Напечатать документ Послать нам письмо Сохранить документ Форумы сайта Вернуться к предыдущей
АКАДЕМИЯ ТРИНИТАРИЗМА На главную страницу
Академия - Публикации

В.А. Успенский
Что такое нестандартный анализ?

Oб авторе

 

Полвека назад возник так называемый нестандартный анализ. Предлагаемый им подход к обоснованию математического анализа базируется на допущении существования, помимо обычных действительных чисел, «бесконечно больших чисел» и «бесконечно малых чисел». Полное логическое обоснование этого подхода довольно сложно и опирается на конструкции математической логики.

Цель книги — не давая полного обоснования, а лишь постулируя необходимые факты, объяснить на доступных примерах, в чем суть нестандартного анализа


ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 1. Несколько примеров

§ 2. Что такое бесконечно малые?

§ 3. Первое знакомство с гипердействятельной прямой

§ 4 Пример неархимедовой числовой системы

§ 5. Новые требования к гипердействительным числам

§ 6. Первые следствия

§ 7. Ограниченность и пределы

§ 8. Непрерывные функции и компактность

§ 9. Построение системы гипердействительиых чисел

§ 10. Нестандартный анализ и математическая логика

§11. «Нестандартный анализ» или «нестандартная математикатика»?

(Топологические примеры)

§ 12. Лейбниц и «древняя история» нестандартного анализа

§ 13. Робинсон и «новая история» нестандартного анализа

§ 14 Существуют ли гипердействительные числа «на самом деле»?

Добавление при корректуре

Приложение. «Нестандартное» построение степенного ряда (В. Г. Кановей)

Список литературы


 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Слово «нестандартный» в названии этой книжки вызывает, вероятно, естественную настороженность. Что это еще за «нестандартный анализ»? Разве стандартный математический анализ, верно служивший нашим учителям, перестал нас удовлетворять? Нужно ли отказываться от накопленного в течение трех столетий богатства ради сомнительных новаций?

Все эти вопросы заставляют нас начать с разъяснения места нестандартного математического анализа в современной математике. Это место весьма скромно. Нестандартный анализ не собирается отменять стандартный. Все имеющиеся «стандартные» результаты остаются в силе. Более того, нестандартный анализ не претендует на получение принципиально новых результатов: все результаты, полученные его методами, могут быть доказаны и привычными средствами.

Зачем же он нужен? Можно сказать, что отличие нестандартного способа изложения от стандартного состоит лишь в «выражениях, которые при нашем методе являются более прямыми л более пригодны для искусства изобретения» (Лейбниц). Трудно сказать, насколько это так: опыт применения нестандартного анализа пока еще мал. Но если это действительно верно (пусть даже в небольшой степени), то несомненно, что нестандартный анализ заслуживает внимания.

Интересно отметить, что нестандартный анализ—эта «модная новинка» — по существу пе так уж и нов. Его зарождение можно отнести к тому же времени, что и зарождение математического анализа как такового — к концу XVII века. Дело в том, что сам математический анализ появился — у одного из своих создателей, а именно Лейбница,— в той форме, которая, пожалуй, ближе к тому, что сейчас принято называть «нестандартным анализом», чем к современному «стандартному» изложению (см. ниже § 12). Поистине, новое — это хорошо забытое старое.

В этой книжке мы пытаемся показать, в чем состоит суть нестандартного анализа, дав читателю возможность составить мнение о том, насколько он может оказаться полезным.


Полный текст доступен в формате PDF (6178Кб)


В.А. Успенский, Что такое нестандартный анализ? // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.22828, 16.12.2016

[Обсуждение на форуме «Публицистика»]

В начало документа

© Академия Тринитаризма
info@trinitas.ru