от Редакции АТ

Предлагаем вниманию читателей АТ оглавление и введение книги А. Ю. Хренникова. Желающие прочитать ее полностью могут найти ее в Интернете или заказать в печатном виде. В этой книге с помощью p-адического анализа прокладывается дорога в мир мысли, что позволяет не отделять его от вещественного мира и не противопоставлять ему. Однако этот подход чисто математический, не содержащий ответа об источнике и структуре движения ни в пространстве мысли, ни в пространстве вещества. В работе «Тайны нового мышления» (В.Ю. Татур, М, 1990 г) было предложено рассматривать р-адическое разложение как мост, соединяющий слабую метрику (ей можно сопоставить ментальное пространство) и мир протяженности и длительности, возникающий из этой слабой метрики. В этом смысле р-адический анализ показывает лишь путь становления мысли, а не ее субстанцию. Он описывает процесс превращения слабой метрики в вещество и наоборот. Стоит отметить расширительное трактование в книге понятия "духовное" и приравнивание его к мыслительным процессам и образам мышления. Это - следствие отсутствия описания процессов становления, когда нет и не возникает генетической связи между понятиями. Вместе с тем, обращение к р-адическому анализу для описания ментальных процессов таких математиков, как А.Ю.Хренников, показательно и очень многообещающе.

Книга посвящена математическому моделированию процессов мышления с помощью динамических систем на р-адических деревьях и более общих ультраметрических ментальных пространствах. Рассматриваются приложения к психологии (включая психоанализ Фрейда) и когнитивным наукам.

Для научных работников и студентов старших курсов, специализирующихся в математике, физике, психологии, когнитивных науках.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Динамическая модель мышления на иерархических деревьях

1.1. Ультраметрические пространства

1.2. Системы р-адических чисел

1.3. Ментальное пространство

1.4. Системы динамического мышления и психологическое поведение

1.5. Динамические системы на р-адических деревьях

1.6. Иерархическая структура системы кодирования в мозге и процессы обратной связи

1.7. Физиологические, психологические и информационные параметры

1.8. Случайные динамические системы и процесс мышления

1.9. Обучение, привыкание, секс и пища

1.10. Психологические функции

Глава 2. Ментальная иерархия: динамика ассоциаций и идей

2.1. Иерархические цепи нейронов и кодирование информации

2.2. Динамика информационных состояний, ассоциаций и идей

2.3. Как мозг играет в кости?

2.4. Ассоциативное и целенаправленное мышление

Глава 3. Обработка бессознательной и осознанной информации

3.1. Информационное строение мыслящих систем

3.2. Скрытые запретные желания, психоанализ

3.3. Порог блокировки: реализация на уровне аппаратного или программного обеспечения?

3.4. Сублимация

Глава 4. Связь с нейро-и психофизиологией

4.1. Модель с несколькими базами данных

4.2. Анализатор подсознания

4.3. Интегральные идеи, интерференция

4.4. Истерические проявления интерференции между психологическими и социальными процессорами

4.5. Информационная френология; свободная воля

4.6. Префронтальная кора головного мозга: ассоциации и целенаправленное поведение

4.7. Вознаграждаемый выбор и его зависимость от лобных ампутаций

4.8. Базы данных рабочей памяти

4.9. Чувственное мышление животных

4.10. Чувственное мышление человека

4.11. Расстройства префронтальной коры и повреждения компаратора

4.12. Психофизиологические исследования

Глава 5. Поле сознания

5.1. Классическая когнитивная механика

5.2. Поле сознания

5.3. Коллективное подсознание и сознание

5.4. Связь между ментальными и физиологическими процессами

5.5. Психоанализ Фрейда как реконструкция поля сознания

5.6. Математические модели материальных и ментальных пространств: вещественные и р-адические числа

5.7. Гамильтонова динамика на р-адическом ментальном пространстве

5.8. Инерция информации

5.9. Информационная квантовая механика

5.10. р-адическая теория ведущей волны: социальная динамика, естественный отбор по Дарвину

5.11. Поле сознания как поле активации памяти

5.12. Полная галлюцинация просто невозможна?

5.13. Работа информации, законы сохранения

5.14. Механика систем информационных преобразователей, связи на информационных пространствах

5.15. Классическая информационная механика, социальные и аномальные явления

Глава 6. Ультраметрическая геометрия ментального пространства

6.1. Ультраметричность как проявление когнитивности

6.2. Бесконечная «вертикальная иерархия» ассоциаций-идей и загадка сознания

6.3. Топологическое обоснование нарушения материалистиче¬ского постулата в науках о мышлении

6.4. Универсальная мыслящая система

6.5. Геометрия пространства ассоциаций от...от ассоциаций

6.6. Бесконечная информационная емкость конечных мыслящих систем

6.7. Параллельные потоки информационных состояний, ассоциации и идеи, примеры

Глава 7. Факты из математики

7.1. m-адические числа

7.2. Мономиальные динамические системы

Глава 8. Случайность и мышление

8.1. Корни из единицы

8.2. Случайные динамические системы

8.3. Асимптотическое поведение, динамика на аттракторе, примеры

8.4. Следствия для наук о мышлении

Глава 9. Динамика в пространстве идей

9.1. Динамика в псевдометрических пространствах множеств

9.2. Существование аттракторов

9.3. Мышление с постоянной четкостью ассоциаций

9.4. Мышление с возрастающей четкостью ассоциаций

9.5. Неравенство треугольника для псевдометрики Хаусдорфа

Список литературы

Предметный указатель

Введение

Однажды много лет назад Декарт, взглянув через зарешеченное окно на росший во дворе дуб, понял, что с помощью оконной решетки можно задать числами положения частей дуба: ствола, ветвей, листьев, — оцифровать дуб. Уменьшая размер ячеек решетки, можно получить оцифровки дуба, содержащие все больше и больше деталей. Декарт воскликнул: «Эврика!» (или еще что-то в этом роде) и создал прямоугольную декартову систему координат. Это был момент величайшего значения в математизации физики. Любой материальный объект мог быть закодирован с помощью декартовых координат. Описание движения этого объекта могло быть представлено в виде функциональных преобразований декартовых координат. Можно сказать, что был создан числовой образ физического пространства.

