Введение

1. Контур – простейшая структура электрической цепи

2. Законы Кирхгофа и математическое описание сложных электрических цепей

3. Раздельное использование системы уравнений Кирхгофа

4. Уравнение баланса мощностей электрической цепи

5. Особый случай уравнения баланса мощностей электрической цепи

6. Первое обращение к структуре при решении уравнений цепи

7. Структура цепи и вычисления определителей

8. Структура решений системы алгебраических уравнений

9. Метод Гаусса и решение систем уравнений с помощью цепных дробей

10. Структура схемных функций электрической цепи

11. Числовой индекс графа и его частей

12. Структура цепи и характеристический полином

13. Аксиоматический подход к изучению структуры цепей

14. Принцип взаимности и теорема Зеляха-Теллегена

15. Скрытая структура числа

16. Особенности численных методов решения

17. Переменные электрической цепи как понятие

18. Переменные состояния

19. Пример использования структуры при расчете

20. Заключение

Литература

Ерохов Игорь Васильевич (12.08.1939-11.05.2021)

1. В.В. Фролов, К 80-летию Ерохова И.В., сборник «Синтез, анализ и диагностика электронных цепей» Ульяновского государственного технического университета

2. Страница автора на сайте «Академия Тринитаризма»

Контакты

Электрические явления наблюдались людьми веками и достаточно долго изучались. В этом ряду надо числить проявления атмосферного электричества и явление электризации диэлектриков трением. Надо отметить, что статическое электричество изучалось с привлечением математических методов и дало много нового для понимания его природы. Но только неожиданное открытие контактной разности потенциалов, возникающая при совмещении различных по свойствам металлов, дало возможность создать реальный источник электричества. Основываясь на этом открытии, был сконструирован вольтов столб – источник постоянного тока.

Изучение «гальванического» электричества привело к бурному развитию всех «электрических» наук. Возникали новые термины, которые обозначали объекты исследования: электрический ток, электрическое напряжение. Они вызывали истинное удивление исследователей, т.к. объект изучения, например электрический ток, существовал только в замкнутой цепи. При разрыве цепи он удивительным образом «исчезал». Чтобы наблюдать этот объект дольше, В. Петров и Г. Ом, независимо друг от друга, стремились усовершенствовать вольтов столб, так как без надежного источника энергии опыты теряли смысл [1], [2]. Удача сопутствовала Петрову, который преобразовал вертикальный вольтов столб в горизонтальное бревно Петрова и получил источник с напряжением в несколько тысяч вольт. Только поэтому ему удалось открыть электрическую дугу.

И Петров, и Ом исследовали простейшую электрическую цепь – контур. Отметим, что Ом не ограничился простым контуром, содержащим один элемент и источник. Увеличивая число элементов контура, он стремился описывать каждый из них математически. Теория статического электричества предпочитала геометрический язык описания явлений как наиболее понятный. Г. Ом продолжил традицию и описал сложный контур геометрически с помощью потенциальной диаграммы. Однако никто из пионеров изучения гальванического электричества не поднялся на достаточный уровень общности, чтобы понять главное – условием существования электрического тока в схеме является наличие связной структуры электрической цепи.

Заполнить этот пробел они предоставили Г. Кирхгофу [3], [4]. В своей первой научной статье он сформулировал свои знаменитые законы, которые расположил в конце текста, в примечании [3]. В следующей статье [4] ученый применил эти уравнения для описания электрической цепи произвольного размера. Стоит отметить, что в этой статье Кирхгоф впервые изобразил электрическую схему с помощью графа.

Даже Максвелл не понял значения уравнений Кирхгофа, считая, что первый закон очевиден и не нуждается в доказательстве, а второй закон открыт Г. Омом. Кирхгоф сформулировал законы электрических цепей в форме математических утверждений, каждое из которых доказывается как теорема (der Satz). Уравнения Кирхгофа описывают фрагменты структуры электрической цепи, т.е. контура и узлы. В дальнейшем, ветви узлов и контуров были определены как схемные множества, что закрепило за ними роль элементов структуры цепи [5].

Простые уравнения, записанные в упорядоченной форме, содержали еще один сюрприз. Надо отметить, что к моменту написания статьи [4] понятие матрицы еще не было сформулировано, однако в упорядоченной записи систем уравнений ее можно было увидеть. Даже матрицы инциденций просматривались в записи систем уравнений благодаря введению коэффициентов α. Для этого было достаточно подставить численные значения этих коэффициентов, которые Кирхгоф задал множеством всего из трех членов: 0, 1, -1. Каждое из чисел фиксировало факт отсутствия или наличия (с разным знаком) слагаемых в любом уравнении Кирхгофа.

В современной теории электрических цепей матрицы контурных [B] и узловых [A] инциденций стали привычными математическими объектами. Их используют для записи структуры электрической цепи при «ручном» и «машинном» составлении уравнений математической модели электрической (электронной) схемы. В транспонированном виде они могут служить тензорами, связывающими, например, напряжения (потенциалы) узлов и напряжения ветвей, значений контурных токов и токов ветвей [6].

Роль структуры электрической цепи при построении математической модели сегодня является общепризнанной, а ролью структуры при нахождении решений системы уравнений исследователи обычно не интересуются. Без сомнения, логично ожидать, что решения системы уравнений структурированного объекта должны отражать структуру его математической модели. Однако, численные методы, применяемые сегодня при решении систем дифференциальных уравнений, не способствуют таким исследованиям, т.к. считается, что главное получить численные значения переменных, а остальное никого не должно интересовать. Напомним, что любое число имеет свою структуру, которую просто надо уметь вскрыть.

Настоящая работа является попыткой обратить внимание специалистов на исключительную роль структуры как при составлении системы уравнений электрической цепи, так и при ее решении.

формате PDF (2913Кб)