and related surface effects in germanium», R.L.E. 295 and Lincoln Lab Tech Rep. 80, M.I.T., 1955.
[4] R. F. Voss, «1// (flicker) noise: A brief review», in Proc. 33rd Annu. Symp. Frequency Contr., Atlantic City, NJ, 1979, pp. 40-46.
[5] F. N. Hooge, «Ijf Noise», Physica, vol. 83B, pp. 14-23, 197fr.
[6] M. J. Campbell and B. W. Jones, «Cyclic changes in the insulin needs of an unstable diabetic», Science, vol. 177, pp. 889-891, Sept. 8, 1972.
[7] B. B. Mandelbrot and J. W. Van Ness, «Fractional brownian motions, fractional noises, and applications», SIAM Rev., vol. 10, no. 4, pp. 422-437, 1968.
(8j R. F. Voss and J. Clarke, «1// noise in music: Music from 1// noise», /. Accoust. Soc. Amer., vol. 63, no. 1, pp. 258-263, 1978.
(9) M. A. Caloyannides, «Microcycle spectral estimates of 1//noise in semiconductors», J. Appl. Phys., vol. 45, no. 1, pp. 307-316, 1974.
(10] B. B. Mandelbrot and J. R. Wallis, «Some long-run properties of geophysical records», Water Resources Res., vol. 5, no. 2, pp. 321-340, 1969.
[11] J. Clarke and T. Y. Hsiang, «Low frequency noise in tin and lead films at the superconducting transition», Phys. Rev. B, vol. 13, no. 11, pp. 4790-4800, 1976.
112] Вервен А. А., Дерксен Х. Э. Флюктуационные явления в нервной мембране. ТИП ЭР, 1968, т. 56, № 6, с. 20—30.
[13] В. В. Mandelbrot, «Some noises with 1//spectrum, a bridge between direct current and white noise», IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-13, no. 2, pp. 289-298, 1967.
[14] F. N. Hooge, «Discussions of recent experiments on 1//noise», Physica, vol. 60, pp. 130-144, 1972.
[15] M. S. Keshner, «Renewal process and diffusion models of 1// noise», Sc.D. thesis submitted to the Department of Electrical Engineering and Computer Science of the Massachusetts Institute of Technology, June 1979.
[16] Бейтман Г. и Эрдейи А. Таблицы интегральных, преобразований, т. 1. М.: Наука, 1969.

Кешнер М.С. Шум типа 1/f // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.10993, 10.02.2004

[Обсуждение на форуме «Наука»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru

Warning: include(/home/trinita2/public_html/footer.php) [function.include]: failed to open stream: No such file or directory in /home/trinita2/public_html/rus/doc/0016/001a/00160065.htm on line 401

Warning: include() [function.include]: Failed opening '/home/trinita2/public_html/footer.php' for inclusion (include_path='.:/opt/alt/php53/usr/share/pear:/opt/alt/php53/usr/share/php') in /home/trinita2/public_html/rus/doc/0016/001a/00160065.htm on line 401
>