Следует отметить, что создание точной математической модели для оцифровки физического пространства требовало еще очень много усилий и времени. Нужно было создать математическую структуру, в которой процесс уменьшения размеров декартовой решетки мог продолжаться до бесконечности, гарантируя в пределе бесконечную точность цифрового представления материальных объектов. Соответствующая математическая структура известна в настоящее время как поле вещественных чисел R. Для оцифровки физического пространства используется декартово произведение R³ = R х R х R. Напомним, что вещественные числа прошли долгий путь от «глухих чисел» (numeri surdi в Liber abaci Леонардо Пизанского, 1202) или «выдуманных чисел» (numeri ficti) до «реальных чисел» (real numbers). Только в Arithmetica integra Михаиля Штифеля (1544) им было дано условное значение чисел и присвоено имя irrationales numeri, причем Штифель в конце концов приходит к выводу irrationales numerus поп est verus numerus, т.е. что иррациональное число не есть истинное число ¹⁾. Только в XIX веке, благодаря работам Кантора и Дедекинда, было создано строгое математическое описание вещественных чисел. Заметим, что камнем преткновения являлись иррациональные числа √2, π,... Реальность рациональных чисел, представляемых отношениями целых чисел, не вызывала больших сомнений. Таким образом, основной проблемой являлось расширение (пополнение) множества рациональных чисел Q до множества вещественных чисел Н. Иррациональные числа не могут быть описаны с помощью конечных процессов. Здесь действительно возникает элемент иррациональности. Интересно, что П. А. Флоренский сравнивал процесс построения иррационального числа с процессом «приближения к Богу». Вообще, можно согласиться с высказыванием Д. Пуанкаре: «В итоге можно сказать, что разум обладает способностью создавать символы; благодаря этой способности он построил математическую непрерывность (т.е. поле вещественных чисел), которая представляет собой только особую систему символов» ²⁾.

В дальнейшем нас будет серьезно интересовать следующий вопрос: «Является ли поле вещественных чисел R единственным «естественным» расширением поля рациональных чисел Q?» Мы увидим, что существуют другие расширения поля Q, а именно — поля р-адических чисел Q_p, которые возникают не менее естественно, чем R. Таким образом, отталкиваясь от рациональных чисел, разум может создавать и другие системы символов, отличные от вещественных чисел. В этой книге предлагается использовать эти новые системы чисел — р-адические числа — для описания разума ³⁾. Но пока вновь вернемся к описанию мира с помощью вещественных чисел.

***

¹⁾ Подробное обсуждение становления реалистического взгляда на вещественные числа можно найти в книге П. А. Флоренского [75].

²⁾ Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983.

³⁾ Конечно, возникает весьма интересная проблема, которая на протяжении столетий обсуждается философами, психологами, нейрофизиологами, логиками, математиками: «Может ли разум в принципе создать систему символов, описывающую его самого?» В целом предлагаемая книга дает положительный ответ на этот вопрос.

***

Таким образом, «реальность» вещественной декартовой модели R³, используемой для описания движения материальных тел, является результатом многовековой научной эволюции.

Благодаря успешному развитию ньютоновской механики¹⁾ , выкристаллизовалось понятие физического пространства, отождествляемого с пространством R³.

Используя R³-модель, удалось адекватно описать широкий круг явлений в мире материи. Была создана так называемая классическая физика. Однако уже в начале XX века стало ясно, что некоторые физические явления невозможно описать в физическом пространстве R³. Адекватное описание явлений возможно только в комплексном гильбертовом пространстве H, которое и играет роль координатного пространства в квантовой физике. Таким образом, даже материальный мир не может быть полностью описан с помощью вещественной декартовой модели. Нужны другие системы координат и, в частности, гильбертова система координат ²⁾.

***

¹⁾ Напомним, что в XVIII веке учение Ньютона распространялось по Европе как форма религии и, например, во Франции имели место «Ньютоновские богослужения».

²⁾ В теории относительности используются так называемые криволинейные системы координат. Однако мы не рассматриваем введение таких систем координат как революционный шаг. Здесь все равно локально получаем области вещественного декартова пространства.

***

Как мы уже обсуждали, довольно естественно создать числовое представление не только для материальных, но и для духовных объектов: идей, ассоциаций, мыслей. Остается только выбрать соответствующую систему духовных координат.

Конечно, можно попытаться использовать для описания духовного мира ту же систему координат, что использовалась и для описания материального мира. И по этому пути идет подавляющее большинство исследователей. В частности, в сотнях лабораторий по всему миру (с помощью все более и более совершенных магнитно-резонансных приборов) создаются все более и более точные вещественные декартовы карты активации нейронов в головном мозге. Это интересный вид деятельности. Однако мне не верится, что он может привести к пониманию духовных процессов. В последнее время так же проводятся многочисленные исследования по созданию квантовых моделей работы мозга. В принципе, это правильное направление. Убедившись, что дух невозможно вложить в R³, стоит попытаться вложить его в гильбертово пространство H. Однако подавляющее большинство квантово-ментальных исследований базируется на крайне сомнительном постулате редукции: духовные процессы могут быть сведены к квантовым физическим процессам в микромире. Например, Роджер Пенроуз, см. [150], пытается свести акт мышления к гравитационному коллапсу. В моей работе ¹⁾ приведены серьезные критические аргументы против квантово- физической редукции духа. Квантовые модели могут использоваться для описания духа (см., например, гл. 5 этой книги о бомовской квантовой модели сознания), но они не должны быть основаны на постулате редукции. Квантовое поведение духа ²⁾ есть следствие его специфической информационной структуры, и не эффект квантового поведения микроскопических составляющих человеческого мозга.

***

¹⁾ Khrennikov A. Quantum-like formalism for cognitive measurements // Biosystems. 2003. V. 70. P. 211-233; см. также e-Print archive: quant-ph/0111006, vl, v2, 2001.

²⁾ В работе автора e-Print archive: quant-ph/0205092, vl, v2, 2002, были описаны эксперименты по проверке квантовой статистики мыслей. Эти эксперименты были проведены в НИИ радиологии университета Бари, Италия, профессором Элио Конте и могут рассматриваться как серьезный аргумент в пользу квантового духа.

***

Однако квантовые модели духа не являются основным предметом исследований, представленных в этой книге (тем не менее см. гл. 5). Это, в общем-то, следующий этап исследований. 15 этой книге я хотел реализовать духовный аналог программы Декарта-Ньютона, создать классическую психофизику.

Итак, мы должны создать математическую модель ментального (духовного) пространства, выбрать соответствующую систему координат.

Важнейшей чертой вещественного континуума является его однородность. Все точки физического пространства (с моделью R³) равноправны. Мы не можем сказать, что одна точка важнее другой. Однако дух неоднороден! Мы не можем сказать, что все человеческие мысли, идеи, понятия, чувства равноправны. Более того, дух иерархичен! Существует четко выраженная иерархия понятий, образов, чувств. Однако полной упорядоченности в ментальном пространстве нет. Невозможно иерархически упорядочить все понятия, образы, чувства. Существуют несопоставимые («несоизмеримые») духовные объекты.

