Математика гармонии, которую провозгласил и которой увлёк заниматься многих А.П. Стахов, захватила и меня тоже, хотя я этому внутренне поначалу сопротивлялся. Чем глубже я познавал законы математики гармонии, тем более интересными они становились, и тем больше я ощущаю множество ещё непознанных её закономерностей, которые можно установить на её основе. При этом у каждого автора этого направления исследования находятся свои интересные решения и неожиданные для меня изюминки. Мой опыт говорит о том, что А.П. Стахов нашёл основания для новой парадигмы, начиная с математического языка для вычислительных машин.

В подтверждение к сказанному я обращаю внимание на существование двух принципиально разных моделей равновесия: поровну для вещества (материальных точек) в термодинамических системах и по золотому сечению для последующих структур в организации сложных систем. Модель равновесия последующих структур по золотой пропорции применяется в биологии, экономике, археологии как метод Фибоначчи. Но она не связана с законами сохранения и превращения энергии. Поэтому она оказалась также неприменимой для описания жизненного цикла организации общества.

Модель равновесия задаёт объект, его меру, логические и числовые действия с ним. В естествознании модель равновесия служит для определения законов движения, и эволюции - к чему релаксирует система, после своего возмущения, а также закона сохранения «энергии» и уравнения симметрии. Модель равновесия выбирается в зависимости от цели исследования.

Существование двух принципиально различных моделей равновесия позволило мне утверждать, что математика гармонии, разрабатываемая в Международном клубе золотого сечения под руководством А.П. Стахова, - это ключ к новой парадигме организации сложных систем с целью исследования их условий выживания и развития.

В развитие этого положения позволю себе дополнить работы А.П. Стахова своими исследованиями [1,2, 3].

1. «Всё новое - давно забытое старое».

В этом контексте мне хочется дополнить историю развития математики гармонии по А.П. Стахову, которую он для себя начинает с 1961 года.

Законы золотой пропорции были глубоко разработаны в эпоху Ренессанса Л. Пачоли и Л.да Винчи /1509г/. Они обратили внимание на 13 уникальных свойств «Божественной пропорции», без которых законы эволюции природы остаются непознаваемыми. Важнейшими среди них являются, на мой взгляд, «резонансные» взаимодействия, обусловленные осцилляциями около золотой пропорции. Эти «резонансы» есть пятое начало, раскрывающее закономерности самодвижения природы, по сравнению с четырьмя началами, принятыми в натурфилософии эллинов. Кроме того, принцип триединства и внутренняя система отсчёта для описания законов гармонии остаются также до сих пор резервами для разработки нового мировоззрения, когда в основе определения числа и его измерения принята мера деления не поровну, а по золотому сечению.

Однако эти фундаментальные знания о законах гармонии в эпоху Ренессанса оказались потерянными по многим причинам, в том числе и потому, что их соотечественник Н. Макиавелли в 1513 г. предложил скрывать эти законы от государства противника, чтобы оно быстрее само развалилось. И.Кеплер показал в 1619 г., что Солнечная система устроена по законам гармонии. Г. Лейбниц провозгласил в 1695г.: «Миром правит Предустановленная гармония». Первый печатный учебник по математике в России написан Л.Ф. Магницким в 1703 г., в нём содержатся элементы математики гармонии, например, в арифметике определены 5 действий, начиная с перечисления, правила счёта.

Серебряный век России характеризуется поиском законов социальной гармонии в соответствии с идеями социолога Ш. Фурье /1803г/. Ф. М.Достоевский, знакомый с его работами, в 1880 году сформулировал: «Предназначение России - восстановить законы гармонии для себя и для других народов».

Московская математическая школа (1864-1924 г.) под руководством профессора Бугаева Н.В. и его ученика ректора МГУ П.А. Некрасова, разрабатывала аритмологию, науку о разрывных функциях, обобщающих анализ гладких дифференцируемых функций, для статистического описания закона Предустановленной гармонии и социальной справедливости.

В 1928 году Щ. Еленьский пишет в книге «По следам Пифагора», Варшава, о золотом сечении, что знания о нём сошли с олимпа и стали уже общедоступными даже для школьников.

Однако эти работы по описанию законов гармонии развития природы, человека и общества, не получили поддержки и развития ни в царской России, ни в СССР, ни в РФ. Три шанса стать великой математической державой Россия уже упустила. Так сложилось, что традиционный аппарат математики, преподаваемый в России, описывает движение пассивных тел под действием внешних сил в пространстве и времени на основе меры деления - поровну.

