Предлагаемая монография представляет собой краткое введение в анализ над неархимедовыми числовыми полями и приложения этого анализа к теоретической физике (в частности, основам Qp-значной квантовой механики), теории вероятностей и обработке изображений.

Для научных работников и студентов старших курсов, специализирующихся в функциональном анализе, теории обобщенных функций, теории вероятностей, теоретической физике (квантовой теории и космологии), обработке изображений, моделировании биологических процессов

Оглавление

Предисловие

Глава 1. Первые шаги к неархимедовой математике

§ 1.1. Неархимедовы числовые поля

§1.2. Ультраметрики

§ 1.3. Поля р-адических чисел

§ 1.4. Расширения неархимедовых полей

§ 1.5. Нормированные и локально выпуклые пространства.

§ 1.6. Непрерывные, дифференцируемые и аналитические функции

§ 1.7. Теория Малера интегрирования на кольце целых р-адических чисел

Глава 2. Распределения Гаусса, Лебега и Фейнмана над неархимедовыми полями

§2.1. Аналитические функции над неархимедовыми полями

§ 2.2. Аналитические распределения, распределения Гаусса и Фейнмана

§ 2.3. Неархимедово гильбертово пространство

§ 2.4. Пространство L2(Kⁿ, е^-|x|2dx) функций, квадратично интегрируемых относительно распределения Гаусса

§ 2.5. Пространство L2(Kⁿ,dx) функций, квадратично интегрируемых относительно распределения Лебега

§ 2.6. Пространство F2(Zⁿ,γ) аналитических функций, квадратично интегрируемых относительно канонического комплексного распределения Гаусса

§ 2.7. Неограниченность р-адического распределения Гаусса

§ 2.8. Равномерное распределение Волкенборна

Глава 3. Распределения Гаусса и Фейнмана на бесконечномерных пространствах над неархимедовыми полями

§ 3.1. Непрерывные полилинейные формы

§ 3.2. Обобщенные функции на бесконечномерных пространствах

§ 3.3. Преобразование Лапласа на бесконечномерных пространствах

§ 3.4. Линейные уравнения в частных производных на бесконечномерных пространствах

Глава 4. Квантовая механика для неархимедовозначных волновых функций

§4.1. Представления Шредингера и Баргмана-Фока в неархимедовой квантовой механике

§4.2. Неархимедова квантовая статистическая механика

§ 4.3. Теоремы существования и единственности для решений линейных уравнений в частных производных на неархимедовом пространстве

§ 4.4. Разрешимость уравнений Шредингера, Гейзенберга и Лиувилля в неархимедовой механике

§4.5. Два процесса измерения: шкала с бесконечным убыванием единицы и шкала с бесконечным возрастанием единицы

§ 4.6. Неархимедова космология

§4.7. Микромир и неархимедова структура вещественной модели пространства-времени Минковского

§ 4.8. Модели с бесконечно большим числом частиц

§ 4.9. Р-адическая интерпретация тахионов

Глава 5. Р-адическизначные вероятностные меры

§5.1. Р-адическая частотная теория вероятностей

§ 5.2. Аксиоматика, основанная на конечно-аддитивных мерах.

§ 5.3. Теория Монна-Спрингера интегрирования относительно неархимедовозначных мер

§ 5.4. Меры, убывающие на бесконечности

§ 5.5. Произведение функции и меры

§ 5.6. Формула замены переменных в интеграле Монна-Спрингера для убывающей меры

§ 5.7. Р-адическизначные вероятностные меры

§ 5.8. Р-адическизначные вероятности Бернулли на кольце g-адических целых чисел

§ 5.9. Биологические модели, связанные с р-адическизначными распределениями Бернулли

§ 5.10. Дискретные вероятности. Санкт-Петербургский парадокс в р-адической интерпретации

Глава 6. Статистическая стабилизация относительно р-адической и действительной метрик

§ 6.1. Р-адическое статистическое моделирование

§ 6.2. Определение р-адической частотной вероятности

§ 6.3. Что можно делать с р-адическими вероятностями?