Вернемся к декартову дубу и рассмотрим его не через прямоугольную решетку окна, а с точки зрения иерархии частей дуба. С некоторым удивлением обнаружим, что наилучший способ иерархической кодировки дерева состоит в использовании самой структуры дерева в качестве координатной сетки. Корень дерева занимает наивысшее положение в древесной иерархии. Иерархический вес убывает по мере удаления от корня, см. гл. 1. Заметим, что для широкого класса деревьев древесную систему координат можно оцифровать. В частности, если дерево р-однородно (где р ≥ 2 — некоторое натуральное число), т. е. из каждой точки ветвления выходит ровно р новых ветвей, то такое дерево (при бесконечном продолжении процесса ветвления) будет описываться системой р-адических чисел Q_p. В математической литературе обычно рассматривают р-адические деревья для простых чисел р (= 2, 3,..., 1999,...). В этом случае на Q_p можно ввести структуру числового поля. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить ветви р-адического дерева. Более того, на таких деревьях развиты дифференциальное и интегральное исчисления, во многом аналогичные исчислениям на вещественной прямой. Поэтому, чтобы упростить математические рассуждения, в этой книге мы рассматриваем в основном р-адические деревья для простых р.

Таким образом, если бы Декарт в XVII веке заинтересовался не вложением дуба в однородное вещественное «физическое» пространство, а внутренней иерархической геометрией дуба, то, возможно, что вместо прямоугольной системы координат он бы открыл древовидную р-адическую систему координат.

Как мы уже отмечали, важнейшими свойствами R-системы координат является однородность и бесконечная делимость (непрерывность). Предполагается, что все точки вещественной прямой R обладают равными правами, и что процесс уменьшения размеров декартовой сетки может продолжаться бесконечно. Так что здесь мы имеем бесконечную точность представления, возрастающую по мере уменьшения размеров сетки. Однако Qp-система координат неоднородна. Существует жесткое иерархическое упорядочивание элементов дерева: корень, ствол, ветви, ответвления, листья. С другой стороны, р-адическое дерево также бесконечно-делимо (непрерывно). Процесс деления некоторого элемента иерархии на элементы все более и более низкой иерархии может продолжаться бесконечно. Таким образом, существуют два континуума: однородный вещественный и иерархический р-адический.

Подчеркнем еще одно фундаментальное отличие вещественного и р-адического пространств. Вещественная прямая (как и декартовы произведения вещественных прямых) является связным пространством. Вещественную прямую нельзя разбить на дне части, не имеющие общей границы. Например, если мы разобьем прямую на два полубесконечных интервала (—∞,0) и [0, +∞), то граничной точкой является 0. Заметим, что интервал (—∞,0) является открытым, т.е. он не содержит своей границы (точки 0). А интервал [0,+∞) является замкнутым, он содержит свою границу (точку 0). Аналогично определяются открытые и замкнутые множества в общем случае. Связное пространство можно определить как пространство, которое нельзя представить в виде объединения двух множеств, в одно и то же время и открытых, и замкнутых и имеющих пустое пересечение (и так оно определяется в современной науке об абстрактных свойствах пространства топологии). Однако для нас важна связность как наличие общей границы. Аристотель называл такое свойство пространства непрерывностью и считал, что это одно из фундаментальных свойств физического пространства¹⁾.

***

¹⁾ В современной математике фундаментальным понятием является не непрерывность пространства, а непрерывность функции.

***

Заметим, что р-адические пространства не являются связными (с точки зрения Аристотеля они не непрерывны). Любое p-адическое дерево можно разбить на две части, не имеющие общей границы или, что эквивалентно, на две непересекающиеся части, являющиеся одновременно и открытыми, и замкнутыми. Я думаю, что читатель будет потрясен, узнав, что именно это топологическое свойство рассматривалось Аристотелем как фундаментальное свойство духовных пространств. Но мы обсудим воззрения Аристотеля на топологические свойства физического пространства и пространства духа несколько позднее в общем контексте представления духовных объектов с помощью числовых систем — Платон, Аристотель, Лейбниц, ..., Хренников, ...

Удивительный математический результат дает знаменитая теорема теории чисел — теорема Островского, утверждающая, что третьего «естественного континуума» не существует. Под естественным мы понимаем здесь континуум, являющийся пополнением множества рациональных чисел Q и числовым полем. И R, и Q_р, р — простое, являются числовыми полями, пополняющими поле рациональных чисел Q. Здесь мы не будем вдаваться в детали вложения Q в Q_p, т.е. представления рациональных чисел некоторым множеством ветвей р-адического дерева, см. гл. 1. Таким образом, в силу теоремы Островского любое пополнение поля Q, являющееся полем, — это либо поле вещественных чисел R, либо одно из полей р-адических чисел Q_р, р — простое.

Лично я отношусь к теореме Островского с почти религиозным трепетом, считая, что это знак свыше, указывающий, что природа состоит из двух и только двух частей. Одна из них описывается вещественными числами, а другая р-адическими. Мы уже хорошо знаем, какая часть природы описывается вещественными числами, а именно — движение макроскопических материальных объектов. Классическая физика — это вещественная физика. Предстоит понять, какая же часть природы описывается р-адическими числами.

В 1984 г. B.C. Владимиров и И.В. Волович предположили, что р-адические числа могут быть использованы для описания пространства на фантастически малых расстояниях, так называемых планковских расстояниях ~10^-34 см. В 1987 г. И. В. Волович предложил использовать р-адическое пространство в теории струн. Работа И.В. Воловича в журнале «Классическая и квантовая гравитация» вызвала настоящий шквал публикаций по р-адическим струнам (Фрейнд, Виттен, Олсон, Владимиров, Арефьева, Фрамптон, Окада, Драгович, Паризи, Маринари, ...). Следует подчеркнуть, что для Владимирова и Воловича определяющей чертой р-адической координаты была не иерархическая древообразная структура, а нарушение аксиомы Архимеда в Q_p. Напомним, что в R аксиома Архимеда выполняется: для любых двух положительных вещественных чисел I и L можно найти такое натуральное число n, что имеет место неравенство

(n-1)l ≤ L < nl

По существу, Владимиров и Волович выразили в четкой математической форме неясные представления о неархимедовости (и неупорядоченности) пространства в микромире, витавшие на протяжении десятилетий в космологии, теории гравитации и теории струн. С другой стороны, Владимиров и Волович впервые четко обозначили роль рациональных чисел в физике и отделили использование рациональных чисел от более общих вещественных. В традиционной классической физике рациональные числа никогда не выделялись, все процессы рассматривались в R. Впервые было подчеркнуто, что лишь рациональные числа являются физическими числами. Действительно, в любом эксперименте можно измерить лишь конечное число знаков после запятой. Поэтому такие числа, как √2 или π являются символами, обозначающими бесконечные измерительные процессы (ср. с приведенной выше цитатой из книги Анри Пуанкаре).

Таким образом, развивая любую физическую теорию, следует стартовать с поля рациональных чисел Q, которому принадлежат все экспериментальные данные, а затем пополнять Q, строя математическую модель. В силу теоремы Островского такая программа может быть реализована только двумя способами: вещественным или р-адическим.

Напомним (и это еще не было отмечено), что существует бесконечно много различных р-адических представлений. Поля р-адических чисел для различных простых р неизоморфны. Таким образом, 2-адическое описание не эквивалентно 3-адическому. Неизоморфность различных полей Q_p порождает очень серьезную проблему при построении р-адических моделей микромира: какое простое число р следует выбрать для системы координат в планковском мире?

