|
Монография посвящена математической формулировке основ фрактальной геометрии и математического аппарата фрактального исчисления. Изложен канторовский метод измерения фрактальной размерности разветвленных структур. Вместе с традиционным материалом рассмотрены некоторые широко представленные в природе объекты.
Существенное внимание уделено электромагнитным процессам во фрактальных средах.
Предназначена специалистам в области математики и физики, а также студентам естественнонаучных специальностей высших учебных заведений, аспирантам и научным работникам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1. ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Введение
§ 2. Фрактальная линия. Закон Мандельброта
§ 3. Самоподобие
§ 4. Альтернативная формулировка аксиом
§ 5. Алгебраические и геометрические иерархические структуры
§ 6. Двух- и трехмерные фрактальные размерности
§ 7. Фрактальная размерность фрагментов растительности
§ 8. Измерение площади произвольной фигуры
§ 9. Соотношение периметр–площадь
§ 10. Мультифрактальность
§ 11. Фрактальная размерность Чивыркуйского залива оз. Байкал
§ 12. Фрактальная размерность узоров и орнаментов
ГЛАВА 2. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ
§ 1. Классические методы измерения фрактальной размерности
§ 2. Канторовский метод измерения фрактальной размерности
§ 3. Измерение фрактальной размерности грозового разряда
§ 4. Дельта Лены
§ 5. Дельта Селенги и Волги
§ 6. Фрактальная зависимость скорости течения реки
§ 7. Фрактальная размерность плоскостной проекции стримерных каналов
§ 8. Тундровые озера
§ 9. Временная динамика фрактальной размерности дельты Селенги
ГЛАВА 3. ФРАКТАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Фрактальное интегрирование
§ 2. Фрактальное интегрирование элементарных функций
§ 3. Фрактальное дифференцирование
§.4. Уравнения во фрактальных производных
§.5. Некоторые физические применения
§ 6. Геометрический смысл фрактальной производной
ГЛАВА 4. ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
§ 1. Факториал и специальные функции
§ 2. Дробный интеграл
§ 3. Элементарные функции
§ 4. Дробное дифференцирование
ГЛАВА 5. ФРАКТАЛЬНОЕ БЛУЖДАНИЕ
§ 1. Броуновское движение
§ 2. Теория перколяции
§ 3. Фрактальное блуждание
§ 4. Связь между h и D для электромагнитных процессов
§ 5. Статистическая теория полимерных цепей
§ 6. Статистическая теория стримерных каналов
§ 7. Статистическая теория ветвлений дельты рек
ГЛАВА 6. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ
§ 1. Функция Лагранжа
§ 2. Фрактальная природа времени
§ 3. Связь коэффициента затухания с фракталом
§ 4. Фрактал и турбулентность
§ 5. Турбулентность. Закон Колмогорова
§ 6. Один из способов получения степенных законов
§ 7. Дуальность полимерных цепей и стримерных каналов
ГЛАВА 7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРИРОДНЫХ СРЕД И ИСКУССТВЕННЫХ МАТЕРИАЛОВ
§ 1. Обоснование задач исследования по применению фрактальной геометрии к электрическим свойствам природных сред и искусственных материалов
§ 2. Фрактальная модель среды для электромагнитных процессов
§ 3. Законы подобия электрических параметров
§ 4. Фрактальные характеристики сопротивления и емкости
§ 5. Законы подобия для модуля поверхностного импеданса
§ 6. Аналогия между электрическими параметрами неоднородных сред и геометрическими характеристиками фрактальной линии
§ 7. Скин–слой пункта измерения “Озерный”
§ 8. Электрические характеристики талой воды
§ 9. Электрофизические параметры ствола живого дерева
§ 10. Предельный степенной закон
§ 11. Измерение фрактальной размерности грозового разряда
§ 12. Пространственные характеристики излучения разрядов молнии
§ 13. Моделирование длины разрядов молнии фрактальной геометрией
§ 14. Фрактальная размерность плоскостной проекции стримерных каналов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
СПИСОК ТРУДОВ АВТОРА
Если ты все понял, значит, тебе не все рассказали. (народная мудрость)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Фрактальная геометрия изучает закономерности, проявляемые в структуре природных объектов, процессов и явлений, обладающих явно выраженной фрагментарностью, изломанностью и искривленностью. Достаточно большое число объектов на поверхности Земли и атмосфере подчиняются степенным законам. Моделированию этих закономерностей и занимается фрактальная геометрия. Методы фрактальной геометрии широко применяются в различных отраслях естествознания и техники. Умение их применять, приобретение навыков моделирования фрактальных систем необходимо современному исследователю. В этом и состоит цель монографии – привить навык решения задач методами фрактальной геометрией.