§ 6.4. Первый шаг к р-адической теории информации

§6.5. Вероятностная модель р-адической монеты

§ 6.6. О колмогоровской сложности р-адических случайных последовательностей

§ 6.7. Статистическая интерпретация квантовых моделей с волновыми функциями, принимающими значения в квадра¬тичных расширениях поля р-адических чисел

Глава 7. Р-адическизначные распределения вероятно¬стей (обобщенные функции)

§ 7.1. Аксиоматика

§ 7.2. Распределения вероятностей на пространствах р-адических последовательностей

§ 7.3. Предельная теорема

§ 7.4. Сходимость ряда независимых случайных величин

§ 7.5. Р-адический белый шум. Аналог исчисления Хиды

Глава 8. О сегментации изображений в р-адической и евклидовой метриках

§8.1. Ультраметрические пространства и цепное расстояние

§ 8.2. Алгоритмы кластеризации, базирующиеся на евклидовой и р-адической метриках

§ 8.3. Выделение векторов цвета и текстуры из потока кадров формата MPEG 2

§ 8.4. Сегментация изображений в спектральной области БПФ методом Split-LBG

§ 8.5. Результаты и обсуждение

§ 8.6. m-адическая координатная сеть

§ 8.7. m-адическое кодирование изображений

§ 8.8. Программная реализация m-адического кодирования и декодирования изображений

§ 8.9. Сжатие изображений с использованием полиномов Малера

§8.10. Образы и «графы» m-адических функций

Библиографические замечания

Открытые проблемы

Приложение

Список литературы

Предисловие

Эта книга представляет собой краткое введение в анализ над неархимедовыми числовыми полями и приложения этого анализа к теоретической физике, теории вероятностей и обработке изображений. В каком-то смысле неархимедов подход к описанию природных явлений является альтернативным к стандартному подходу, основанному на вещественном анализе. Напомним, что поле вещественных чисел R является архимедовой числовой системой. В R выполняется аксиома Архимеда: для любых двух положительных вещественных величин I и L можно найти такое натуральное число п, что имеет место неравенство

(n-l)l ≤ L <nL. (1)

Наша книга посвящена анализу над полями, в которых аксиома Архимеда нарушается.

По существу, аксиома Архимеда — это аксиома физической теории измерений. В силу этой аксиомы всегда возможно измерить любую величину L с помощью другой величины l (выбранной в качестве единицы измерения) с точностью, не меньшей, чем l, см. неравенство (1). В большинстве естественно-научных моделей считается, что такое предположение о возможности измерений обоснованно. Это влечет практически повсеместное использование вещественных чисел и анализа. Напомним, что поле вещественных чисел R и производное от него поле комплексных чисел С являются основными примерами архимедовых числовых полей.

Хорошо известным (и популярным 10-25 лет назад) примером неархимедового числового поля является поле нестандартных чисел *R. Это расширение поля вещественных чисел R, содержащее бесконечно малые и бесконечно большие величины. В силу присутствия бесконечно малых и бесконечно больших величин аксиома Архимеда в поле нестандартных чисел *R нарушается. Заметим, что поле нестандартных чисел широко использовалось в математической физике. Например, Серджио Альбеверио пытался решить проблему квантовополевых расходимостей используя нестандартные числа.

Но эта книга посвящена отнюдь не анализу над *R (нестандартному анализу). Основными примерами неархимедовых полей, рассматриваемых в этой книге, являются поля р-адических чисел Qp, где р≥2 простые числа. Напомним, что каждое простое число определяет некоторое локально компактное поле. Поля, соответствующие различным простым числам, например Q₂ и Q₁₉₉₉ , не изоморфны. Поля р-адических чисел неархимедовы. Более того, Q_p вообще не является упорядоченным множеством, т. е. мы не можем сравнить два произвольных р-адических числа.