Человек и общество обладают способностью к выживанию и развитию за счёт самодвижения по спирали, на которую обратил внимание ещё И. Гёте. И эти законы самодвижения и развития по спирали или законы Предустановленной гармонии оказались исключенными из российского отечественного высшего образования.

2. С. Дали в своей картине «Тайная вечеря» /1955 г./ изобразил научную проблему, стоящую перед математиками.

Из этой картины можно видеть, что есть две различные исходные модели равновесия: поровну для видимого вещества: хлеба и вина, и по золотому сечению в теле додекаэдра для последующих структур.

Модель равновесия поровну описывает внешнее равновесие объектов, а модель равновесия последующих структур по золотому сечению в теле додекаэдра описывает внутреннее равновесие организации сложных систем. При этом выживают только те организации, которые находятся в гармонии по золотому сечению внутри себя и со своим окружением. Поэтому математика гармонии - это ключ к моделям жизни и выживания организации сложных систем.

3. Есть принцип дуализма в механистической картине мира, и есть принципы триединства и гармонии природы в каких-то других основаниях. Что из них более верно?

Действительно, есть два противоположных методологических подхода к описанию явлений природы.

Методология редукционизма построена на гипотезе об атомах Демокрита. Она получила своё современное развитие в статистической механике и описывает движение пассивных тел под действием внешних сил. Она справедлива, если система уже находится в устойчивом равновесном состоянии. Например, Солнечная система находится в гармонии по И. Кеплеру и описывается механикой И. Ньютона. Но эта методология не применима для описания сложных систем, состоящих из активных и смертных динамических элементов, где поиск стационарного состояния частей по золотой пропорции является объектом исследования. Для этого случая нужна методология холизма.

Так, теория, построенная по «линии» Демокрита, то есть на гипотезе о неделимых атомах, приводит к дуалистической закономерности: если есть элемент А, то существует и элемент не-А. Есть Бытие и есть Небытие, есть 1 и 0. Все элементы, раз они вечны, можно пересчитать, их математическое описание можно строить на натуральном ряде с помощью бинарных функций или их суперпозиции. «Линия» Демокрита предполагает также наличие внешней «силы», которая приводит их в движение. У И. Ньютона - это сила тяготения, у А.Эйнштейна - это кривизна пространства¸ у А. Фридмана – это Большой взрыв Вселенной. В результате законы целостности и самодвижения организаций, а также устойчивости их частей оказались непознаваемыми в этой механистической парадигме.

Многие авторы указывали на необходимость отказа от модели материальной точки /Дж. Максвелл, Г. Герц, Н.В.Бугаев, Н.А. Умов, П.А. Некрасов / и от догмата натурального ряда /К.П. Рашевский, Ю.С. Владимиров, В.П. Троицкий/.

Как только начинаем описание с гипотез о постоянных свойствах элементов, так сразу же исключаем познание законов целостности и самодвижения природы и вынуждены вводить гипотезы о внешней силе. Поэтому гипотеза о материальных точках и постоянных структурах – методология редукционизма - служит для описания законов движения пассивных тел под действием внешних сил. Для исследования самодвижения и развития природы необходима холистическая методология.

Методология холизма, основанная на идее единства и целостности природы Платона, строится от скрытого покоя целого (объективного инварианта природы), к исследованию гармоничного состояния его частей по золотой пропорции. Символами этой идеи был выбраны в школе Платона -пентаграмма и додекаэдр.

Эта проблема универсальности меры по золотой пропорции исследуется в Международном клубе золотого сечения под руководством А.П. Стахова, на различных примерах многими авторами.

4.Необходимость новой парадигмы можно подтвердить следующими научными фактами.

Есть две различные механики: механика Ньютона для одинаковых частиц и механика Герца для трёх различных сортов частиц: видимой, электромагнитной и виртуальной. Соответственно имеют различные вариационные принципы близкодействия и дальнодействия.

Есть два исследования пространства на основе геометрии Евклида и топологии.

Есть критика догмата натурального ряда чисел, из которого следует, что математика должна строиться на других началах. Есть реальная возможность её строить на основе Божественной пропорции, как предложил ещё Л. Пачоли в 1509 г., а точнее на современном языке математики с помощью фрактала золотой пропорции.

Есть физика пассивных частиц и вещества и физика активных и смертных динамических элементов: вихрей Р.Декарта и монад Г.Лейбница, обладающих памятью и волей по А. Бергсону, приводящих к самодвижению и работе против второго закона термодинамики за счёт резонансных взаимодействий /Н.А. Умов, 1902 г./.