Полной ясности в этом вопросе нет до сих пор. Действительно, было бы несколько странно, если бы микромир оказался, например, 1999-адичсским. Одним из решений этой проблемы является рассмотрение не р-адической системы координат для фиксированного простого р, а адельной системы координат. Адельная координата содержит и вещественную, и все р-адические координаты.

В дальнейшем Владимиров и Волович выдвинули принцип инвариантности физических моделей относительно выбора числового поля, используемого в качестве основания системы координат. Таким образом, предлагалось рассматривать не только пополнения поля рациональных чисел Q. но и более общие поля. Отметим, что, например, р-адический аналог С_р поля комплексных чисел С является бесконечномерным линейным пространством над Q_p. На теоретическом уровне принцип инвариантности был подтвержден исследованиями, изложенными в монографиях [107, 108, 111], см. также статьи автора [105, 109, 110]. В этих работах практически все модели математической физики над R были обобщены на случай произвольного числового поля К. Несмотря на развитие мощного теоретического аппарата над р-адическими (и более общими) числовыми полями, какие-либо экспериментальные данные, поддерживающие р-адическую модель физического пространства на планковских расстояниях, отсутствуют. Однако не следует рассматривать отсутствие экспериментальных данных как свидетельство неадекватности р-адической модели. Физические р-адические модели тесно связаны с такими фундаментальными физическими теориями, как гравитация, космология, теория струн, которые в свою очередь еще очень далеки от полного экспериментального подтверждения.

Тем не менее, после написания монографии [107] в 1994 г. я стал задумываться над тем, что, возможно, р-адические координаты описывают какую-то другую часть природы, отличную от микромира. В это время впервые после революции на русском языке были опубликованы труды Зигмунда Фрейда. Читая его книги, я загорелся идеей создать математическую теорию, описывающую психологическое поведение и, в частности, формализирующую психоанализ. Старт с трудов Фрейда, а не с исследований по нейрофизиологии и когнитивным наукам, сыграл фундаментальную роль в моих дальнейших исследованиях. Начни я с современной нейрофизиологической и когнитивной литературы, я бы постепенно погряз в R³-картах мерцания возбужденных нейронов, работе нейронных сетей, потоках электричества в мозге, т. е. был бы автоматически вовлечен в использование для исследования духовных процессов вещественной декартовой системы координат (развитой для исследования материи). Однако Зигмунд Фрейд не писал о функционировании нейронных систем. Он описывал потоки идей, представлений и желаний, причем эти духовные объекты в фрейдиском описании не менее реальны, чем материальные объекты. Духовные объекты эволюционируют, взаимодействуют друг с другом; здесь активно действуют духовные силы. Например, одна из таких сил вытесняет сильные (часто шоковые), но запретные переживания в область бессознательного, создавая тем самым комплексы. Комплексы в свою очередь индуцируют силы, действующие из подсознания на потоки осознанных идей. Интуитивно было ясно, что мы имеем дело с динамикой в духовном (ментальном) пространстве, весьма схожей с динамикой материальных объектов в физическом пространстве. Необходимо было лишь ввести соответствующую систему духовных координат и математически описать ментальные потоки. Из соображений, которые уже приводились выше, я сразу отмел возможность использования R³-модели. Как уже отмечалось, духовное пространство не является однородным; оно также не является упорядоченным: мы не можем сравнить два произвольных духовных объекта. С другой стороны, в духовном мире существует четкая иерархическая структура. Заметим, что неупорядоченность вполне согласуется с иерархичностью. Для двух духовных объектов х и у всегда существует некоторый духовный объект г, который стоит в иерархической системе выше х и у. Однако при этом х и у могут быть несравнимы между собой.

Имея огромный опыт работы в р-адической физике, я сразу обратил внимание на то, что р-адические деревья удовлетворяют вышеприведенным требованиям к духовным пространствам. Так была введена р-адическая духовная система координат, см. монографию [111]. Заметим, что мотивации использования р-адических чисел для описания духа существенно отличны от мотиваций использования их для описания физического пространства в микромире. Для нас важнейшую роль играет древовидная структура, а не аксиома Архимеда или расширение поля рациональных (физических) чисел.

Итак, я предлагаю использовать ветви р-адических деревьев Qв качестве ментальных координат. В простейшей модели духовное пространство математически представляется как декартово произведение р-адических деревьев Q_pⁿ = Q_p х ... х Q_p.

Можно посмотреть на эту конструкцию с другой точки зрения. По существу, предлагается занумеровать все духовные объекты, используя р-адические числа. Это дает возможность описать духовные процессы с помощью анализа в р-адических числовых полях. Отметим, что идея установления соответствия между духовными структурами и числами имеет тысячелетнюю историю и восходит, по-видимому, к Платону ¹⁾ .

***

¹⁾ «Мифологизирующим отождествлением идей с числами в последних сочинениях Платона выражается пафос всякого демифологизирования: число стало каноном Просвещения», — Хорк-Хаймер Л1, Адорно Т.В. Диалектика просвещения. Философские фрагменты. — М.; СПб: Медиум-Ювента, 1997.

***

В дальнейшем идеи Платона были переосмыслены Аристотелем. Затем Лейбниц также пытался описать духовный мир, сопоставляя понятия и числовые значения. Таким образом, предложенная автором р-адическая нумерация духовных объектов может рассматриваться как новая модель в духе Платона, Аристотеля, Лейбница.

Учитывая огромную роль, которую идеи Аристотеля сыграли в дальнейшем развитии науки, рассмотрим более детально его взгляды па соотношения между числами, духовными объектами и физическими объектами. Фундаментальным литературным источником являются «Категории». В течение тысячелетий «Категории» анализировались тысячи раз с точки зрения философии и логики. Мы же (по-видимому, впервые за тысячи лет) собираемся провести математико-когнитивный анализ «Категорий». С этой точки зрения фундаментальную роль играет гл. 6 «Количество»: «Что касается количества, то одно раздельно, другое непрерывно, и одно состоит из частей, имеющих определенное положение по отношению друг к другу, а другое — из частей, не имеющих такого положения. Раздельны, например, число и слово, непрерывны — линия, поверхность, тело, а кроме того, время и место. В самом деле, у частей числа нет никакой общей границы, где соприкасались бы его части; так, например, если пять есть часть десяти, то пять и пять не соприкасаются ни на какой общей границе, а стоят раздельно; также три и семь не соприкасаются ни на какой общей границе. И вообще у числа нельзя указать общую границу его частей; они всегда стоят раздельно, поэтому число принадлежит к раздельным количествам. И таким же образом и слово принадлежит к раздельным количествам. Линия же непрерывна, ибо можно указать общую границу, где соприкасаются ее части, — точку, а у поверхности — линию: ведь части плоскости соприкасаются на некоторой общей границе. Таким же образом и у тела можно указать общую границу — линию или поверхность, где соприкасаются части тела. Также и место и время принадлежат к таким количествам: настоящее время соприкасается с прошедшим временем и с будущим. В свою очередь и место принадлежит к непрерывным количествам: ведь части тела, которые соприкасаются на некоторой общей границе, занимают определенное место; стало быть, и части места, которые занимает каждая из частей тела, соприкасаются на той же границе, где соприкасаются и части тела. Поэтому и место, можно сказать, непрерывное количество: ведь его части соприкасаются по одной общей границе».