Начиная с работ B.C. Владимирова и И.В. Воловича (1984) по неархимедовому суперанализу поля р-адических чисел Q_p являются базовыми примерами неархимедовых числовых полей, используемых в теоретической физике. Фундаментальная роль, которую играют р-адические числа при описании различных естественно-научных явлений, обусловливается тем, что природа устроена неожиданно просто с теоретико-числовой точки зрения. Стартуя с поля рациональных чисел Q, мы можем получить либо поле вещественных чисел R, либо одно из полей р-адических чисел Q_p (теорема Островского). Поэтому, если считать «физическими числами» только рациональные числа, то существует ровно две возможности развивать математические модели на основе рациональных физических данных. Это архимедовы вещественные модели и неархимедовы р-адические модели. Третьего не дано.

Заметим, что «физичность» рациональных чисел (и только этих чисел) довольно очевидна. В любом физическом эксперименте может быть достигнута только конечная точность, т. е. мы можем оперировать только с числами, имеющими конечное число знаков (десятичных или, например, двоичных). Это рациональные числа.

Вещественное описание естественно-научных моделей продолжается уже несколько лет. Довольно естественно (даже с общефилософской точки зрения) попробовать использовать р-адическое описание, находя модели, в которых аксиома Архимеда нарушается. Одной из первых р-адических физических моделей была модель р-адической струны (Волович, 1987). Основой этой модели была гипотеза о том, что в микромире (на так называемых планковских расстояниях ~ 10^-34 см) аксиома Архимеда может нарушаться. Работа Воловича вызвала целую волну публикаций по р-адическим струнам (Фрейнд, Виттен, Олсон, Фрамптон, Паризи, Владимиров, Маринани, Арефьева, Драгович, ...).

Эта деятельность стимулировала развитие многих других р-адических физических моделей, например моделей квантовой механики и теории поля, а в последствии и теории р-адических динамических систем с приложениями к наукам о мышлении (начиная с работ Хренникова, 1996).

Заметим, что есть две основные группы квантовых р-адических моделей. В моделях обеих групп предполагается, что пространство имеет неархимедову структуру и описывается р-адическими числами, X = Qⁿ_p.

В моделях первой группы предполагается, что волновые функции (амплитуды вероятности) по-прежнему (как и в стандартной квантовой механике) принимают комплексные значения, φ: Qⁿ_p →С. В моделях второй группы рассматриваются волновые функции, принимающие значения в полях р-адических чисел или в алгебраических расширениях (как конечного, так и бесконечного порядков) полей Qⁿ_p, φ: Qⁿ_p → Q_p, или С_р. Здесь символ С_р используется для обозначения поля комплексных р-адических чисел. Квантовые р-адические модели с комплекснозначными волновыми функциями являются весьма специальными, но стандартными квантовыми моделями. Рассмотрение таких моделей не требует пересмотра стандартного квантового формализма. В частности, состояния реализуются векторами в обычном комплексном гильбертовом пространстве. Хотя, конечно, использование поля р-адических чисел в качестве координатного пространства существенно усложняет построения. Одной из основных проблем р-адических квантовых моделей с комплекснозначными волновыми функциями является отсутствие представления Шредингера. Здесь нельзя ввести операторы координаты q и импульса р. Формальным математическим препятствием является невозможность определить производную отображения из Q_p в R или С,φ: Q_p → R,C. Таким образом, в этих моделях можно, как и в стандартной квантовой механике, описать динамику волновой функции, но, в принципе, нельзя описать динамику операторов координаты q(t) или импульса p(t).

Последовательное изложение р-адической квантовой механики для комплекснозначных волновых функций можно найти в монографии B.C. Владимирова, И.В. Воловича и Е.И. Зеленова (1994).