В традиционной парадигме наука не знает законов целостности природы, не отличает живое тело от косного и не описывает закономерности гармонии отношений.

Модели материальных точек не описывают цепные реакции в химии, законы ферментативного катализа и резонансные взаимодействия, приводящие к концентрации свободной энергии, свойственные организациям живой и косной природы.

В современном естествознании, построенном для материальных точек, накопились теоретические парадоксы и противоречия известных законов с опытом. Имеют место парадоксы «тепловой смерти Вселенной», парадокс Гиббса, парадокс Рассела – Эйнштейна («Бог не играет в кости»), парадокс И. Пригожина («возникновение порядка из хаоса») и другие.

5. Современная социальная практика оказалась печальной.

Современная социология не имеет своей математической базы, которая опиралась бы на скрытую гармонию (Логос Гераклита), организующую из различных индивидуальностей единую целостную организацию, закон Предустановленной гармонии Г.Лейбница и труды Н.В. Бугаева и П.А. Некрасова о социальной гармонии. Число социальных кризисов и катастроф растёт в современном обществе.

Имеющиеся динамические теории оказались неприемлемыми для описания эволюции сложных систем и общества.

Модель равновесия последующих структур по золотому сечению не зависит от размеров системы и природы структурных элементов. Согласно этой модели равновесия системы, после возмущения, должны стремиться к гармонии отношений по золотому сечению, что противоречит опыту естественного отбора - гибели структур и организаций в природе.

В развитие математики гармонии автор разработал теорию симметрии хаоса и порядка. Она содержит модели равновесия частиц и структур как свои частные случаи. Из неё следует существование двух определений статистической энтропии: равной мере хаоса и сумме мер хаоса и порядка. Соответственно есть разные теории вероятностей для статистического описания термодинамических систем и организации сложных систем, состоящих из активных и смертных динамических элементов, в которых новым аргументом служит переменное пространство событий.

Автор ввёл в научный оборот новые функции: меры хаоса и порядка. Сумма этих функций равна постоянной величине, а их равенство служит новым постулатом для статического равновесия сложных систем с переменным пространством событий.

Это позволило разработать теорию взаимодействия процессов рассеяния и концентрации энергии в целостной организации. Она впервые описывает условия развития организаций по тройной золотой спирали.

Процесс рассеяния энергии описывается с помощью приращений известной меры хаоса или статистической энтропии. Процесс концентрации энергии описывается с помощью новой функции - меры порядка, учитывающей разрывы функций и недоступные состояния для данной организации сложной системы. Развитие организаций описывается моделью тройной золотой спирали. Откуда стратегию социального управления можно задавать в трёх измеряемых показателях. Когда цель задана в измеряемых показателях, начинает работать сознание людей, как естественный механизм обратной связи, который позволяет эффективно её достигнуть, или скорректировать цель в соответствии с практикой. От социального принципа управления - «кнута и пряника» социология может перейти к разъяснению выгоды каждому человеку, и тогда он сам добьётся нужной и полезной для всех цели.

Инвариантом холистического описания сложных систем служит баланс мер хаоса и порядка в трёх пространствах событий. Этот инвариант не изменяется при изменении пространства событий. Он отражает идею целостности природы по Платону как взаимодействия Бытия и Небытия или баланс процессов рассеяния и концентрации энергии.

Уравнение симметрии для приращений мер хаоса и порядка описывает впервые акты творения новых состояний в природе. Их имеется шесть вариантов. Их можно разделить на две группы: одна приводит к упрощению структуры, другая - к усложнению структуры организации сложных систем. Акты творения являются внутренней причиной самодвижения целостных организаций в природе.

Многократное построение одинаковых актов творения описывается рекуррентным уравнением и приводит к золотой пропорции. Взаимодействие организаций по золотой пропорции формирует целостные организации с разным структурным составом. Каждая организация выживает, если оказывается в минимуме свободной энергии образования – определённом статистическом равновесии, которое описывается на основе фрактала золотой пропорции.

Разные организации могут по-разному взаимодействовать между собой, силовым способом на уничтожение друг друга или при возникновении новых структур, превращая их во взаимно дополнительные сущности до организации более сложно организованной целостности. Что приводит к дальнейшему усложнению организации природы и росту её структурного многообразия.