Отметим, что под числами Аристотель понимал натуральные числа (1,2,3…). Как уже отмечалось, понятие вещественного числа (соответствующего точке прямой линии) было выработано только в конце XIX века. Во времена Аристотеля оцифровка точек прямой или плоскости казалась невозможной. Прошли еще сотни и сотни лет, пока Декарт взглянул в зарешеченное окно и оцифровал пространство.

Аристотель, по существу, говорит об оцифровке духовных объектов, например слов. Он подчеркивает, что с количественной точки зрения натуральные числа и духовные объекты весьма близки, и они фундаментально отличны от непрерывных физических структур. Вообще, удивительно, что в главе «Количество» слова (как представители духовных объектов) появляются уже во втором предложении и постоянно обсуждаются с количественной точки зрения.

Итак, по Аристотелю числа (натуральные) и слова составляют один класс объектов, а линии, поверхности, тела — в общем, элементы физического пространства — другой, совершенно отличный класс объектов. Основным характеристическим свойством физических объектов является непрерывность. С современной топологической точки зрения весьма интересно, как Аристотель определяет непрерывность. По Аристотелю объект непрерывен, если всегда можно указать общую границу, где соприкасаются его части. Как уже отмечалось, в современной топологии пространства такого типа называются связными. Связное пространство нельзя представить в виде объединения двух («достаточно хороших») частей, не имеющих общей границы. Пространство же, которое можно разбить на части, не имеющие общей границы, называются несвязными. По существу, Аристотель писал, что числа (натуральные) и слова составляют несвязные топологические пространства. В несвязном пространстве мы не можем соединить любые две точки непрерывной траекторией. По Аристотелю в мире духовных объектов мы не можем перейти от одного объекта к другому по непрерывной траектории. Значит, каждый шаг в развитии духа представляет собой скачок, сингулярность.

Более того, пользуясь современной математической терминологией, мы можем сказать, что Аристотель имел в виду, что пространства чисел и духа являются вполне несвязными топологическими пространствами, т.е. любое их подпространство тоже несвязно.

Заметим, что натуральные числа могут быть вложены в любое р-адическое дерево. Как уже отмечалось, даже рациональные числа могут быть вложены в р-адические числа. А р-адиче- ские пространства являются вполне несвязными. Таким образом, р-адические топологические пространства дают адекватное математическое представление идеи Аристотеля о «раздельности чисел». Более того, поскольку аристотелевское духовное пространство по своим топологическим свойствам не отличается от пространства чисел, то было бы естественным использовать р-адические пространства как модели духовных пространств. После всего вышеизложенного читатель согласится, что идеи Аристотеля могли бы служить базисом для построения р-адических духовных пространств. Впрочем Аристотель писал о более общих топологических духовных пространствах, а именно — о роли вполне несвязных пространств в описании духовного мира. Заметим, что в гл. 6 нашей книги мы рассматриваем широкий подкласс вполне несвязных пространств, а именно — ультраметрические пространства. Но, в принципе, класс «аристотелевских духовных пространств» существенно шире. Могут существовать вполне несвязные духовные пространства, на которых невозможно ввести метрику — расстояние.

Далее Аристотель обсуждает другое важнейшее отличие физических количеств, а также числовых и духовных количеств, а именно — наличие порядковой структуры в физическом пространстве и отсутствие ее в числовых и духовных пространствах: «Далее, одни количества состоят из частей, имеющих определенное положение по отношению друг к другу, а другие — из частей, не имеющих такого положения; так, части линии имеют определенное положение по отношению друг к другу: ведь каждая из них расположена где-то, и можно было бы различить и указать, где каждая находится на плоскости и с какой частью из остальных она соприкасается. Точно так же имеют определенное положение и части плоскости: можно точно так же указать, где находится каждая из этих частей и какие части соприкасаются друг с другом. И равным образом — части тела и части места. У числа же нельзя было бы показать, каким образом его части имеют определенное положение по отношению друг к другу, или где они находятся, а также какие части соприкасаются друг с другом. Нельзя это показать и у частей времени: ведь ни одна часть времени не неподвижна; а как может то, что не неподвижно, иметь определенное положение? Скорее можно было бы сказать, что время имеет некоторый порядок в том смысле, что одна часть времени существует раньше, а другая — позже. Точно так же обстоит дело и с числом — в том смысле, что один указывают в счете раньше, чем два, а два — раньше, чем три; и именно в этом смысле у числа имеется, пожалуй, некоторый порядок, а положение (для него) вовсе нельзя указать. И точно так же произнесенное слово: ни одна часть его не неподвижна, а каждая уже сказана, и ее уже нельзя ухватить; поэтому у частей слова нет положения, раз ни одна из них не неподвижна. Итак, одни количества состоят из частей, имеющих определенное положение, другие — из частей, не имеющих положения».

Заметим, что следует отличать положение частей (некоторого более общего объекта) по отношению друг к другу и положение части по отношению к объекту. Аристотель обсуждает положение частей. По существу, он пишет, что отношения порядка, основанного на взаимном расположении равноправных частей в мире духа (и натуральных чисел), нет. Остается только удивляться, до чего же хорошо р-адическая модель «ложится» на философию Аристотеля: точно также невозможно ввести порядковую структуру на множестве р-адических чисел. Это множество неупорядочено. В отличие от числовой прямой на р-адическом дереве существуют несравнимые части.

В то же время на р-адическом дереве существует жесткая иерархия, основанная на положении части по отношению к более общему объекту. Я рассматриваю древовидную структуру этой иерархии в качестве важнейшей отличительной черты духовных пространств. Заметим, что, например, на прямой или плоскости тоже существует иерархия по отношению к включению в более общий объект. Но эта «физическая иерархия» не является древовидной.

В заключение отметим, что Аристотель причисляет и время к количествам, у которых части не имеют определенного положения по отношению друг к другу. Однако мы не в состоянии предложить математическую модель, которая была бы адекватна аристотелевскому времени. Аристотелевское время является «монстром» с точки зрения математики. С одной стороны, время является непрерывным (как и все физические объекты). Но, с другой стороны, оно неупорядочено. В каком-то смысле аристотелевское время — это гибрид физического и духовного, что само по себе выглядит весьма привлекательно. Однако непрерывный в смысле Аристотеля континуум — вещественная прямая — является упорядоченным. А неупорядоченные р-адические деревья не являются непрерывными в смысле Аристотеля, так как они вполне несвязны. Таким образом, вопрос о выборе адекватной математической структуры для описания аристотелевского времени остается открытым. Кандидатом на роль аристотелевского времени может быть, например, двумерное время, описываемое вещественной плоскостью. Заметим, что такие модели времени рассматриваются в теории гравитации и космологии. В нашей же модели мы рассматриваем наряду с вещественным физическим временем р-адическое ментальное (или психическое) время.