В р-адических квантовых моделях с Qp-значными волновыми функциями мы не можем использовать идеологию стандартной квантовой механики. Основной проблемой, возникающей при рассмотрении Qp-значных амплитуд, является невозможность использования стандартной (Колмогоров, 1933) теории вероятностей. Возникает необходимость построения обобщенных вероятностных моделей (неколмогоровских моделей) с Qp-значными вероятностями. С другой стороны, большим достоинством этого класса квантовых р-адических моделей является существование аналога представления Шредингера. Здесь мы можем ввести операторы р-адических координаты и импульса, q и р. Однако эти операторы действуют в р-адическом гильбертовом пространстве, где «скалярное произведение» принимает р-адические значения. В отличие от стандартной квантовой механики, операторы р-адических координаты и импульса являются ограниченными. Они удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям. Другим важным отличием от стандартного квантового формализма является наличие неэквивалентных представлений канонических коммутационных соотношений в р-адических гильбертовых пространствах. Заметим, что в стандартной квантовой теории неэквивалентные представления существуют только в случае бесконечного числа степеней свободы — теории квантовых полей.

Квантовые р-адические модели с р-адическизначными волновыми функциями развивались А.Ю. Хренниковым с 1989 года (впоследствии в тесном сотрудничестве с С. Альбеверио и Р. Чианчи). Предлагаемая монография посвящена математическим основам Qp-значной квантовой механики.

В первой главе приводятся основные сведения о р-адических числах, причем рассматривается сразу общий случай числовых полей с неархимедовым абсолютным значением. Напомним, что абсолютное значение называется неархимедовым, если, кроме обычного неравенства треугольника |с| ≤ |а| + |b|, оно удовлетворяет так называемому усиленному неравенству треугольника (|с| ≤ mах(|а|,|b|)). Как мы уже отмечали, в силу теоремы Островского поля р-адических чисел Q_p — это единственные примеры неархимедовых числовых полей, получаемых пополнением поля рациональных чисел Q.

Усиленное неравенство треугольника для неархимедова абсолютного значения приводит к тому, что соответствующая метрика является ультраметрикой. Ультраметрические топологические пространства были введены в 1943 году французским математиком Краснером.

Ультраметрические топологические пространства обладают очень специальными топологическими свойствами. Наша стандартная геометрическая интуиция, развитая на основе евклидовой геометрии, оказывается практически бессильной в ультраметрическом случае.

Ультраметричность является основой развития анализа над неархимедовыми числовыми полями. По существу, в конкретных аналитических рассмотрениях мы никогда не используем непосредственно нарушение аксиомы Архимеда. Однако усиленное неравенство треугольника используется практически повсюду. Итак, первая глава представляет собой элементарное введение в анализ над неархимедовыми полями — ультраметрический анализ.

Вторая глава посвящена теории аналитических обобщенных функций со значениями в неархимедовых полях («ультрараспределениям»). Использование пространств основных функций, состоящих из аналитических функций, вызвано «патологическими» свойствами гладких функций. Здесь, например, существуют очень сложные гладкие функции с производной, которая тождественно равна нулю. Для аналитических функций таких патологий не возникает. Хотя, конечно, поведение многих стандартных аналитических функций существенно отличается от поведения над полями вещественных или комплексных чисел. Например, экспонента, а также синус и косинус не являются целыми аналитическими функциями. Теория обобщенных функций используется для определения гауссовских и фейнмановских интегралов. Заметим, что введение даже гауссовских интегралов представляет собой серьезную проблему из-за отсутствия К-значной меры Хаара (аналога линейной меры Лебега) на неархимедовом поле К. Я ввожу гауссовские интегралы, используя трюк, предложенный в (обычном вещественном) бесконечномерном анализе для определения функциональных интегралов на математическом уровне строгости (С. Альбеверио и Р. Хоэг-Крон, О. Смолянов и Е. Шавгулидзе, А. Хренников). Этот трюк состоит в использовании преобразования Фурье и равенства Парсеваля в рамках теории обобщенных функций для определения функционального интеграла. Мне удалось использовать этот трюк в неархимедовом (конечномерном) случае. Более того, это дало возможность ввести К-значное распределение (не являющееся мерой) Хаара на К с помощью следующей весьма «извращенной» процедуры: dx = е^х2 v(dx), где v — гауссовское распределение.