Каждая целостная организация генерирует свои шесть вариантов актов творения нового, которые отвергаются или ассимилируются другими существующими организациями. Возникает память о предыдущих состояниях организации природы.

Многократное построение актов творения, их отбора в целостные организации и различные взаимодействия этих организаций привели к видимому многообразию природы.

Особенностью такой теории является построение математики на иных началах: от целого - единицы - к поиску устойчивых жизнеспособных её частей по золотому сечению, как варианту разработки линии Платона.

В этом случае части оказываются функционально сложнее целого. При этом целое можно задать единицей, а его части сложными фрактальными образованиями, никогда не повторяющимися в природе, но содержащими в себе золотую пропорцию и различные производные от её вариации.

Организации в природе не стремятся ни к какому равновесию (конечному состоянию), они сами генерируют новые состояния, структуры и «силы» в природе. Имеет место другая закономерность: выжили и выживают только те организации, которые оказались в минимуме свободной энергии образования (гармонии отношений внутри себя и со своим окружением). Из такого понимания механизма естественного отбора автор определил стратегию социального управления: поиск условий выживания путём гармонизации отношений за счёт совершенствования механизмов самоуправления.

Акты творения нового обеспечивают изменчивость и избыточность возможного многообразия организаций природы и два противоположных способа их организации.

Механизмы обратной связи обеспечивают наследственность и отбор в новые ниши, с новым минимумом свободной энергии образования организации сложной системы по золотому сечению.

Наследственность, изменчивость, избыточность, отбор в новую нишу резонансного преобразования потоков энергии, к минимуму свободной энергии образования, есть естественный путь развития организаций в природе.

Гармония отношений фрактальна, подобна самой себе на всех уровнях иерархии материи. Поэтому и язык математики можно строить, начиная с фрактала золотой пропорции.

Усреднение гармоничного равновесия приводит к потере информации о параметрах золотой пропорции, и приводит к бинарному равновесию, принятому в статистическом выражении второго закона термодинамики.

Истинные законы эволюции сводятся к поиску гармоничного состояния организации природы. Гармоничное равновесие организации неустойчиво, например, из-за актов творения и резонансных взаимодействий, которые порождают вечное необратимое самодвижение круговорота природы.

Отсюда возможно осознание целеполагания: цель и смысл жизни - находить условия гармонии отношений внутри себя, со своим окружением и с целым. Гармония последующих отношений предполагает новый способ измерения параметров во внутренней системе отсчёта.

6.​ Закон развития организаций описывается моделью тройной золотой спирали, где спираль, характеризующая структуру, разворачивается с шагом Люка, а две другие, характеризующие пространство и интенсивность, сжимаются с шагом Фибоначчи.

Запреты на «вечные» двигатели первого и второго рода сохранились, и возник новый запрет: на устойчивость одиночной организации. Каждая организация генерирует акты новых состояний, которые изменяют её и состояние окружающей среды.

Внешний обмен энергией, веществом и информацией играет важную, но второстепенную роль для развития организации, так как выбор пути к гармонизации отношений за счёт упрощения или усложнения механизмов самоуправления делает сама организация.

В результате, вместо известного закона эволюции замкнутых систем к максимальному хаосу, сформулирован новый закон эволюции, в соответствии с которым организация может погибнуть или выжить путём достижения гармонии отношений двумя противоположными способами: за счёт упрощения или усложнения своей структуры. А выживают только те организации, которые сделали правильный выбор.

Принимая, что в основе языка науки лежит математика и опыт, можно утверждать: «линию» Демокрита развивала бинарная математика, а «линию» Платона оказалось возможным научно разрабатывать только за счёт введения мер хаоса и порядка в математику гармонии.

Человек работает и творит для сохранения жизни общества: защиту его от страха, всевозможных внешних угроз и от голода, обеспечивая его пропитание. Поэтому он должен уметь любить эту жизнь, понимая законы целостности природы и своё место в них /Е.Дюринг/.

Людям не хватает любви, красоты и соразмерности во всём и всегда. Путь к удовлетворению этих естественных потребностей человека лежит через развитие математики на основе универсальной меры - золотого сечения.

1. Харитонов А. С. Математические начала синтеза принципов дуализма и триединства.//Метафизика, 2012. №3, С. 147-155.

2. Харитонов А. С. Математические начала социальной гармонии //Ученые записки РГСУ. 2013. Т. 2, № 5. С. 99–105.

3. Харитонов А. С. Модель числа. Казначеевские чтения 3- 2012. Новосибирск. С. 63-81.