В монографии [111] было предложено описывать эволюцию духовных объектов, т.е. движение в духовном пространстве Q_pⁿ, с помощью р-адических динамических систем. В этой же монографии были заложены основы теории этих систем. Это модель мышления, не основанного на правилах логики. Конечно, логическое мышление не исключается из рассмотрения. Некоторые динамические системы могут моделировать и логические рассуждения. Но многие динамические системы моделируют интуитивное мышление. Хотя, возможно, следует говорить о развитии новой логики — логики динамических систем.

Напомним, что дискретные динамические системы задаются итерациями отображений — в нашем случае из р-адического дерева в себя, а непрерывные динамические системы задаются дифференциальными уравнениями — в нашем случае на р-адических деревьях. В частности, описание движения духовных объектов в пространстве Q_p^m с помощью дифференциальных уравнений очень схоже с описанием движения материальных объектов в пространстве R^m (ньютоновская механика или гамильтонова механика).

В этой книге, следуя З. Фрейду, мы делим духовный мир на области сознания и бессознательного. Вышеописанная модель динамического мышления описывает бессознательные процессы. В гл. 5 человеческое сознание моделируется с помощью поля так называемой ведущей волны (термин из квантовых моделей Луи Де Бройля и Дэвида Бома) на духовном пространстве. Рассматриваемое поле (ведущая волна) сознания является чисто информационным полем. В частности, оно не переносит «настоящей физической энергии». Одной из важнейших отличительных черт стандартной теории ведущей волны, используемой в обычной «физической» квантовой механике, является нелокальность. Квантовые частицы, находящиеся на огромных расстояниях друг от друга, могут взаимодействовать с помощью так называемого квантового потенциала при полном отсутствии классических взаимодействий. Наша р-адическая модель наследует нелокальность, присущую стандартной R-модели ведущей волны (бомовской механике). Однако р-адическая нелокальность является нелокальностью не в физическом пространстве R^m, а в духовном пространстве Q_p^m . В модели духовной ведущей волны (поля сознания) духовные объекты (мысли, идеи, образы, чувства) могут взаимодействовать при полном отсутствии классических физических и духовных взаимодействий. Возникает коллективная ведущая волна (или коллективное поле сознания).

Обсуждая сходимость итераций р-адических динамических систем (а именно — точки притяжения, аттракторы, которые рассматриваются в нашей модели как решения проблем), существование решений р-адических дифференциальных уравнений, а также р-адическую (не) локальность, мы должны рассматривать некую метрику ρ_р на р-адическом дереве. На Q_p существует естественная метрика, задаваемая так: две бесконечные ветви дерева близки, если длина их общей части, выходящей из корня, велика. Метрика ρ_р является так называемой ультраметрикой. На р-адическом дереве выполняется усиленное неравенство треугольника: в любом треугольнике длина третьей стороны меньше или равна максимуму длин двух других сторон. Ультраметрическая геометрия сильно отличается от привычной евклидовой геометрии. Возможно, что духовные явления адекватно описываются как раз ультраметрическими геометриями. В наших моделях р-адическая метрика имеет ясную когнитивную интерпретацию. Если две идеи имеют обширную общую ассоциацию, то они близки в р-адической метрике. Итак, р-адическая метрика — это расстояние на духовном пространстве, основанное на общности ассоциаций. Таким образом, наши р-адические модели описывают ассоциативное мышление.

Заметим, что в отличие от р-адической теоретической физики в духовных моделях нам необязательно рассматривать пополнения рациональных чисел. В духовных моделях важнейшую роль играет иерархическая древесная структура. Во-первых, мы можем рассматривать деревья Q_p, где натуральное р не является простым. Более того, мы можем рассматривать неоднородные деревья, где р зависит от уровня иерархии или, в общем случае, от точки ветвления. И даже можно использовать деревья с непрерывно меняющимися уровнями иерархии. Заметим, что любое абстрактное ультраметрическое пространство может быть представлено в виде такого дерева. Поэтому в гл. 6 мы изучаем когнитивные модели с духовными пространствами, являющимися абстрактными ультраметрическими пространствами. Элементарные информационные состояния (I-состояния), «элементы духа» представляются точками духовного ультраметрического пространства. Ассоциации представляются шарами. Заметим, что на множестве шаров духовного пространства можно ввести ультраметрику, индуцируемую первоначальной ультраметрикой духовного пространства. Получим новое ультраметрическое пространство, которое мы рассматриваем как духовное пространство более высокого уровня. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности. Получаем (в принципе бесконечную) башню духовных пространств. Это новый тип духовной иерархии — иерархия духовных пространств. Напомним, что каждое из этих пространств также само по себе является иерархическим деревом. В частности, если первоначальное дерево отождествить с деревом I-состояний, порождаемых мозгом, получим бесконечную иерархическую башню (иерархических) духовных пространств, «опирающуюся» на мозг. Конечно, в настоящее время мы не обладаем экспериментальными данными (из нейрофизиологии и когнитивных наук), которые могли бы быть интерпретированы как свидетельства существования вертикальной иерархии ментальных пространств. Некоторым косвенным доказательством существования башен духовных пространств — вернее, способности мозга одновременно оперировать в нескольких духовных пространствах — является параллельная обработка мозгом когнитивной информации разных духовных уровней. Заметим, что в нашей модели иерархической башни духовных пространств параллельность не означает независимость. I-состояния низшего уровня формируют ассоциации, являющиеся I-состояниями следующего уровня. Таким образом, самые примитивные I-состояния входят (через иерархию духовных пространств) в I-состояния высочайшего духовного уровня. Возможно, что функционирование в башне духовных пространств является основой поистине безграничных информационных возможностей мозга. Наша модель не исключает, что, например, человеческий мозг может функционировать в бесконечной башне духовных пространств. Это будет означать, что конечная физическая система — мозг — может обладать бесконечной информационной мощью. Но даже если мозг способен использовать лишь конечное число К этажей иерархической башни духовных пространств, то его информационная мощь существенно больше, чем мощь когнитивной системы, использующей лишь первый этаж, например, только I-состояния, производимые нейронной сетью. Вычисления показывают, что информационная мощь растет линейно с ростом К. Величина К может использоваться как численная характеристика уровня ментального развития. Довольно естественно предположить, что К росло в процессе эволюции, достигнув наивысшей величины у животных и людей. При этом К может зависеть от вида или даже индивида. Хотя, в принципе, возникновение человеческого разума могло соответствовать скачку от конечного К к бесконечному.