Сделаем небольшой экскурс в историю. В 20-х гг. XX в. английский ученый Ричардсон решил подсчитать длины границ европейских государств. К его удивлению оказалось, что длина границы государства зависит от масштаба измерения. В 30-х гг. польские геодезисты измеряли длину р. Вислы. После подсчета длины реки выяснилось, что длина при измерении различными масштабами оказалась разная, причем с уменьшением масштаба длина реки возрастала. Этот факт отнесли к математическим курьезам и надолго о ней забыли (см. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. – М.: Наука, 1981. 160 с.]. В начале70-х гг. история перенеслась в Северную Америку. Любопытные американцы, находясь на отдыхе, своими шагами измеряли периметр озер. Выяснилось обстоятельство, вызвавшее удивление, – у различных людей периметр оказался разным. С этим фактом они обратились к местным математикам и им повезло – любопытствующие «попали» на Бенуа Мандельброта, американского математика (см. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. –М.: Изд-во Института компьютерных исследований, 2002. 656 с.). С этого началось становление нового языка науки, где основными понятиями являются фрактал, фрактальная размерность, фрактальная геометрия, фрактальное исчисление и иерархическое построение.
Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров – от атомных масштабов до Вселенной – занимает центральное место в моделях, которые строят, чтобы «понять» природу. По традиции основой интуитивного понимания геометрии природы служили евклидовы прямые, окружности, из которых строили пространства с целочисленной размерностью. Однако классический набор геометрических фигур: прямых, окружностей и тому подобных, становится не применимым для описания длины рек, периметра озер, формы облаков и еще огромного множества других природных объектов. Бенуа Б. Мандельброт поведал миру об объектах, для описания которых необходимо введение нецелочисленных, дробноразмерных пространств. Он им дал объединяющее название – фрактал. Для описания природных образований необходимо использовать понятия новой фрактальной геометрии. Дробную размерность новых объектов стали называть фрактальной размерностью, которая и служит количественной мерой определения самих фракталов.
Описание Природы и разнообразных ее проявлений требует привлечения соответствующего математического аппарата. Без этого невозможно зачастую сформулировать первоначальные понятия. Для лучшего понимания вводимых определений прибегают к известным аналогиям, сравнивают со знакомыми явлениями и понятиями. Однако в изучении фрактальной геометрии возникают определенные трудности к привлечению наглядных образов. Довольно неожиданно привыкать к тому, что одномерные объекты на самом деле не совсем одномерны, а чуть нечто большее.
Мы надеемся, что привлечение рисунков и рассмотрение различных примеров подведут читателя к появлению у него своеобразной интуиции. Встречаясь в своей практике с реальными природными объектами, он сразу сможет сказать, относятся ли они к фрактальным структурам и вычислить их фрактальную размерность. Только прямое общение с конкретными задачами даст общее представление, вырабатывает необходимую точку зрения (с этой целью, имеющей в большей степени методический характер, мы приводим в монографии задачи). К некоторым из них решения не даются. Например, задача об измерении фрактальной размерности городских улиц.
Излагаемое в монографии фрактальное исчисление – это абстрактная математическая конструкция. При ее построении выясняется, что все становится с «ног на голову». Развиваемое фрактальное исчисление в некотором роде аналогично теории интегрирования и дифференцирования дробного порядка. Поэтому вполне уместно изложение теории последней в нашей книге. При этом для быстрого введения в предмет опустили определенные тонкости, необходимые при математическом описании. Автор считает, что при первом знакомстве достаточно и интуитивного понимания. Этому будем следовать и при построении фрактального исчисления.
Любая математическая конструкция в качестве своей основы имеет набор аксиом. Фрактальная геометрия не исключение, ее началами являются аксиомы многомасштабности и самоподобия. Мы в монографии вместо аксиом будем говорить о математических формулировках многомасштабности и самоподобия. Этим математическим формулировкам посвящена глава 1.
Основной величиной фрактальной геометрии является фрактальная размерность. В главе 2 предложен новый метод измерения, эффективность которого показана на некоторых природных объектах.
В главе 3 развивается фрактальное исчисление – математический аппарат фрактальной геометрии. Дана геометрическая интерпретация фрактальной производной. Фрактальное исчисление во многих местах аналогично дробным интегралам и дифференциалам, изложению которых посвящена глава 4.
Обширной областью применения фрактальной геометрии являют ся разнообразные физические задачи. В главе 5 показано, как фрактальная размерность для некоторых физических объектов может быть вычислена. Физика обширна, и применение здесь фрактальной геометрии находится еще в начале пути. В главе 6 излагаются некоторые (по мнению автора) перспективные направления, которые могут быть исследованы. Из-за введения в новую математическую область представленная работа не является однородной по содержанию. Если первые 4 главы не предполагают знакомства с предметом, то последние 5, 6 и 7 главы требуют знаний читателя с основами общей и теоретической физики.
Автор благодарен рецензентам за советы, которые учтены в монографии.