Серия “Лекционные курсы НОЦ” – рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В серии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в рамках программы Научно-образовательный центр МИАН.

Настоящая брошюра содержит полугодовой курс А. Г. Сергеева “Гармонические отображения”, прочитанный в 2008 году.

Оглавление

Глава 1. Общие свойства

1.1. Гармонические отображения римановой сферы в себя

1.2. Определение гармонических отображений

1.3. Уравнения Эйлера–Лагранжа

1.4. Отображения комплексных многообразий

Глава 2. Твисторный подход

2.1. Твисторная программа Пенроуза

2.2. Хопфовское расслоение над S⁴

2.3. Твисторное расслоение риманова многообразия

2.4. Гармонические отображения в римановы многообразия

Глава 3. Отображения в проективные пространства

3.1. Гармонические отображения и голоморфные кривые

3.2. Твисторная интерпретация

Глава 4. Отображения в грассмановы многообразия

4.1. Гауссовы расслоения и замещения

4.2. Твисторная интерпретация

Глава 5. Отображения в группы Ли

5.1. Конструкция Уленбек

5.2. Твисторная интерпретация

Глава 6. Отображения в пространства петель

6.1. Теорема Атьи–Дональдсона

6.2. Гармонические отображения в пространства петель

Список литературы

Предметный указатель

Предисловие

Эта книга представляет собой запись курса лекций, прочитанных автором в Научно-образовательном центре Математического института им. В. А. Стеклова весной 2008 года, дополненного главой, посвященной гармоническим отображениям в пространства петель компактных групп Ли.

Главной целью курса являлось изложение твисторного подхода к построению гармонических отображений из римановых поверхностей в римановы многообразия. Гармонические отображения в римановы многообразия (в отличие от гармонических функций) начали изучать в середине прошлого века, но настоящий бум теория гармонических отображений пережила в 90-х годах именно благодаря появлению твисторного подхода. Развитие этого направления связано в первую очередь с трудами британской школы математиков. Одним из основных результатов их усилий явилось полное описание гармонических отображений из римановых поверхностей в комплексные грассмановы многообразия, представленное в главе 4 данного курса.

Новый подъем теория гармонических отображений испытала благодаря осознанию ее связи с общей теорией интегрируемых систем. Указанная связь была установлена Уленбек в известной работе [22], результатом которой явилось проникновение методов теории интегрируемых систем в теорию гармонических отображений. На их основе было получено полное описание гармонических отображений в унитарную группу ([22], [24]). Это направление в теории гармонических отображений, представленное в главе 5, было в значительной степени мотивировано работами физиков по изучению классических решений т.н. σ -моделей. Именно физиками были получены первые результаты по описанию гармонических отображений из римановых поверхностей в комплексные проективные пространства, завершенному затем математиками (физический “взгляд” на теорию гармонических отображений представлен в обзоре Переломова [15]).

В работе Атьи [1] была установлена связь между голоморфными отображениями римановой сферы в пространства петель компактных групп Ли и инстантонами на евклидовом 4-мерном пространстве (т.е. решениями уравнений дуальности Янга–Миллса на R⁴). Основываясь на этом наблюдении, можно предположить, что гармонические отображения римановой сферы в пространства петель компактных групп Ли аналогичным образом связаны с решениями полных уравнений Янга–Миллса на R⁴. Указанная гипотеза остается пока не доказанной, но она мотивирует изучение гармонических отображений из римановых поверхностей в пространства петель. Это новое направление теории гармонических отображений, связанное с изучением гармонических отображений в бесконечномерные кэлеровы многообразия, представлено в заключительной главе 6 данного курса.

Однако, помимо главной цели изложения твисторной теории гармонических отображений, мы рассматривали наш курс и как возможность ознакомить слушателей с методами современной (в первую очередь, комплексной) дифференциальной геометрии.

По этой причине книга изобилует отступлениями, в которых излагаются необходимые, а иногда просто интересные, с нашей точки зрения, сведения из дифференциальной геометрии. Мы не ставили себе целью излагать их максимально подробно и с полными доказательствами. Скорее, наши отступления направлены на то, чтобы дать читателю “первый толчок” к самостоятельному изучению литературы, относящейся к рассматриваемому вопросу.

Поэтому все они снабжены ссылками на наиболее доступные, по нашему мнению, учебники, имеющиеся на русском языке. (Есть ссылки и другого рода: в тех случаях, когда мы опускаем доказательство какого-либо из важных результатов, дается ссылка на источник, в котором это доказательство можно найти.)

Задачи, приведенные в тексте, предлагались слушателям курса и выносились на экзамен, где предлагалось решить любые две на “отличную оценку”. В основном они предназначены для самостоятельного закрепления пройденного материала, однако есть несколько задач, помеченных “звездочкой”, решение которых, возможно, потребует обращения к литературе за сведениями, не излагавшимися в курсе.

В заключение хочу принести свою благодарность всем слушателям курса за внимание, многочисленные вопросы и решения предложенных задач. Все это несомненно способствовало улучшению предлагаемого текста.

формате PDF (1094Кб)