Отвлекаясь от гипотетической возможности создания иерархических духовных башен, стартуя с некоторого фиксированного ультраметрического духовного (ментального) пространства X, вернемся к модели, в которой используется лишь X. Естественно предположить, что различные когнитивные системы порождают различные пространства X. В частности, могут порождаться ментальные пространства в виде различных р-адических деревьев. Существуют 2-адические, 3-адические, ... когнитивные системы. Однако из вышеизложенного не следует, что, например, каждый человек имеет свое собственное р (2-адический человек, 3-адический человек, ...) ¹⁾. Различные подсистемы одного мозга могут порождать различные р-адические деревья. Могут возникать, например, духовные пространства вида X = Q₅ х Q₇ х Q₁₁ как и более общие ультраметрические пространства.

***

¹⁾ После передачи российского телевидения «У Гордона», в которой я излагал р-адические модели мышления в беседе с одним из основателей р-адической физики профессором И. В. Воловичем, охранник в Институте Математики им. Стеклова спросил моего собеседника: «Скажи, профессор, а у меня мозги 2-адические или, к примеру, 7-адические?»

***

В гл. 6 мы используем общую теорию метрических пространств для описания духовных процессов. В частности, изучается возможность представления физических метрических пространств с помощью духовных ультраметрических пространств. Рассматривается также обратная задача о вложении ультраметрического духовного пространства в физическое евклидово пространство. Удивительным топологическим фактом (теорема А.Лемина) является невозможность вложить ультраметрическое пространство, содержащее n + 1 точку, в R^k , k < n. В частности, в евклидово пространство R³ можно вложить только духовное пространство, содержащее четыре точки. Уже пятиточечное духовное пространство не может быть вложено в R³. Таким образом, чтобы физически представить духовное пространство, содержащее сотни тысяч духовных точек, необходимо евклидово пространство немыслимой размерности. В частности, физический евклидов образ человеческого духовного пространства — мозг — возникает в результате проекции огромного числа духовных точек на каждую точку физической области мозга. Отметим, что бесконечное р-адическое дерево может быть изометрически вложено только в бесконечномерное гильбертово пространство.

Основная часть книги посвящена моделированию высшей психической деятельности: модели выбора, обучения, маниакального и депрессивного поведения, гомеостатических состояний, привыкания, импринтинга. Рассматривается связь с теорией зеркальных состояний, развитой Лаканом (лакановское «Я»), а также с лакановской теорией сексуальной идентификации. На протяжении всей книги рассматриваются р-адические модели сексуального поведения: выбор партнера, любовь, вступление в брак, информационно-ментальные модели гомосексуализма. Как уже отмечалось, отправной точкой наших исследований была попытка математического моделирования теории З. Фрейда о сознании и подсознании и, в частности, психоанализа, р-адическая модель теории Фрейда представлена в гл. 3. Используя ультраметрику на духовном пространстве, мы описываем процесс формирования сильных, но запретных желаний («необузданных запретных страстей») и вытеснения их из области сознания в область подсознания. Вытесненные сильные запретные желания начинают взаимодействовать с потоками бессознательной информации. Так формируются так называемые комплексы.

В книге подробно изучается процесс возникновения комплекса «несчастной любви» и его влияние на последующую сексуальную жизнь. Мы также рассматриваем примеры истерического поведения, которые приводились З. Фрейдом. Предлагается р-адическая модель возникновения физических заболеваний вследствие чисто ментальных комплексов. В частности, разбирается пример с истеричной девушкой (из XIX века), которая вследствие своих комплексов не могла пить, умирая от жажды, а затем и ослепла (пациентка доктора Брейера). На основе этих примеров изучается интерференция физиологических и психологических систем в ментальном пространстве.

Я думаю, что в принципе идеи Зигмунда Фрейда могут быть представлены с помощью математической модели. Как мы уже отмечали, важнейшей чертой фрейдистского описания духовного мира является реальность этого мира. Для Фрейда идеи, желания, чувства, переживания не менее реальны, чем, например, горы, дома, кони, ... Для Фрейда ментальные процессы не менее реальны, чем физические и химические процессы. Идеи, желания, чувства, эмоции, переживания взаимодействуют друг с другом подобно тому, как взаимодействуют физические тела. У Фрейда ментальные силы не менее реальны, чем физические силы: «Я, следовательно, подтвердил, что забытые воспоминания не исчезли. Больной владел еще этими воспоминаниями, и они готовы были вступить в ассоциативную связь с тем, что он знает, но какая-то сила препятствовала тому, чтобы они сделались сознательными, и заставляла их оставаться бессознательными. Существование такой силы можно было принять совершенно уверенно, так как чувствовалось соответствующее ей напряжение, когда стараешься в противовес ей бессознательные воспоминания привести в сознание больного. Чувствовалась сила, которая поддерживала болезненное состояние, а именно — сопротивление больного».

Вводя соответствующее поле сил, мы получаем соответствующее духовное поле. Таким образом, довольно естественно попытаться закодировать все духовные объекты, возникающие в психоаналитических сценариях Фрейда, с помощью некоторых математических структур и попытаться моделировать психические процессы, в частности, возникновение комплексов в рамках математических моделей. Конечно, это проблема величайшей сложности, и наша р-адическая модель может описывать лишь некоторые черты психического поведения.

Важнейшим постулатом фрейдизма является постулат о детерминизме ментальных процессов. Грубо говоря, ментальная траектория определяется начальными условиями (например, детскими переживаниями) и соответствующим полем ментальных сил. Ментальный детерминизм хорошо моделируется с помощью динамических систем в ментальном пространстве (см. гл. 1 и 5). Но я согласен с теми, кто критикует Фрейда за переоценку роли начальных условий, в частности, детских переживаний (и особенно детских сексуальных переживаний). Поэтому в гл. 5 мы и вводим дополнительное поле — ведущую волну сознания. Наличие ведущей волны сознания может изменить траекторию ментального движения и свести на нет влияние начальных условий. Но в общем случае происходит борьба между ведущей волной сознания и детерминизмом подсознания, и решение соответствующего эволюционного уравнения зависит как от начальных условий, так и от влияния поля сознания.