Глава 3 посвящена бесконечномерному неархимедову анализу. В частности, здесь вводятся неархимедовы функциональные интегралы. Эта глава очень технична. Я рекомендую пропустить ее при первом чтении.

Глава 4 содержит формализм квантовой механики с волновыми функциями, принимающими значения в неархимедовых полях. Здесь также изучаются эволюционные уравнения, возникающие в квантовых моделях. Например, уравнение Шредингера. Заметим, что мы рассматриваем эволюцию относительно неархимедова времени. Кардинальным отличием от стандартных физических (как квантовых, так и классических) моделей является отсутствие порядковой структуры на множестве моментов неархимедова времени. Рассмотрение такой эволюции нуждается в дальнейшем физическом осмыслении и интерпретации.

Глава 5 посвящена аксиоматике неколмогоровских вероятностных моделей, в которых вероятности принимают значения в неархимедовых полях. Наибольший интерес представляют Qp-значные вероятности. Такие обобщения теории вероятностей Колмогорова были мотивированы развитием квантовых моделей с неархимедовозначными (и, в частности, Qp-значными) волновыми функциями. Неархимедовы вероятностные модели представляют и самостоятельный интерес. В частности, мы рассматриваем использование р-адической схемы Бер- нулли для описания катаклизмов; ситуаций типа: «хорошо, хорошо, ..., катастрофа». В частности, мы рассматриваем р-адическую стохастическую модель вымирания биологической популяции, динамика развития которой является «вполне благополучной» с точки зрения стандартной (колмогоровской) теории вероятностей.

Глава 6 посвящена р-адическому расширению частотной теории вероятностей Р. фон Мизеса (1919). Основная идея состоит в использовании р-адической метрики для изучения статистической стабилизации относительных частот событий. Заметим, что частоты ν_N = n/N всегда являются рациональными числами (как и любые другие результаты физических измерений).

Глава 7 посвящена некоторым аспектам теории р-адических случайных процессов. В частности, мы развиваем исчисление р-адического белого шума. Заметим, что предлагаемая теория базируется на неколмогоровских р-адических вероятностях. Эту теорию следует отличать от традиционных исследований по теории стандартной колмогоровской вероятности на локально-компактных группах (и, в частности, полях р-адических чисел). Глава 7 весьма технична и при первом чтении может быть опущена.

Глава 8 посвящена использованию р-адических чисел при обработке изображений. Эти результаты были получены совместно с Ж. Бенуа и Н. Котовичем. Рассматриваются два класса р-адических алгоритмов обработки изображений: в спектральной области и в координатном представлении. В алгоритмах первого класса мы в основном используем ультраметрическую топологию на спектрах изображений, а в алгоритмах второго класса — алгебраическую структуру поля р-адических чисел. Одним из интересных нововведений, используемых в алгоритмах второго класса, является введение р-адической системы координат в физическом пространстве.

Основные части этой книги были написаны в период моих странствий по разным странам: в Японии, Китае, Италии, Франции, Германии. Мне хотелось бы поблагодарить всех ученых, поддерживавших меня в этот трудный период. Пользуясь случаем, я выражаю глубокую благодарность Т. Хиде, С. Альбеверио, Р. Чианчи, М. Эндо, В. Шихову, Эскассуту, Л. Геритцену, Ж. Паризи, Л. Аккарди, К. Перез-Гарсиа, Л. Ван-Хамме.

Я также благодарен Екатерине Борзистой за огромный труд по подготовке рукописи книги, внимание и постоянную поддержку.

Мой интерес к р-адике был вызван лекциями, прочитанными В.C. Владимировым и И.В. Воловичем на конференции по комплексному анализу в Ташкенте (1989). Я глубоко благодарен им за многочисленные дискуссии, обсуждения и поддержку.

Менделееве-Генуя-Нагойя-Бохум-Пекин- Ухань- Токио- Клермон / Ферранд-Сантандер-Наймеген-Векше

формате PDF (17067Кб)