Как уже отмечалось, теория Фрейда серьезно критиковалась за переоценку роли сексуальных инстинктов в формировании высших психических процессов. Конечно, критики во многом правы, но я считаю, что фундаментальная идея Фрейда об определяющей роли сексуальной ментальной системы в целом верна. В нашей модели все ментальные процессы развертываются в едином ментальном пространстве: и грубый секс, и возвышенные любовные или религиозные чувства, и поэзия, и желание набить брюхо, и доказательство теоремы, и строительство дома. Поэтому ментальные процессы могут свободно занимать области ментального пространства, «им не предназначенные». Конечно, не совсем свободно — идет непрерывная борьба мыслящих подсистем за области ментального пространства. Итак, важнейшей чертой нашей модели является то, что некоторый ментальный процесс может вполне успешно использовать часть области (или даже всю область), которая ранее принадлежала другому процессу, но была им утеряна в борьбе с другими процессами. Наглядный пример такой ситуации мы можем найти в романе Стендаля «Красное и черное». Любовь к Жюльену привела к гигантскому расширению сексуальной области в ментальном пространстве госпожи де Реналь (конечно, за счет катастрофического сужения остальных областей). Однако впоследствии коллапс любовных отношений привел к тому, что практически вся сексуальная область ее ментального пространства была занята религиозным процессором. Заметим, что религиозный процессор получил в итоге огромную область ментального пространства, которая была первоначально завоевана сексуальным процессором. Безусловно, история, описанная Стендалем, не является чем-то исключительным. И в окружающей жизни мы можем найти многочисленные примеры сексуального «передела» ментального пространства (роль религии может играть, например, наука или деньги). Конечно, не только сексуальный процессор играет активную роль в этих переделах. Но Зигмунд Фрейд совершенно правильно отметил, что сексуальный процессор играет фундаментальную роль. Он возникает раньше большинства других ментальных процессоров, и ему первоначально принадлежит огромная область ментального пространства. Во всяком случае такая область принадлежала бы сексуальному процессору при отсутствии высших ментальных процессоров, ведущих (порой весьма успешную) борьбу за части сексуальной подобласти ментального пространства. Таким образом, по Фрейду сублимация играет важнейшую роль в превращении человека сексуального в человека разумного. В соответствии с этим наши важнейшие мыслительные подсистемы, соответствующие в том числе и наиболее утонченным духовным процессам, используют значительные области ментального пространства, которые должны были бы принадлежать сексуальной подсистеме. Однако эти сублимированные куски сексуальной ментальной области по-прежнему сохраняют следы принадлежности к сексуальной области. Поэтому многие наши духовные процессы высочайшего уровня имеют четко выраженные сексуальные следы. Если часть такого духовного процесса базируется на подобласти ментального пространства, полученной от сексуального процесса с помощью сублимации, то, в принципе, каждому высокодуховному действию можно поставить в соответствие примитивное сексуальное действие, которое бы имело место в отсутствии сублимации.

В заключение я хотел бы обсудить важнейшие проблемы в теории сознания, которые интенсивно обсуждаются философами. Я участвовал в трех конференциях «Toward a Science of Consciousness»: Щевде — 2001 (Швеция), Тюссон — 2002 (Аризона) и Прага — 2003. На всех этих конференциях философы обсуждали один и тот же круг проблем без видимого прогресса в их решении. Это и не удивительно, так как проблемы философии сознания обсуждаются уже сотни лет, и даже сотни лет жарких дискуссий не дали практически ничего. Что же это за проблемы, и почему философы не преуспели в их решении?

Основная проблема — это mind-body problem, проблема связи духа и материи. Философы обсуждают наличие «пропасти в объяснении», а именно — невозможность объяснить, как материя и дух взаимодействуют. В связи с тем, что в настоящее время очень популярна идея редукционизма (дух порождается материей мозга), требуется объяснить, как же вещество мозга порождает дух.

Другой вопрос, который постоянно обсуждается, — где же находится сознание? В мозге? Или где-то в пространстве «над головой»?

Начнем с последнего вопроса о месте сознания. В свете наших предыдущих рассуждений сама постановка вопроса предполагает использование физического пространства, а значит и одной вполне определенной математической модели, для «размещения» сознания. Мы же решаем эту проблему совершенно по-другому — расширяя физическое пространство и добавляя новые (ментальные) координаты.

Перейдем теперь к проблеме связи духа и материи и пропасти в объяснении. Я считаю, что в принципе мы ничего в природе не можем объяснить, а можем лишь описать математически — создать математическую модель. По аналогии со взаимоотношениями духа и материи рассмотрим взаимоотношения массы и электричества. «Объяснить» эти взаимоотношения мы не можем. Но, в отличие от проблемы духа-материи, в проблеме материя-электричество мы не видим никакой супермистики. Никто не обсуждает пропасть в объяснении связи материи и электричества. В чем же разница? Да просто в том, что Максвелл создал математическую модель, описывающую взаимоотношения материи и электричества. Однако подчеркнем, что модель Максвелла ничего не объяснила. Она дала лишь математическое описание. Также, как и сотни лет назад, мы не имеем ни малейшего представления о том, как материя «порождает» электричество. Даже на квантовом уровне мы не можем объяснить, почему индивидуальный электрон испускает фотон, и как это происходит.

Таким образом, я считаю, что нет никакой пропасти в объяснении взаимоотношений духа и материи. «Объяснить» эти взаимоотношения также невозможно, как и, например, «объяснить» взаимоотношения материи и электричества. Итак, проблема «дух-материя» — это проблема построения математической модели, в которой физические и ментальные переменные будут описывать духовно-физические процессы. «Понять» взаимодействие духа и материи невозможно, но описать математически, по-видимому, возможно.

Предлагаемая монография представляет собой попытку такого описания. Конечно, наша р-адическая модель достаточно примитивна. По существу, мы обсуждаем в основном р-адическую геометрию на духовном пространстве. В настоящее время совершенно неясно, как должны выглядеть конкретные динамические системы, ментальные силы и поля. Монография представляет собой программу исследований (Платона-Аристотеля-Лейбница-.. .-Хренникова) по геометризации и оцифровке духа, а не законченное исследование. Однако напомним, что реализация программы исследований (Евклида-Галилея-Декарта-Ньютона- .. .-Лобачевского-Гаусса-.. .-Римана-.. .-Гильберта) по геометризации и оцифровке физики заняла тысячи лет.

Значительные части этой монографии были написаны в городах Бохум, Бонн, Токио, Сантьяго, Вино дел Маре, Валпараисо. Я признателен за гостеприимство С. Альбеверио, М. Эндо, С. Наварро. Я также признателен B.C. Владимирову, И.В. Воловичу, Б. Драговичу, Ж. Паризи, Р. Чианчи за обсуждение роли р-адических чисел в физике; JI. Арнольду и М. Гундлаху за сотрудничество в области случайных динамических систем; Б. Хайли и П. Питченену за обсуждения вопросов о целостности сознания и квантовой физики; В. Г. Редько, Ю.В. Тюменцеву, Г. С. Воронкову, Н.Н. Чуйкину за многочисленные дискуссии о нейтронных моделях мозга и критические замечания.

Рукопись книги была подготовлена к печати А. Радыно, а введение — Е. Борзистой. Я благодарен им за нелегкий труд.

Мои исследования проводились на базе международного центра по математическому моделированию в физике и науках о мышлении (университет г. Вэкшо). Я признателен ректору университета М. Содерстему и проректору Б. Нильсону за постоянную поддержку работы центра.

Бохум-Бонн-Вэкшо-Сантьяго-Валпараисо-Вино дел Маре, 1996-2003 гг.

ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 296 с. - ISBN 5-9221-0501-9.